Triqonometriya kalkulyatoru

Triqonometriya riyaziyyatın üçbucaqlara həsr olunmuş bölməsidir və məlum dəyərlərdən onların naməlum bucaqlarını və üzlərini tapmağa imkan verir. Məsələn, ayaq və hipotenuzanın uzunluğu boyunca bucaq və ya məlum bucaq və ayaqa uyğun olaraq hipotenuzanın uzunluğu.

Triqonometriyada hesablamalar üçün unikal funksiyalar var: sinus, kosinus, tangens, kotangens, sekant və kosekant. Onlar tez-tez əlaqəli elmlərdə və fənlərdə, məsələn, astronomiya, geodeziya və memarlıqda istifadə olunur.

Ətrafımızdakı triqonometriya

Triqonometriya ümumi təhsil kurikulumuna daxildir və riyaziyyatın fundamental bölmələrindən biridir. Bu gün onlar onun köməyi ilə coğrafi koordinatları tapır, gəmilərin marşrutlarını çəkir, göy cisimlərinin trayektoriyalarını hesablayır, proqramlar və statistik hesabatlar tərtib edirlər. Bu riyazi bölmə ən çox tələb olunur:

astronomiyada;
coğrafiyada;
naviqasiyada;
arxitekturada;
optikada;
akustikada;
iqtisad elmində (maliyyə bazarlarının təhlili üçün);
ehtimal nəzəriyyəsində;
biologiya və tibbdə;
elektronika və proqramlaşdırmada.

Bu gün hətta farmakologiya, kriptologiya, seysmologiya, fonetika və kristalloqrafiya kimi zahirən abstrakt görünən sahələr də triqonometriya olmadan edə bilməz. Triqonometrik funksiyalar kompüter tomoqrafiyası və ultrasəsdə, işıq və səs dalğalarını təsvir etmək üçün, bina və tikililərin tikintisində istifadə olunur.

Triqonometriyanın tarixi

İlk triqonometrik cədvəllərdən eramızdan əvvəl 180-125-ci illərdə qədim yunan alimi Nikeyalı Hipparx öz yazılarında istifadə etmişdir. Sonra onlar sırf təbiətdə tətbiq edildi və yalnız astronomik hesablamalar üçün istifadə edildi. Hipparxın cədvəllərində triqonometrik funksiyalar (sinus, kosinus və s.) yox idi, lakin dairənin 360 dərəcəyə bölünməsi və akkordlardan istifadə edərək qövslərinin ölçülməsi var idi. Məsələn, müasir sinus o zamanlar çevrənin mərkəzindən perpendikulyar çəkilən "yarım akkord" kimi tanınırdı.

Eramızın 100-cü ilində qədim yunan riyaziyyatçısı İsgəndəriyyəli Menelaus özünün üç cildlik "Sfera" (Sphaericorum) əsərində bu gün tam olaraq "triqonometrik" hesab edilə bilən bir neçə teorem təqdim etdi. Birincisi iki sferik üçbucağın uyğunluğunu, ikincisi onların bucaqlarının cəmini (həmişə 180 dərəcədən böyükdür) və üçüncüsü Menelaus teoremi kimi tanınan "altı böyüklük" qaydasını təsvir edirdi.

Təxminən eyni zamanda, eramızın 90-cı ildən 160-cı ilə qədər astronom Klavdi Ptolemey 13 kitabdan ibarət antik dövrün ən əhəmiyyətli triqonometrik traktatı olan "Almagest"i nəşr etdirdi. Bunun açarı dairəyə yazılmış qabarıq dördbucaqlının diaqonallarının və əks tərəflərinin nisbətini təsvir edən teorem idi. Ptolemey teoreminə görə, ikincinin hasili həmişə birincinin hasillərinin cəminə bərabərdir. Bunun əsasında sonradan sinus və kosinus üçün 4 fərqli düstur, həmçinin yarımbucaqlı α / 2 düsturu hazırlanmışdır.

Hindşünaslıq

Eramızdan əvvəl Qədim Yunanıstanda yaranan triqonometrik funksiyaların təsvirinin "xordal" forması orta əsrlərə qədər Avropa və Asiyada yayılmışdır. Və yalnız 16-cı əsrdə Hindistanda onlar müasir sinus və kosinus ilə əvəz olundu: müvafiq olaraq latınca sin və cos təyinatları ilə. Əsas triqonometrik nisbətlər məhz Hindistanda işlənib hazırlanmışdır: sin²α + cos²α = 1, sinα = cos(90° − α), sin(α + β) = sinα ⋅ cosβ + cosα ⋅ sinβ və başqaları.

Orta əsrlər Hindistanında triqonometriyanın əsas məqsədi, ilk növbədə astronomik tədqiqatlar üçün çox dəqiq rəqəmlər tapmaq idi. Bunu Bhaskara və Aryabhatanın elmi traktatlarından, o cümlədən Surya Siddhanta elmi əsərindən mühakimə etmək olar. Hind astronomu Nilakanta Somayaci tarixdə ilk dəfə olaraq arktangenti sonsuz güc seriyasına ayırdı və sonra sinus və kosinus sıralara parçalandı.

Avropada eyni nəticələr yalnız növbəti, XVII əsrdə gəldi. Günah və cos seriyası 1666-cı ildə İsaak Nyuton, qövs tangensi üçün isə 1671-ci ildə Qotfrid Vilhelm Leybniz tərəfindən yaradılmışdır. 18-ci əsrdə alimlər həm Avropada, həm də Yaxın / Orta Şərq ölkələrində triqonometrik tədqiqatlarla məşğul olurdular. 19-cu əsrdə müsəlman elmi əsərləri latın və ingilis dillərinə tərcümə olunduqdan sonra əvvəlcə Avropa, sonra isə dünya elminin mülkiyyətinə çevrilmiş, triqonometriya ilə bağlı bütün bilikləri birləşdirib sistemləşdirməyə imkan vermişdir.

Ümumilikdə deyə bilərik ki, bu gün triqonometriya təkcə təbiət elmləri üçün deyil, həm də informasiya texnologiyaları üçün əvəzolunmaz bir fəndir. O, çoxdan riyaziyyatın tətbiqi sahəsi olmaqdan çıxıb və sferik triqonometriya və goniometriya daxil olmaqla bir neçə böyük alt bölmədən ibarətdir. Birincisi kürə üzərindəki böyük dairələr arasındakı bucaqların xüsusiyyətlərini, ikincisi isə bucaqların ölçülməsi üsullarından və triqonometrik funksiyaların bir-birinə nisbətindən bəhs edir.

Triqonometriya ilk növbədə düz üçbucaqlarda, eləcə də daha mürəkkəb, çoxüzlü formalarda küncləri və kənarları tapmaqdan ibarətdir. İki kəmiyyəti (bucaq və üz və ya iki üz) bilməklə, siz demək olar ki, həmişə xüsusi triqonometrik funksiyalar və düsturlardan istifadə edərək üçüncünü tapa bilərsiniz.

Triqonometrik funksiyalar

Triqonometriyada yalnız iki birbaşa funksiya var: sinus (sin) və kosinus (cos). Birincisi, əks ayağın hipotenuzaya nisbətinə, ikincisi isə bitişikliyə bərabərdir. Hər iki halda biz həmişə 90 dərəcədən az olan düzbucaqlı üçbucağın iti bucağını nəzərdə tuturuq. Ali riyaziyyatda sin və cos mürəkkəb və həqiqi ədədlərə də tətbiq oluna bilər.

Bütün digər triqonometrik funksiyalar sinus və kosinusun törəmələridir. Onlardan yalnız dördü var:

Tangent (tg) - əks ayağın bitişik aya nisbəti - tgx = sinx / cosx.
Kotangent (ctg) - bitişik ayağın əks ayağına nisbəti - ctgx = cosx / sinx.
İkinci (san) — hipotenuzanın bitişik ayağa nisbəti — sekx = 1 / cosx.
Kosekant (kosek) - hipotenuzanın əks ayağa nisbəti - koseks = 1 / sinx.

İngilisdilli ölkələrdə istifadə olunan alternativ notasiya aşağıdakı kimidir: tangent - tan, kotangent - cot, cosekant - csc. Onlar elmi ədəbiyyatda, düyməli mühəndislik kalkulyatorlarında, elektron proqramlarda göstərilmişdir.

Triqonometrik düsturlar

Avropa və Asiya ölkələrinin riyaziyyatçıları uzun əsrlər boyu triqonometrik funksiyaları tədqiq edir və təkmilləşdirirlər və əlavə, çıxma, vurma və digər riyazi əməliyyatlardan başqa onlara xas olan bir sıra qanunauyğunluqları müəyyən etmişlər. Bu gün məktəb kurikulumunun bir hissəsi olan triqonometriyanın bütün əsas kursu buna, yəni mövcud aksioma və teoremlərdən istifadə edərək funksiyaları azaltmaq və çevirmək bacarığına əsaslanır.

Sadə şəxsiyyətlər

Hətta orta əsrlər Hindistanında birbaşa və törəmə triqonometrik funksiyalara aid olan ən sadə eyniliklər aşkar edilmişdir. Hazır (müasir) formada onlar belə görünür:

sin²α + cos²α = 1.
1 + tg²α = san²α.
1 + ctg²α = cosec²α.
tgα ⋅ ctgα = 1.

Yuxarıdakı düsturlar (α) arqumentinin istənilən dəyəri üçün etibarlıdır. α-nın 0-dan böyük və π/2-dən kiçik olması məhdudiyyətini təqdim etsək, düsturların siyahısı bir neçə dəfə artır. Əsas olanlara aşağıdakılar daxildir:

sinα = √(1 − cos²α).
cosα = √(1 − sin²α).
tgα = sinα / √(1 − sin²α).
ctg = cosα / √(1 − cos²α).
san = 1 / cosα.
cosec = 1 / sinα.

6 funksiyanın hər biri üçün 5 etibarlı identifikator var (cəmi 30). Onların hamısı cədvəldə verilmişdir və bir naməlum (α) ilə triqonometrik tənlikləri həll etmək və sadələşdirmək üçün istifadə edilə bilər.

Əlavə və çıxma

İki bucağın (α və β) cəmi və fərqlərinin də öz nümunələri var. Triqonometrik düsturlardan istifadə edərək, onları aşağıdakı kimi təqdim etmək olar:

sin(α + β) = sinα ⋅ cosβ + sinβ ⋅ cosα.
cos(α + β) = cosα ⋅ cosβ + sinα ⋅ sinβ.
tg(α + β) = (tgα + tgβ) / (1 − tgα ⋅ tgβ).
ctg(α + β) = (ctgα ⋅ ctgβ − 1) / (ctgα + ctgβ).

Bu düsturlar çıxma əməliyyatına da aiddir. Bərabər işarənin sağ tərəfindəki işarələr dəyişirsə, sol tərəfdə də dəyişir. Tangens vəziyyətində o, belə görünəcək: tg(α − β) = (tgα − tgβ) / (1 + tgα ⋅ tgβ).

Çarpma

İki bucağın (α və β) triqonometrik funksiyaları da mövcud düsturlardan istifadə etməklə birlikdə vurula bilər:

sinα ⋅ sinβ = (cos(α − β) − cos(α + β)) / 2.
sinα ⋅ cosβ = (sin(α − β) + sin(α + β)) / 2.
cosα ⋅ cosβ = (cos(α − β) + cos(α + β)) / 2.
tgα ⋅ tgβ = (cos(α − β) − cos(α + β)) / (cos(α − β) + cos(α + β)).
tgα ⋅ ctgβ = (sin(α − β) + sin(α + β)) / (sin(α + β) − sin(α − β)).
ctgα ⋅ ctgβ = (cos(α − β) + cos(α + β)) / (cos(α − β) − cos(α + β)).

Həmçinin triqonometrik funksiyaları gücə yüksəltmək, universal əvəzetmə, sonsuz hasillərə genişlənmə, törəmələr və əks törəmələr əldə etmək üçün düsturlar var. Düsturların uzunluğu inteqrallardan, polinomların hasillərindən, hiperbolik funksiyalardan istifadə etməklə 2-3 simvoldan onlarla simvola qədər dəyişə bilər. Onları α və β-nın sadə qiymətləri ilə belə hesablamaq asan deyil və əgər onlar çoxlu onluq kəsrli mürəkkəb fraksiya qiymətləridirsə, hesablamalar çox vaxt və səy tələb edəcək.

Triqonometrik funksiyaların (və onlarla əməliyyatların) hesablamalarını sadələşdirmək üçün bu gün xüsusi onlayn kalkulyatorlardan istifadə olunur. Onlara ədədi dəyərlər daxil edilir, bundan sonra proqram saniyənin bir hissəsində hesablayır. Bu cür proqramlardan istifadə mühəndislik kalkulyatorlarından daha rahatdır və onlar tamamilə pulsuzdur.

{$ subpageListHide ? ('Show' | translate) : ('Hide' | translate) $}