ত্রিকোণমিতি ক্যালকুলেটর

অন্যান্য সরঞ্জাম

ক্ষেত্রফল ক্যালকুলেটর{$ ',' | translate $}
পরিধি ক্যালকুলেটর{$ ',' | translate $}
ভলিউম ক্যালকুলেটর{$ ',' | translate $}
গুণিতক সারণী{$ ',' | translate $}
পর্যায় সারণী{$ ',' | translate $}
ম্যাট্রিক্স ক্যালকুলেটর{$ ',' | translate $}
এলসিএম ক্যালকুলেটর{$ ',' | translate $}
জিসিএফ ক্যালকুলেটর

সাইন, কোসাইন, ট্যানজেন্টের সূত্র

ত্রিকোণমিতি হল গণিতের একটি শাখা যা ত্রিভুজগুলির জন্য নিবেদিত, যা আপনাকে পরিচিত মানগুলি থেকে তাদের অজানা কোণ এবং মুখগুলি খুঁজে পেতে দেয়। উদাহরণস্বরূপ, পা এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য বরাবর কোণ, অথবা পরিচিত কোণ এবং পা অনুযায়ী কর্ণের দৈর্ঘ্য।

ত্রিকোণমিতিতে গণনার জন্য অনন্য ফাংশন রয়েছে: সাইন, কোসাইন, ট্যানজেন্ট, কোট্যানজেন্ট, সেকেন্ট এবং কোসেক্যান্ট। এগুলি প্রায়শই সম্পর্কিত বিজ্ঞান এবং শাখায় ব্যবহৃত হয়, উদাহরণস্বরূপ, জ্যোতির্বিদ্যা, জিওডেসি এবং স্থাপত্যে৷

আমাদের চারপাশে ত্রিকোণমিতি

ত্রিকোণমিতি সাধারণ শিক্ষা পাঠ্যক্রমের অন্তর্ভুক্ত এবং এটি গণিতের একটি মৌলিক বিভাগ। আজ, এর সাহায্যে, তারা ভৌগলিক স্থানাঙ্ক খুঁজে পায়, জাহাজের রুট স্থাপন করে, মহাকাশীয় দেহগুলির গতিপথ গণনা করে, প্রোগ্রাম এবং পরিসংখ্যান প্রতিবেদনগুলি সংকলন করে। এই গাণিতিক বিভাগের চাহিদা সবচেয়ে বেশি:

জ্যোতির্বিজ্ঞানে;
ভূগোলে;
নেভিগেশনে;
স্থাপত্যে;
অপটিক্সে;
শব্দবিদ্যায়;
অর্থনীতিতে (আর্থিক বাজার বিশ্লেষণের জন্য);
সম্ভাব্যতা তত্ত্বে;
জীববিজ্ঞান এবং ঔষধে;
ইলেকট্রনিক্স এবং প্রোগ্রামিং এ।

আজও ফার্মাকোলজি, ক্রিপ্টোলজি, সিসমোলজি, ফোনেটিক্স এবং ক্রিস্টালোগ্রাফির মতো আপাতদৃষ্টিতে বিমূর্ত শাখাগুলিও ত্রিকোণমিতি ছাড়া চলতে পারে না। ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলি কম্পিউটেড টমোগ্রাফি এবং আল্ট্রাসাউন্ডে ব্যবহার করা হয়, আলো এবং শব্দ তরঙ্গ বর্ণনা করতে, ভবন এবং কাঠামো নির্মাণে।

ত্রিকোণমিতির ইতিহাস

180-125 খ্রিস্টপূর্বাব্দে প্রাচীন গ্রীক বিজ্ঞানী হিপারকাস অফ নাইসিয়া তাঁর লেখায় প্রথম ত্রিকোণমিতিক সারণী ব্যবহার করেছিলেন। তারপরে এগুলি সম্পূর্ণরূপে প্রকৃতিতে প্রয়োগ করা হয়েছিল এবং শুধুমাত্র জ্যোতির্বিজ্ঞানের গণনার জন্য ব্যবহৃত হয়েছিল। হিপারকাসের সারণীতে কোন ত্রিকোণমিতিক ফাংশন (সাইন, কোসাইন ইত্যাদি) ছিল না, তবে বৃত্তের একটি বিভাজন ছিল 360 ডিগ্রি এবং জ্যা ব্যবহার করে এর আর্কগুলির পরিমাপ। উদাহরণস্বরূপ, আধুনিক সাইন তখন "অর্ধেক জ্যা" নামে পরিচিত ছিল, যার দিকে বৃত্তের কেন্দ্র থেকে একটি লম্ব আঁকা হত।

100 খ্রিস্টাব্দে, আলেকজান্দ্রিয়ার প্রাচীন গ্রীক গণিতবিদ মেনেলাউস, তার তিন-খণ্ডের "গোলক" (Sphaericorum) তে বেশ কিছু উপপাদ্য উপস্থাপন করেছিলেন যেগুলিকে আজ সম্পূর্ণরূপে "ত্রিকোণমিতিক" হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। প্রথমটি দুটি গোলাকার ত্রিভুজের সমতুল্য বর্ণনা করেছে, দ্বিতীয়টি তাদের কোণের সমষ্টি (যা সর্বদা 180 ডিগ্রির বেশি) এবং তৃতীয়টি "ছয় মাত্রা" নিয়ম, যা মেনেলাউস উপপাদ্য নামে বেশি পরিচিত৷

মোটামুটি একই সময়ে, খ্রিস্টাব্দ 90 থেকে 160 পর্যন্ত, জ্যোতির্বিজ্ঞানী ক্লডিয়াস টলেমি প্রাচীনকালের সবচেয়ে উল্লেখযোগ্য ত্রিকোণমিতিক গ্রন্থ, আলমাগেস্ট, 13টি বইয়ের সমন্বয়ে প্রকাশ করেছিলেন। এটির মূল বিষয় ছিল একটি উপপাদ্য যা একটি বৃত্তে উৎকীর্ণ উত্তল চতুর্ভুজের তির্যক এবং বিপরীত বাহুর অনুপাত বর্ণনা করে। টলেমির উপপাদ্য অনুসারে, দ্বিতীয়টির গুণফল সর্বদা প্রথমটির গুণফলের সমষ্টির সমান। এর উপর ভিত্তি করে, সাইন এবং কোসাইনের জন্য 4টি পার্থক্য সূত্র পরবর্তীকালে বিকশিত হয়েছিল, সেইসাথে অর্ধ-কোণ সূত্র α/2।

ইন্ডিয়ান স্টাডিজ

ত্রিকোণমিতিক ফাংশন বর্ণনা করার "কর্ডাল" রূপ, যা আমাদের যুগের আগে প্রাচীন গ্রীসে উদ্ভূত হয়েছিল, মধ্যযুগ পর্যন্ত ইউরোপ এবং এশিয়ায় প্রচলিত ছিল। এবং শুধুমাত্র 16 শতকে ভারতে তারা আধুনিক সাইন এবং কোসাইন দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়েছিল: যথাক্রমে ল্যাটিন উপাধি sin এবং cos দিয়ে। ভারতেই মৌলিক ত্রিকোণমিতিক অনুপাত তৈরি করা হয়েছিল: sin²α + cos²α = 1, sinα = cos(90° − α), sin(α + β) = sinα ⋅ cosβ + cosα ⋅ sinβ এবং অন্যান্য।

মধ্যযুগীয় ভারতে ত্রিকোণমিতির মূল উদ্দেশ্য ছিল প্রাথমিকভাবে জ্যোতির্বিদ্যা গবেষণার জন্য অতি-নির্ভুল সংখ্যা খুঁজে বের করা। এটি ভাস্কর এবং আর্যভট্টের বৈজ্ঞানিক গ্রন্থগুলি থেকে বিচার করা যেতে পারে, যার মধ্যে রয়েছে বৈজ্ঞানিক কাজ সূর্য সিদ্ধান্ত। ভারতীয় জ্যোতির্বিজ্ঞানী নীলাকান্ত সোমায়াজি ইতিহাসে প্রথমবারের মতো আর্কট্যাঞ্জেন্টকে একটি অসীম শক্তির ধারায় বিভক্ত করেন, এবং পরবর্তীকালে সাইন এবং কোসাইন পচন ধরে সিরিজে পরিণত হয়।

ইউরোপে, একই ফলাফল শুধুমাত্র পরবর্তী, XVII শতাব্দীতে এসেছিল। 1666 সালে আইজ্যাক নিউটন এবং 1671 সালে গটফ্রিড উইলহেম লিবনিজ দ্বারা আর্ক ট্যানজেন্টের জন্য sin এবং cos সিরিজটি উদ্ভূত হয়েছিল। 18 শতকে, বিজ্ঞানীরা ইউরোপে এবং নিকটবর্তী / মধ্যপ্রাচ্য উভয় দেশেই ত্রিকোণমিতিক গবেষণায় নিযুক্ত ছিলেন। 19 শতকে মুসলিম বৈজ্ঞানিক কাজগুলি ল্যাটিন এবং ইংরেজিতে অনুবাদ করার পরে, তারা প্রথমে ইউরোপীয় এবং তারপর বিশ্ব বিজ্ঞানের সম্পত্তি হয়ে ওঠে, এটি ত্রিকোণমিতি সম্পর্কিত সমস্ত জ্ঞানকে একত্রিত এবং পদ্ধতিগত করা সম্ভব করে তোলে।

সংক্ষেপে, আমরা বলতে পারি যে আজ ত্রিকোণমিতি শুধুমাত্র প্রাকৃতিক বিজ্ঞানের জন্যই নয়, তথ্য প্রযুক্তির জন্যও একটি অপরিহার্য বিষয়। এটি দীর্ঘকাল ধরে গণিতের একটি ফলিত শাখা হিসাবে বন্ধ হয়ে গেছে এবং এটি গোলাকার ত্রিকোণমিতি এবং গনিওমেট্রি সহ বেশ কয়েকটি বড় উপধারা নিয়ে গঠিত। প্রথমটি একটি গোলকের বিশাল বৃত্তের মধ্যে কোণের বৈশিষ্ট্যগুলি বিবেচনা করে এবং দ্বিতীয়টি কোণ পরিমাপের পদ্ধতি এবং একে অপরের সাথে ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের অনুপাত নিয়ে আলোচনা করে৷

সাইন, কোসাইন, ট্যাঞ্জেন্ট সূত্রাবলী

ত্রিকোণমিতি মূলত সমকোণী ত্রিভুজগুলিতে কোণ এবং প্রান্তগুলি খুঁজে বের করার পাশাপাশি আরও জটিল, বহুহেড্রাল আকারে। দুটি পরিমাণ (একটি কোণ এবং একটি মুখ বা দুটি মুখ) জেনে আপনি প্রায় সর্বদা বিশেষ ত্রিকোণমিতিক ফাংশন এবং সূত্র ব্যবহার করে তৃতীয়টি খুঁজে পেতে পারেন৷

ত্রিকোণমিতিক ফাংশন

ত্রিকোণমিতিতে দুটি সরাসরি ফাংশন আছে: সাইন (sin) এবং কোসাইন (cos)। প্রথমটি কর্ণের বিপরীত পায়ের অনুপাতের সমান এবং দ্বিতীয়টি সন্নিহিত পায়ের সমান। উভয় ক্ষেত্রেই, আমরা একটি সমকোণী ত্রিভুজের তীব্র কোণকে বোঝায়, যা সর্বদা 90 ডিগ্রির কম হয়। উচ্চতর গণিতে, sin এবং cos জটিল এবং বাস্তব সংখ্যাগুলিতেও প্রয়োগ করা যেতে পারে।

অন্য সব ত্রিকোণমিতিক ফাংশন সাইন এবং কোসাইন এর ডেরিভেটিভ। তাদের মধ্যে মাত্র চারটি আছে:

ট্যানজেন্ট (tg) - পার্শ্ববর্তী পায়ের বিপরীত পায়ের অনুপাত - tgx = sinx / cosx।
কোট্যাঞ্জেন্ট (ctg) - বিপরীত পায়ের সাথে সংলগ্ন পায়ের অনুপাত - ctgx = cosx / sinx৷
সেকেন্ড (সেকেন্ড) — পার্শ্ববর্তী পায়ের সাথে কর্ণের অনুপাত — সেকেক্স = 1 / cosx৷
কোসেক্যান্ট (কোসেক) - বিপরীত পায়ের সাথে কর্ণের অনুপাত - cosecx = 1 / sinx৷

ইংরেজি-ভাষী দেশগুলিতে ব্যবহৃত একটি বিকল্প স্বরলিপি নিম্নরূপ: স্পর্শক - ট্যান, কোট্যাঞ্জেন্ট - খাট, কোসেক্যান্ট - সিএসসি। এগুলি বৈজ্ঞানিক সাহিত্যে, পুশ-বোতাম ইঞ্জিনিয়ারিং ক্যালকুলেটরগুলিতে, ইলেকট্রনিক অ্যাপ্লিকেশনগুলিতে নির্দেশিত হয়৷

ত্রিকোণমিতিক সূত্র

ইউরোপীয় এবং এশীয় দেশগুলির গণিতবিদরা বহু শতাব্দী ধরে ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলি নিয়ে গবেষণা এবং উন্নতি করে চলেছেন, এবং বিয়োগ, গুণ এবং অন্যান্য গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ ছাড়াও তাদের মধ্যে অন্তর্নিহিত বেশ কয়েকটি নিদর্শন চিহ্নিত করেছেন। বর্তমানে, ত্রিকোণমিতির সম্পূর্ণ মৌলিক পাঠক্রম, যা স্কুল পাঠ্যক্রমের অংশ, এর উপর ভিত্তি করে, যথা, বিদ্যমান স্বতঃসিদ্ধ এবং উপপাদ্যগুলি ব্যবহার করে ফাংশন হ্রাস এবং রূপান্তর করার ক্ষমতা৷

সরল পরিচয়

এমনকি মধ্যযুগীয় ভারতেও, প্রত্যক্ষ এবং ডেরিভেটিভ ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের জন্য প্রযোজ্য সহজতম পরিচয় প্রকাশ করা হয়েছিল। তাদের সমাপ্ত (আধুনিক) আকারে, তারা দেখতে এইরকম:

sin²α + cos²α = 1।
1 + tg²α = sec²α।
1 + ctg²α = cosec²α।
tgα ⋅ ctgα = 1।

উপরের সূত্রগুলো যুক্তির (α) যেকোনো মানের জন্য বৈধ। যদি আমরা এই সীমাবদ্ধতা প্রবর্তন করি যে α 0-এর চেয়ে বড় এবং π/2-এর চেয়ে কম, সূত্রের তালিকা কয়েকগুণ বৃদ্ধি পাবে। প্রধানগুলির মধ্যে নিম্নলিখিতগুলি অন্তর্ভুক্ত রয়েছে:

sinα = √(1 − cos²α)।
cosα = √(1 − sin²α)।
tgα = sinα / √(1 − sin²α)।
ctg = cosα / √(1 − cos²α)।
সেকেন্ড = 1 / cosα।
cosec = 1 / sinα।

6টি ফাংশনের প্রতিটির জন্য 5টি বৈধ পরিচয় রয়েছে (মোট 30টি)। এগুলি সবগুলিই সারণীতে তালিকাভুক্ত করা হয়েছে এবং একটি অজানা (α) দিয়ে ত্রিকোণমিতিক সমীকরণগুলি সমাধান এবং সরল করতে ব্যবহার করা যেতে পারে।

যোগ এবং বিয়োগ

দুটি কোণের (α এবং β) যোগফল এবং পার্থক্যেরও নিজস্ব প্যাটার্ন রয়েছে। ত্রিকোণমিতিক সূত্র ব্যবহার করে, তাদের নিম্নরূপ উপস্থাপন করা যেতে পারে:

sin(α + β) = sinα ⋅ cosβ + sinβ ⋅ cosα।
cos(α + β) = cosα ⋅ cosβ + sinα ⋅ sinβ।
tg(α + β) = (tgα + tgβ) / (1 − tgα ⋅ tgβ)।
ctg(α + β) = (ctgα ⋅ ctgβ − 1) / (ctgα + ctgβ)।

এই সূত্রগুলি বিয়োগের ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য। যদি সমান চিহ্নের ডান দিকের চিহ্নগুলি পরিবর্তিত হয়, তবে সেগুলি বাম দিকেও পরিবর্তিত হয়। স্পর্শকের ক্ষেত্রে, এটি দেখতে এরকম হবে: tg(α − β) = (tgα − tgβ) / (1 + tgα ⋅ tgβ)।

গুণ

দুটি কোণের ত্রিকোণমিতিক ফাংশন (α এবং β) বিদ্যমান সূত্রগুলি ব্যবহার করে একসাথে গুণ করা যেতে পারে:

sinα ⋅ sinβ = (cos(α − β) − cos(α + β)) / 2।
sinα ⋅ cosβ = (sin(α − β) + sin(α + β)) / 2।
cosα ⋅ cosβ = (cos(α − β) + cos(α + β)) / 2।
tgα ⋅ tgβ = (cos(α − β) − cos(α + β)) / (cos(α − β) + cos(α + β))।
tgα ⋅ ctgβ = (sin(α − β) + sin(α + β)) / (sin(α + β) − sin(α − β))।
ctgα ⋅ ctgβ = (cos(α − β) + cos(α + β)) / (cos(α − β) − cos(α + β))।

এছাড়াও ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলিকে শক্তিতে উন্নীত করার জন্য, সর্বজনীন প্রতিস্থাপনের জন্য, অসীম পণ্যগুলিতে প্রসারিত করার জন্য, ডেরিভেটিভ এবং অ্যান্টিডেরিভেটিভগুলি পাওয়ার জন্য সূত্র রয়েছে। সূত্রের দৈর্ঘ্য 2-3 থেকে দশটি অক্ষর পর্যন্ত পরিবর্তিত হতে পারে, অখণ্ড, বহুপদীর পণ্য, হাইপারবোলিক ফাংশন ব্যবহার করে। α এবং β এর সাধারণ মানের সাথেও এগুলি গণনা করা সহজ নয় এবং যদি সেগুলি অনেক দশমিক সহ জটিল ভগ্নাংশের মান হয়, তাহলে গণনার জন্য অনেক সময় এবং প্রচেষ্টার প্রয়োজন হবে৷

ত্রিকোণমিতিক ফাংশন (এবং তাদের সাথে ক্রিয়াকলাপ) এর গণনা সহজ করতে, আজ বিশেষ অনলাইন ক্যালকুলেটর ব্যবহার করা হয়। সংখ্যাসূচক মানগুলি তাদের মধ্যে প্রবেশ করানো হয়, তারপরে প্রোগ্রামটি সেকেন্ডের একটি ভগ্নাংশে গণনা করে। এই ধরনের অ্যাপ্লিকেশন ব্যবহার করা ইঞ্জিনিয়ারিং ক্যালকুলেটরের চেয়েও বেশি সুবিধাজনক, এবং এগুলি সম্পূর্ণ বিনামূল্যে পাওয়া যায়৷