Calculadora trigonomètrica

Altres eines

Calculadora d’àrea{$ ',' | translate $}
Calculadora de perímetres{$ ',' | translate $}
Calculadora de volum{$ ',' | translate $}
Taula de multiplicar{$ ',' | translate $}
Taula periòdica{$ ',' | translate $}
Calculadora de matrius{$ ',' | translate $}
Mínim comú múltiple{$ ',' | translate $}
Màxim comú divisor

Llei dels sinus, cosinus i tangents

La trigonometria és una branca de les matemàtiques dedicada als triangles, que us permet trobar els seus angles i cares desconeguts a partir de valors coneguts. Per exemple, l'angle al llarg de la longitud del catet i la hipotenusa, o la longitud de la hipotenusa segons l'angle i el catet coneguts.

Hi ha funcions úniques per als càlculs en trigonometria: sinus, cosinus, tangent, cotangent, secant i cosecant. Sovint s'utilitzen en ciències i disciplines relacionades, per exemple, en astronomia, geodèsia i arquitectura.

La trigonometria al nostre voltant

La trigonometria s'inclou al currículum d'educació general i és una de les seccions fonamentals de les matemàtiques. Avui, amb la seva ajuda, troben coordenades geogràfiques, tracen les rutes dels vaixells, calculen les trajectòries dels cossos celestes, elaboren programes i informes estadístics. Aquesta secció matemàtica és la més demandada:

en astronomia;
en geografia;
a la navegació;
en arquitectura;
en òptica;
en acústica;
en economia (per a l'anàlisi dels mercats financers);
en teoria de probabilitats;
en biologia i medicina;
en electrònica i programació.

Avui, fins i tot branques aparentment abstractes com la farmacologia, la criptologia, la sismologia, la fonètica i la cristal·lografia no poden prescindir de la trigonometria. Les funcions trigonomètriques s'utilitzen en la tomografia computada i l'ecografia, per descriure ones lluminoses i sonores, en la construcció d'edificis i estructures.

Història de la trigonometria

Les primeres taules trigonomètriques van ser utilitzades en els seus escrits pel científic grec antic Hiparc de Nicea el 180-125 aC. Aleshores s'aplicaven purament a la natura i només s'utilitzaven per a càlculs astronòmics. No hi havia funcions trigonomètriques (sinus, cosinus, etc.) a les taules d'Hiparc, però hi havia una divisió del cercle en 360 graus i la mesura dels seus arcs mitjançant cordes. Per exemple, el sinus modern es coneixia llavors com a "mitja corda", al qual es dibuixava una perpendicular des del centre del cercle.

L'any 100 dC, l'antic matemàtic grec Menelau d'Alexandria, en el seu "Sphere" (Sphaericorum) de tres volums, va presentar diversos teoremes que avui dia es poden considerar totalment "trigonomètrics". El primer descrivia la congruència de dos triangles esfèrics, el segon la suma dels seus angles (que sempre és superior a 180 graus), i el tercer la regla de les "sis magnituds", més coneguda com el teorema de Menelau.

Pràcticament al mateix temps, des del 90 al 160 dC, l'astrònom Claudi Ptolemeu va publicar el tractat trigonomètric més important de l'antiguitat, Almagest, que consta de 13 llibres. La clau d'això era un teorema que descrivia la relació de diagonals i costats oposats d'un quadrilàter convex inscrit en un cercle. Segons el teorema de Ptolemeu, el producte del segon sempre és igual a la suma dels productes del primer. A partir d'això, es van desenvolupar posteriorment 4 fórmules de diferència per al sinus i el cosinus, així com la fórmula de mig angle α / 2.

Estudis indis

La forma "cordal" de descriure les funcions trigonomètriques, que va sorgir a l'antiga Grècia abans de la nostra era, era comuna a Europa i Àsia fins a l'Edat Mitjana. I només al segle XVI a l'Índia van ser substituïts pels moderns si i cosinus: amb les designacions llatines sin i cos, respectivament. Va ser a l'Índia on es van desenvolupar les proporcions trigonomètriques fonamentals: sin²α + cos²α = 1, sinα = cos(90° − α), sin(α + β) = sinα ⋅ cosβ + cosα ⋅ sinβ i altres.

L'objectiu principal de la trigonometria a l'Índia medieval era trobar nombres ultraprecisos, principalment per a la investigació astronòmica. Això es pot jutjar a partir dels tractats científics de Bhaskara i Aryabhata, inclòs el treball científic Surya Siddhanta. L'astrònom indi Nilakanta Somayaji per primera vegada a la història va descompondre l'arctangent en una sèrie de potències infinites i, posteriorment, el sinus i el cosinus es van descompondre en sèries.

A Europa, els mateixos resultats van arribar només al segle XVII, el següent. Les sèries de sin i cos van ser derivades per Isaac Newton el 1666, i per a l'arc tangent el 1671 per Gottfried Wilhelm Leibniz. Al segle XVIII, els científics es van dedicar a estudis trigonomètrics tant a Europa com als països del Pròxim / Orient Mitjà. Després que les obres científiques musulmanes es traduïssin al llatí i a l'anglès al segle XIX, van passar a ser propietat de la ciència primer europea i després mundial, fet que va permetre combinar i sistematitzar tots els coneixements relacionats amb la trigonometria.

En resum, podem dir que avui la trigonometria és una disciplina indispensable no només per a les ciències naturals, sinó també per a les tecnologies de la informació. Fa temps que ha deixat de ser una branca aplicada de les matemàtiques i consta de diverses subseccions grans, incloses la trigonometria esfèrica i la goniometria. El primer considera les propietats dels angles entre grans cercles d'una esfera, i el segon tracta sobre mètodes per mesurar angles i la relació de funcions trigonomètriques entre si.

Fórmules sinus, cosinus i tangents

La trigonometria consisteix principalment a trobar cantonades i vores en triangles rectangles, així com en formes polièdriques més complexes. Coneixent dues quantitats (un angle i una cara o dues cares), gairebé sempre pots trobar la tercera utilitzant funcions i fórmules trigonomètriques especials.

Funcions trigonomètriques

En trigonometria només hi ha dues funcions directes: el sinus (sin) i el cosinus (cos). El primer és igual a la proporció del catet oposat a la hipotenusa, i el segon és igual a l'adjacent. En tots dos casos, ens referim a l'angle agut d'un triangle rectangle, que sempre és inferior a 90 graus. En matemàtiques superiors, sin i cos també es poden aplicar a nombres complexos i reals.

Totes les altres funcions trigonomètriques són derivades del sinus i el cosinus. Només n'hi ha quatre:

Tangent (tg): la proporció de la cama oposada a l'adjacent - tgx = sinx / cosx.
Cotangent (ctg): la proporció de la cama adjacent a l'oposada - ctgx = cosx / sinx.
Segon (s) — la proporció de la hipotenusa amb el catet adjacent — secx = 1 / cosx.
Cosecant (cosec): la relació de la hipotenusa amb el catet oposat - cosecx = 1 / sinx.

Una notació alternativa utilitzada als països de parla anglesa és la següent: tangent - tan, cotangent - cot, cosecant - csc. Estan indicats a la literatura científica, en calculadores d'enginyeria de polsador, en aplicacions electròniques.

Fórmules trigonomètriques

Els matemàtics dels països europeus i asiàtics han estat investigant i millorant les funcions trigonomètriques durant molts segles, i han identificat una sèrie de patrons inherents a elles, a més de la resta, la multiplicació i altres operacions matemàtiques. Actualment, tot el curs bàsic de trigonometria, que forma part del currículum escolar, es basa en això, és a dir, la capacitat de reduir i transformar funcions utilitzant els axiomes i teoremes existents.

Identitats simples

Fins i tot a l'Índia medieval, es van revelar les identitats més simples aplicables a les funcions trigonomètriques directes i derivades. En la seva forma acabada (moderna), tenen aquest aspecte:

sin²α + cos²α = 1.
1 + tg²α = sec²α.
1 + ctg²α = cosec²α.
tgα ⋅ ctgα = 1.

Les fórmules anteriors són vàlides per a qualsevol valor de l'argument (α). Si introduïm la restricció que α és major que 0 i menor que π/2, la llista de fórmules augmenta diverses vegades. Els principals inclouen els següents:

sinα = √(1 − cos²α).
cosα = √(1 − sin²α).
tgα = sinα / √(1 − sin²α).
ctg = cosα / √(1 − cos²α).
seg = 1 / cosα.
cosec = 1 / sinα.

Hi ha 5 identitats vàlides per a cadascuna de les 6 funcions (30 en total). Tots ells es mostren a la taula i es poden utilitzar per resoldre i simplificar equacions trigonomètriques amb una incògnita (α).

Sumes i restes

Les sumes i diferències de dos angles (α i β) també tenen els seus propis patrons. Mitjançant fórmules trigonomètriques, es poden representar de la següent manera:

sin(α + β) = sinα ⋅ cosβ + sinβ ⋅ cosα.
cos(α + β) = cosα ⋅ cosβ + sinα ⋅ sinβ.
tg(α + β) = (tgα + tgβ) / (1 − tgα ⋅ tgβ).
ctg(α + β) = (ctgα ⋅ ctgβ − 1) / (ctgα + ctgβ).

Aquestes fórmules també s'apliquen a la resta. Si canvien els signes del costat dret del signe igual, també canvien al costat esquerre. En el cas de la tangent, es veurà així: tg(α − β) = (tgα − tgβ) / (1 + tgα ⋅ tgβ).

Multiplicació

Les funcions trigonomètriques de dos angles (α i β) també es poden multiplicar juntes mitjançant les fórmules existents:

sinα ⋅ sinβ = (cos(α − β) − cos(α + β)) / 2.
sinα ⋅ cosβ = (sin(α − β) + sin(α + β)) / 2.
cosα ⋅ cosβ = (cos(α − β) + cos(α + β)) / 2.
tgα ⋅ tgβ = (cos(α − β) − cos(α + β)) / (cos(α − β) + cos (α + β)).
tgα ⋅ ctgβ = (sin(α − β) + sin(α + β)) / (sin(α + β) − sin(α − β)).
ctgα ⋅ ctgβ = (cos(α − β) + cos(α + β)) / (cos(α − β) − cos(α + β)).

També hi ha fórmules per elevar les funcions trigonomètriques a una potència, per a la substitució universal, per expandir-se a infinits productes, per obtenir derivades i antiderivades. La longitud de les fórmules pot variar de 2-3 a desenes de caràcters, utilitzant integrals, productes de polinomis, funcions hiperbòliques. No són fàcils de calcular fins i tot amb valors simples d'α i β, i si són valors fraccionaris complexos amb molts decimals, els càlculs requeriran molt de temps i esforç.

Per simplificar els càlculs de les funcions trigonomètriques (i les operacions amb elles), avui s'utilitzen calculadores especials en línia. S'introdueixen valors numèrics, després del qual el programa calcula en una fracció de segon. L'ús d'aquestes aplicacions és encara més còmode que les calculadores d'enginyeria, i estan disponibles de manera totalment gratuïta.