Trigonometrická kalkulačka

Trigonometrie je odvětví matematiky věnované trojúhelníkům, které vám umožňuje najít jejich neznámé úhly a plochy ze známých hodnot. Například úhel podél délky nohy a přepony nebo délka přepony podle známého úhlu a přepony.

Existují jedinečné funkce pro výpočty v trigonometrii: sinus, kosinus, tečna, kotangens, sečna a kosekans. Často se používají v příbuzných vědách a oborech, například v astronomii, geodézii a architektuře.

Trigonometrie kolem nás

Trigonometrie je součástí kurikula všeobecného vzdělávání a je jednou ze základních částí matematiky. Dnes s jeho pomocí zjišťují zeměpisné souřadnice, určují trasy lodí, počítají trajektorie nebeských těles, sestavují programy a statistické zprávy. Tato matematická část je nejžádanější:

v astronomii;
v geografii;
v navigaci;
v architektuře;
v optice;
v akustice;
v ekonomii (pro analýzu finančních trhů);
v teorii pravděpodobnosti;
v biologii a medicíně;
v elektronice a programování.

Bez trigonometrie se dnes neobejdou ani tak zdánlivě abstraktní obory jako farmakologie, kryptologie, seismologie, fonetika a krystalografie. Trigonometrické funkce se používají v počítačové tomografii a ultrazvuku, k popisu světelných a zvukových vln, při stavbě budov a staveb.

Historie trigonometrie

První trigonometrické tabulky použil ve svých spisech starověký řecký vědec Hipparchos z Nicaea v letech 180-125 před naším letopočtem. Pak byly čistě aplikovány v přírodě a sloužily pouze pro astronomické výpočty. V Hipparchových tabulkách nebyly žádné goniometrické funkce (sinus, kosinus a tak dále), ale existovalo rozdělení kruhu na 360 stupňů a měření jeho oblouků pomocí tětiv. Například moderní sinus byl tehdy známý jako „půl akordu“, ke kterému byla ze středu kruhu nakreslena kolmice.

V roce 100 n. l. starověký řecký matematik Menelaos z Alexandrie ve svém třídílném díle "Sphere" (Sphaericorum) představil několik vět, které dnes lze plně považovat za "trigonometrické". První popisoval shodu dvou sférických trojúhelníků, druhý součet jejich úhlů (který je vždy větší než 180 stupňů) a třetí pravidlo „šesti velikostí“, lépe známé jako Menelaův teorém.

Zhruba ve stejnou dobu, v letech 90 až 160 našeho letopočtu, vydal astronom Claudius Ptolemaios nejvýznamnější trigonometrické pojednání starověku, Almagest, sestávající ze 13 knih. Klíčem k němu byla věta popisující poměr úhlopříček a protilehlých stran konvexního čtyřúhelníku vepsaného do kruhu. Podle Ptolemaiovy věty je součin druhého vždy roven součtu součinů prvního. Na jeho základě byly následně vyvinuty 4 rozdílové vzorce pro sinus a kosinus a také vzorec polovičního úhlu α / 2.

Indiánská studia

„Akordální“ forma popisu goniometrických funkcí, která vznikla ve starověkém Řecku před naším letopočtem, byla v Evropě a Asii běžná až do středověku. A teprve v 16. století je v Indii nahradily moderní sinus a kosinus: s latinskými označeními sin a cos, resp. Právě v Indii byly vyvinuty základní trigonometrické poměry: sin²α + cos²α = 1, sinα = cos(90° − α), sin(α + β) = sinα ⋅ cosβ + cosα ⋅ sinβ a další.

Hlavním účelem trigonometrie ve středověké Indii bylo najít ultrapřesná čísla, především pro astronomický výzkum. To lze posoudit z vědeckých pojednání Bhaskary a Aryabhaty, včetně vědecké práce Surya Siddhanta. Indický astronom Nilakanta Somayaji poprvé v historii rozložil arktangens na nekonečnou mocninnou řadu a následně sinus a kosinus rozložil na řady.

V Evropě se stejné výsledky dostavily až v příštím, XVII. století. Série pro hřích a cos odvodil Isaac Newton v roce 1666 a pro arkus tangens v roce 1671 Gottfried Wilhelm Leibniz. V 18. století se vědci zabývali trigonometrickými studiemi jak v Evropě, tak v zemích Blízkého a Středního východu. Poté, co byly muslimské vědecké práce v 19. století přeloženy do latiny a angličtiny, staly se majetkem nejprve evropské a poté světové vědy, umožnily kombinovat a systematizovat veškeré poznatky související s trigonometrií.

Shrneme-li to, můžeme říci, že dnes je trigonometrie nepostradatelnou disciplínou nejen pro přírodní vědy, ale také pro informační technologie. Dlouho přestalo být aplikovaným odvětvím matematiky a skládá se z několika velkých podsekcí, včetně sférické trigonometrie a goniometrie. První se zabývá vlastnostmi úhlů mezi velkými kružnicemi na kouli a druhý se zabývá metodami měření úhlů a vzájemným poměrem goniometrických funkcí.

Trigonometrie je primárně o hledání rohů a hran v pravoúhlých trojúhelníkech a také ve složitějších mnohostěnných tvarech. Když znáte dvě veličiny (úhel a plochu nebo dvě plochy), můžete téměř vždy najít třetí pomocí speciálních goniometrických funkcí a vzorců.

Trigonometrické funkce

V trigonometrii existují pouze dvě přímé funkce: sinus (sin) a kosinus (cos). První se rovná poměru protější větve k přeponě a druhá se rovná přilehlé. V obou případech máme na mysli ostrý úhel pravoúhlého trojúhelníku, který je vždy menší než 90 stupňů. Ve vyšší matematice lze sin a cos aplikovat také na komplexní a reálná čísla.

Všechny ostatní goniometrické funkce jsou derivacemi sinus a kosinus. Jsou pouze čtyři:

Tečna (tg) – poměr protilehlé větve k sousední – tgx = sinx / cosx.
Kotangens (ctg) – poměr sousední větve k protější větvi – ctgx = cosx / sinx.
Second (sec) — poměr přepony k sousední větvi — secx = 1 / cosx.
Kosekant (cosec) – poměr přepony k protější noze – cosecx = 1 / sinx.

Alternativní zápis používaný v anglicky mluvících zemích je následující: tangens - tan, cotangens - cot, cosecant - csc. Jsou uvedeny ve vědecké literatuře, na tlačítkových technických kalkulačkách, v elektronických aplikacích.

Trigonometrické vzorce

Matematici evropských a asijských zemí zkoumali a zdokonalovali goniometrické funkce po mnoho staletí a identifikovali řadu vzorců, které jsou jim vlastní, odčítání, násobení a další matematické operace. Dnes je na tom založen celý základní kurz trigonometrie, který je součástí školních osnov, a to schopnost redukovat a transformovat funkce pomocí existujících axiomů a vět.

Jednoduché identity

Dokonce i ve středověké Indii byly odhaleny nejjednodušší identity použitelné pro přímé a odvozené goniometrické funkce. Ve své hotové (moderní) podobě vypadají takto:

sin²α + cos²α = 1.
1 + tg²α = sec²α.
1 + ctg²α = cosec²α.
tgα ⋅ ctgα = 1.

Výše uvedené vzorce jsou platné pro všechny hodnoty argumentu (α). Pokud zavedeme omezení, že α je větší než 0 a menší než π/2, seznam vzorců se několikanásobně zvětší. Mezi hlavní patří následující:

sinα = √(1 − cos²α).
cosα = √(1 − sin²α).
tgα = sinα / √(1 − sin²α).
ctg = cosα / √(1 − cos²α).
s = 1 / cosα.
cosec = 1 / sinα.

Pro každou ze 6 funkcí existuje 5 platných identit (celkem 30). Všechny jsou uvedeny v tabulce a lze je použít k řešení a zjednodušení goniometrických rovnic s jednou neznámou (α).

Sčítání a odčítání

Součty a rozdíly dvou úhlů (α a β) mají také své vlastní vzory. Pomocí goniometrických vzorců je lze znázornit následovně:

sin(α + β) = sinα ⋅ cosβ + sinβ ⋅ cosα.
cos(α + β) = cosα ⋅ cosβ + sinα ⋅ sinβ.
tg(α + β) = (tgα + tgβ) / (1 − tgα ⋅ tgβ).
ctg(α + β) = (ctgα ⋅ ctgβ − 1) / (ctgα + ctgβ).

Tyto vzorce platí i pro odčítání. Pokud se změní znaménka na pravé straně rovnítka, změní se i na levé straně. V případě tečny to bude vypadat takto: tg(α − β) = (tgα − tgβ) / (1 + tgα ⋅ tgβ).

Násobení

Gigonometrické funkce dvou úhlů (α a β) lze také násobit dohromady pomocí stávajících vzorců:

sinα ⋅ sinβ = (cos(α − β) − cos(α + β)) / 2.
sinα ⋅ cosβ = (sin(α − β) + sin(α + β)) / 2.
cosα ⋅ cosβ = (cos(α − β) + cos(α + β)) / 2.
tgα ⋅ tgβ = (cos(α − β) − cos(α + β)) / (cos(α − β) + cos(α + β)).
tgα ⋅ ctgβ = (sin(α − β) + sin(α + β)) / (sin(α + β) − sin(α − β)).
ctgα ⋅ ctgβ = (cos(α − β) + cos(α + β)) / (cos(α − β) − cos(α + β)).

Existují také vzorce pro umocnění goniometrických funkcí, pro univerzální substituci, pro expanzi do nekonečných součinů, pro získání derivací a primitivních derivací. Délka vzorců se může pohybovat od 2-3 do desítek znaků, pomocí integrálů, součinů polynomů, hyperbolických funkcí. Není snadné je vypočítat ani s jednoduchými hodnotami α a β, a pokud se jedná o složité zlomkové hodnoty s mnoha desetinnými místy, budou výpočty vyžadovat spoustu času a úsilí.

Pro zjednodušení výpočtů goniometrických funkcí (a operací s nimi) se dnes používají speciální online kalkulačky. Do nich se zadávají číselné hodnoty, po kterých program počítá ve zlomku sekundy. Používání takových aplikací je ještě pohodlnější než technické kalkulačky a jsou k dispozici zcela zdarma.

{$ subpageListHide ? ('Show' | translate) : ('Hide' | translate) $}