Trigonometri lommeregner

Loven og regler om sinus, cosinus, tangens

Trigonometri er en gren af matematik, der er viet til trekanter, som giver dig mulighed for at finde deres ukendte vinkler og ansigter ud fra kendte værdier. For eksempel vinklen langs længden af benet og hypotenusen, eller længden af hypotenusen i henhold til den kendte vinkel og benet.

Der er unikke funktioner til beregninger i trigonometri: sinus, cosinus, tangent, cotangens, sekant og cosekant. De bruges ofte i beslægtede videnskaber og discipliner, for eksempel inden for astronomi, geodæsi og arkitektur.

Trigonometri omkring os

Trigonometri er inkluderet i den generelle undervisningsplan og er en af de grundlæggende dele af matematik. I dag finder de med dens hjælp geografiske koordinater, lægger ruter for skibe, beregner himmellegemernes baner, udarbejder programmer og statistiske rapporter. Dette matematiske afsnit er mest efterspurgt:

i astronomi;
i geografi;
i navigation;
i arkitektur;
i optik;
i akustik;
i økonomi (til analyse af finansielle markeder);
i sandsynlighedsteori;
i biologi og medicin;
i elektronik og programmering.

I dag kan selv sådanne tilsyneladende abstrakte grene som farmakologi, kryptologi, seismologi, fonetik og krystallografi ikke undvære trigonometri. Trigonometriske funktioner bruges i computertomografi og ultralyd til at beskrive lys- og lydbølger ved konstruktion af bygninger og strukturer.

Historie for trigonometri

De første trigonometriske tabeller blev brugt i hans skrifter af den antikke græske videnskabsmand Hipparchus fra Nicaea i 180-125 f.Kr. Så blev de rent anvendt i naturen og blev kun brugt til astronomiske beregninger. Der var ingen trigonometriske funktioner (sinus, cosinus og så videre) i Hipparchus tabeller, men der var en opdeling af cirklen i 360 grader og måling af dens buer ved hjælp af akkorder. For eksempel var den moderne sinus dengang kendt som "en halv akkord", hvortil en vinkelret blev trukket fra midten af cirklen.

I år 100 e.Kr. fremlagde den antikke græske matematiker Menelaos af Alexandria i sit tre bind "Sfære" (Sphaericorum) adskillige sætninger, som i dag fuldt ud kan betragtes som "trigonometriske". Den første beskrev kongruensen af to sfæriske trekanter, den anden summen af deres vinkler (som altid er større end 180 grader), og den tredje reglen om "seks størrelser", bedre kendt som Menelaos-sætningen.

Omtrent på samme tid, fra 90 til 160 e.Kr., udgav astronomen Claudius Ptolemæus antikkens mest betydningsfulde trigonometriske afhandling, Almagest, bestående af 13 bøger. Nøglen til det var en sætning, der beskriver forholdet mellem diagonaler og modsatte sider af en konveks firkant indskrevet i en cirkel. Ifølge Ptolemæus' sætning er produktet af den anden altid lig med summen af den førstes produkter. Ud fra den blev der efterfølgende udviklet 4 forskelsformler for sinus og cosinus samt halvvinkelformlen α / 2.

Indian Studies

Den "akkordale" form for beskrivelse af trigonometriske funktioner, som opstod i det antikke Grækenland før vor tidsregning, var almindelig i Europa og Asien indtil middelalderen. Og først i 1500-tallet i Indien blev de erstattet af den moderne sinus og cosinus: med de latinske betegnelser henholdsvis sin og cos. Det var i Indien, at de grundlæggende trigonometriske forhold blev udviklet: sin²α + cos²α = 1, sinα = cos(90° − α), sin(α + β) = sinα ⋅ cosβ + cosα ⋅ sinβ og andre.

Hovedformålet med trigonometri i middelalderens Indien var at finde ultrapræcise tal, primært til astronomisk forskning. Dette kan bedømmes ud fra de videnskabelige afhandlinger af Bhaskara og Aryabhata, herunder det videnskabelige arbejde Surya Siddhanta. Den indiske astronom Nilakanta Somayaji dekomponerede for første gang i historien arctangensen til en uendelig potensrække, og efterfølgende blev sinus og cosinus dekomponeret i serier.

I Europa kom de samme resultater først i det næste XVII århundrede. Serierne for synd og cos blev udledt af Isaac Newton i 1666, og for buetangens i 1671 af Gottfried Wilhelm Leibniz. I det 18. århundrede var videnskabsmænd engageret i trigonometriske undersøgelser både i Europa og i landene i det nære / mellemøsten. Efter at muslimske videnskabelige værker blev oversat til latin og engelsk i det 19. århundrede, blev de ejendom af først europæisk og derefter verdensvidenskab, hvilket gjorde det muligt at kombinere og systematisere al viden relateret til trigonometri.

Opsummerende kan vi sige, at trigonometri i dag er en uundværlig disciplin, ikke kun for naturvidenskab, men også for informationsteknologi. Det er længe ophørt med at være en anvendt gren af matematikken, og består af flere store underafsnit, herunder sfærisk trigonometri og goniometri. Den første behandler egenskaberne af vinkler mellem storcirkler på en kugle, og den anden omhandler metoder til måling af vinkler og forholdet mellem trigonometriske funktioner og hinanden.

Trigonometri handler primært om at finde hjørner og kanter i retvinklede trekanter, såvel som i mere komplekse, polyedriske former. Når du kender to størrelser (en vinkel og en flade eller to flader), kan du næsten altid finde den tredje ved hjælp af specielle trigonometriske funktioner og formler.

Trigonometriske funktioner

Der er kun to direkte funktioner i trigonometri: sinus (sin) og cosinus (cos). Den første er lig med forholdet mellem det modsatte ben og hypotenusen, og den anden er lig med den tilstødende. I begge tilfælde mener vi den spidse vinkel i en retvinklet trekant, som altid er mindre end 90 grader. I højere matematik kan sin og cos også anvendes på komplekse og reelle tal.

Alle andre trigonometriske funktioner er afledte af sinus og cosinus. Der er kun fire af dem:

Tangent (tg) - forholdet mellem det modsatte ben og det tilstødende ben - tgx = sinx / cosx.
Cotangent (ctg) - forholdet mellem det tilstødende ben og det modsatte - ctgx = cosx / sinx.
Sekund (sek) — forholdet mellem hypotenusen og det tilstødende ben — sekx = 1 / cosx.
Cosecant (cosec) - forholdet mellem hypotenusen og det modsatte ben - cosecx = 1 / sinx.

En alternativ notation brugt i engelsktalende lande er som følger: tangent - tan, cotangens - cot, cosecant - csc. De er angivet i den videnskabelige litteratur, på trykknap-tekniske regnemaskiner, i elektroniske applikationer.

Trigonometriske formler

Matematikere fra europæiske og asiatiske lande har forsket i og forbedret trigonometriske funktioner i mange århundreder og har identificeret en række mønstre, der er iboende i dem ud over addition, subtraktion, multiplikation og andre matematiske operationer. I dag er hele grundforløbet i trigonometri, som er en del af skolens læreplan, baseret på dette, nemlig evnen til at reducere og transformere funktioner ved hjælp af eksisterende aksiomer og sætninger.

Enkle identiteter

Selv i middelalderens Indien blev de enkleste identiteter, der kan anvendes til direkte og afledte trigonometriske funktioner, afsløret. I deres færdige (moderne) form ser de sådan ud:

sin²α + cos²α = 1.
1 + tg²α = sek²α.
1 + ctg²α = cosec²α.
tgα ⋅ ctgα = 1.

Ovenstående formler er gyldige for alle værdier af argumentet (α). Hvis vi indfører begrænsningen, at α er større end 0 og mindre end π/2, øges listen over formler flere gange. De vigtigste omfatter følgende:

sinα = √(1 − cos²α).
cosα = √(1 − sin²α).
tgα = sinα / √(1 − sin²α).
ctg = cosα / √(1 − cos²α).
sek = 1 / cosα.
cosec = 1 / sinα.

Der er 5 gyldige identiteter for hver af de 6 funktioner (30 i alt). Alle er anført i tabellen og kan bruges til at løse og forenkle trigonometriske ligninger med én ukendt (α).

Addition og subtraktion

Summerne og forskellene af to vinkler (α og β) har også deres egne mønstre. Ved at bruge trigonometriske formler kan de repræsenteres som følger:

sin(α + β) = sinα ⋅ cosβ + sinβ ⋅ cosα.
cos(α + β) = cosα ⋅ cosβ + sinα ⋅ sinβ.
tg(α + β) = (tgα + tgβ) / (1 − tgα ⋅ tgβ).
ctg(α + β) = (ctgα ⋅ ctgβ − 1) / (ctgα + ctgβ).

Disse formler gælder også for subtraktion. Hvis fortegnene på højre side af lighedstegnet ændres, så ændres de også på venstre side. I tilfældet med tangenten vil det se sådan ud: tg(α − β) = (tgα − tgβ) / (1 + tgα ⋅ tgβ).

Multiplikation

De trigonometriske funktioner af to vinkler (α og β) kan også multipliceres med de eksisterende formler:

sinα ⋅ sinβ = (cos(α − β) − cos(α + β)) / 2.
sinα ⋅ cosβ = (sin(α − β) + sin(α + β)) / 2.
cosα ⋅ cosβ = (cos(α − β) + cos(α + β)) / 2.
tgα ⋅ tgβ = (cos(α − β) − cos(α + β)) / (cos(α − β) + cos(α + β)).
tgα ⋅ ctgβ = (sin(α − β) + sin(α + β)) / (sin(α + β) − sin(α − β)).
ctgα ⋅ ctgβ = (cos(α − β) + cos(α + β)) / (cos(α − β) − cos(α + β)).

Der er også formler til at hæve trigonometriske funktioner til en potens, for universel substitution, for at udvide til uendelige produkter, for at opnå derivater og antiderivater. Længden af formler kan variere fra 2-3 til snesevis af tegn, ved hjælp af integraler, produkter af polynomier, hyperbolske funktioner. De er ikke lette at beregne selv med simple værdier af α og β, og hvis de er komplekse brøkværdier med mange decimaler, vil beregningerne kræve meget tid og kræfter.

For at forenkle beregningerne af trigonometriske funktioner (og operationer med dem), bruges i dag specielle online-regnemaskiner. Numeriske værdier indtastes i dem, hvorefter programmet beregner på en brøkdel af et sekund. Det er endnu mere praktisk at bruge sådanne applikationer end tekniske regnemaskiner, og de er tilgængelige helt gratis.

{$ subpageListHide ? ('Show' | translate) : ('Hide' | translate) $}