Sinus-, Kosinus- und Tangensgesetz
Trigonometrie ist ein Zweig der Mathematik, der sich mit Dreiecken beschäftigt und es Ihnen ermöglicht, ihre unbekannten Winkel und Flächen aus bekannten Werten zu ermitteln. Zum Beispiel der Winkel entlang der Länge von Bein und Hypotenuse oder die Länge der Hypotenuse entsprechend dem bekannten Winkel und Bein.
Es gibt einzigartige Funktionen für Berechnungen in der Trigonometrie: Sinus, Kosinus, Tangens, Kotangens, Sekante und Kosekans. Sie werden häufig in verwandten Wissenschaften und Disziplinen verwendet, beispielsweise in der Astronomie, Geodäsie und Architektur.
Trigonometrie um uns herum
Trigonometrie ist Teil des allgemeinbildenden Lehrplans und einer der grundlegenden Bereiche der Mathematik. Heute finden sie mit seiner Hilfe geografische Koordinaten, legen Schiffsrouten fest, berechnen die Flugbahnen von Himmelskörpern, erstellen Programme und statistische Berichte. Dieser mathematische Abschnitt ist am gefragtesten:
- in der Astronomie;
- in Geographie;
- in der Navigation;
- in der Architektur;
- in der Optik;
- in der Akustik;
- in Wirtschaftswissenschaften (zur Analyse von Finanzmärkten);
- in der Wahrscheinlichkeitstheorie;
- in Biologie und Medizin;
- in Elektronik und Programmierung.
Heutzutage kommen selbst scheinbar abstrakte Zweige wie Pharmakologie, Kryptologie, Seismologie, Phonetik und Kristallographie nicht ohne Trigonometrie aus. Trigonometrische Funktionen werden in der Computertomographie und im Ultraschall zur Beschreibung von Licht- und Schallwellen sowie beim Bau von Gebäuden und Bauwerken verwendet.
Geschichte der Trigonometrie
Die ersten trigonometrischen Tabellen wurden 180–125 v. Chr. vom antiken griechischen Wissenschaftler Hipparchos von Nicäa in seinen Schriften verwendet. Damals wurden sie rein in der Natur angewendet und nur für astronomische Berechnungen verwendet. In den Tabellen des Hipparchos gab es keine trigonometrischen Funktionen (Sinus, Kosinus usw.), aber es gab eine Aufteilung des Kreises in 360 Grad und die Messung seiner Bögen mithilfe von Sehnen. Beispielsweise war der moderne Sinus damals als „halber Akkord“ bekannt, zu dem vom Mittelpunkt des Kreises aus eine Senkrechte gezogen wurde.
Im Jahr 100 n. Chr. stellte der antike griechische Mathematiker Menelaos von Alexandria in seiner dreibändigen „Sphäre“ (Sphaericorum) mehrere Theoreme vor, die heute vollständig als „trigonometrisch“ betrachtet werden können. Der erste beschrieb die Kongruenz zweier sphärischer Dreiecke, der zweite die Summe ihrer Winkel (die immer größer als 180 Grad ist) und der dritte die „Sechs-Größen“-Regel, besser bekannt als Menelaos-Theorem.
Ungefähr zur gleichen Zeit, zwischen 90 und 160 n. Chr., veröffentlichte der Astronom Claudius Ptolemäus die bedeutendste trigonometrische Abhandlung der Antike, Almagest, bestehend aus 13 Büchern. Der Schlüssel dazu war ein Satz, der das Verhältnis von Diagonalen und gegenüberliegenden Seiten eines konvexen Vierecks beschreibt, das in einen Kreis eingeschrieben ist. Nach dem Satz des Ptolemäus ist das Produkt des zweiten immer gleich der Summe der Produkte des ersten. Darauf aufbauend wurden anschließend 4 Differenzformeln für Sinus und Cosinus sowie die Halbwinkelformel α/2 entwickelt.
Indianistik
Die „akkordische“ Form zur Beschreibung trigonometrischer Funktionen, die im antiken Griechenland vor unserer Zeitrechnung entstand, war in Europa und Asien bis zum Mittelalter üblich. Und erst im 16. Jahrhundert wurden sie in Indien durch den modernen Sinus und Cosinus ersetzt: mit den lateinischen Bezeichnungen sin bzw. cos. In Indien wurden die grundlegenden trigonometrischen Verhältnisse entwickelt: sin²α + cos²α = 1, sinα = cos(90° − α), sin(α + β) = sinα ⋅ cosβ + cosα ⋅ sinβ und andere.
Der Hauptzweck der Trigonometrie im mittelalterlichen Indien bestand darin, ultrapräzise Zahlen zu finden, hauptsächlich für die astronomische Forschung. Dies kann anhand der wissenschaftlichen Abhandlungen von Bhaskara und Aryabhata, einschließlich des wissenschaftlichen Werks Surya Siddhanta, beurteilt werden. Der indische Astronom Nilakanta Somayaji zerlegte zum ersten Mal in der Geschichte den Arkustangens in eine unendliche Potenzreihe und anschließend wurden Sinus und Cosinus in Reihen zerlegt.
In Europa kam es erst im darauffolgenden 17. Jahrhundert zu denselben Ergebnissen. Die Reihen für sin und cos wurden 1666 von Isaac Newton und für den Arcustangens 1671 von Gottfried Wilhelm Leibniz abgeleitet. Im 18. Jahrhundert beschäftigten sich Wissenschaftler sowohl in Europa als auch in den Ländern des Nahen/Mittleren Ostens mit trigonometrischen Studien. Nachdem muslimische wissenschaftliche Werke im 19. Jahrhundert ins Lateinische und Englische übersetzt wurden, gingen sie zunächst in den Besitz der europäischen und dann der Weltwissenschaft über und ermöglichten die Kombination und Systematisierung aller mit der Trigonometrie verbundenen Kenntnisse.
Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die Trigonometrie heute nicht nur für die Naturwissenschaften, sondern auch für die Informationstechnologie eine unverzichtbare Disziplin ist. Sie ist längst kein angewandter Zweig der Mathematik mehr und besteht aus mehreren großen Unterabschnitten, darunter der sphärischen Trigonometrie und der Goniometrie. Der erste befasst sich mit den Eigenschaften von Winkeln zwischen Großkreisen auf einer Kugel und der zweite befasst sich mit Methoden zur Messung von Winkeln und dem Verhältnis trigonometrischer Funktionen zueinander.
