Υπολογιστής τριγωνομετρίας

Νόμος ημιτόνων, συνημιτόνων, εφαπτομένων

Η τριγωνομετρία είναι ένας κλάδος των μαθηματικών αφιερωμένος στα τρίγωνα, ο οποίος σας επιτρέπει να βρείτε τις άγνωστες γωνίες και τις όψεις τους από γνωστές τιμές. Για παράδειγμα, η γωνία κατά μήκος του σκέλους και της υποτείνουσας ή το μήκος της υποτείνουσας σύμφωνα με τη γνωστή γωνία και το σκέλος.

Υπάρχουν μοναδικές συναρτήσεις για υπολογισμούς στην τριγωνομετρία: ημιτονοειδές, συνημίτονο, εφαπτομένη, συνεφαπτομένη, διατομή και συνημίτονο. Χρησιμοποιούνται συχνά σε συναφείς επιστήμες και κλάδους, για παράδειγμα, στην αστρονομία, τη γεωδαισία και την αρχιτεκτονική.

Η τριγωνομετρία γύρω μας

Η τριγωνομετρία περιλαμβάνεται στο πρόγραμμα σπουδών της γενικής εκπαίδευσης και είναι ένα από τα θεμελιώδη τμήματα των μαθηματικών. Σήμερα, με τη βοήθειά του, βρίσκουν γεωγραφικές συντεταγμένες, χαράσσουν τις διαδρομές των πλοίων, υπολογίζουν τις τροχιές των ουράνιων σωμάτων, συντάσσουν προγράμματα και στατιστικές εκθέσεις. Αυτό το μαθηματικό τμήμα έχει τη μεγαλύτερη ζήτηση:

στην αστρονομία;
στη γεωγραφία;
στην πλοήγηση;
στην αρχιτεκτονική;
στην οπτική;
στην ακουστική;
στα οικονομικά (για την ανάλυση των χρηματοπιστωτικών αγορών);
στη θεωρία πιθανοτήτων;
στη βιολογία και την ιατρική,
στα ηλεκτρονικά και τον προγραμματισμό.

Σήμερα ακόμη και τέτοιοι φαινομενικά αφηρημένοι κλάδοι όπως η φαρμακολογία, η κρυπτολογία, η σεισμολογία, η φωνητική και η κρυσταλλογραφία δεν μπορούν να κάνουν χωρίς τριγωνομετρία. Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις χρησιμοποιούνται στην υπολογιστική τομογραφία και στους υπερήχους, για την περιγραφή των κυμάτων φωτός και ήχου, στην κατασκευή κτιρίων και κατασκευών.

Ιστορία της τριγωνομετρίας

Οι πρώτοι τριγωνομετρικοί πίνακες χρησιμοποιήθηκαν στα γραπτά του από τον αρχαίο Έλληνα επιστήμονα Ίππαρχο από τη Νίκαια το 180-125 π.Χ. Στη συνέχεια εφαρμόστηκαν καθαρά στη φύση και χρησιμοποιήθηκαν μόνο για αστρονομικούς υπολογισμούς. Δεν υπήρχαν τριγωνομετρικές συναρτήσεις (ημιτονοειδές, συνημίτονο κ.λπ.) στους πίνακες του Ίππαρχου, αλλά υπήρχε διαίρεση του κύκλου σε 360 μοίρες και η μέτρηση των τόξων του με χρήση χορδών. Για παράδειγμα, το σύγχρονο ημίτονο τότε ήταν γνωστό ως "μισή χορδή", προς το οποίο τραβήχτηκε μια κάθετη από το κέντρο του κύκλου.

Το έτος 100 μ.Χ., ο αρχαίος Έλληνας μαθηματικός Μενέλαος από την Αλεξάνδρεια, στον τρίτομο «Σφαίρα» του (Sphaericorum), παρουσίασε αρκετά θεωρήματα που σήμερα μπορούν να θεωρηθούν πλήρως «τριγωνομετρικά». Το πρώτο περιέγραψε τη συνάφεια δύο σφαιρικών τριγώνων, το δεύτερο το άθροισμα των γωνιών τους (που είναι πάντα μεγαλύτερο από 180 μοίρες) και το τρίτο τον κανόνα των "έξι μεγεθών", πιο γνωστό ως θεώρημα του Μενέλαου.

Περίπου την ίδια εποχή, από το 90 έως το 160 μ.Χ., ο αστρονόμος Κλαύδιος Πτολεμαίος δημοσίευσε την πιο σημαντική τριγωνομετρική πραγματεία της αρχαιότητας, την Αλμαγέστη, που αποτελείται από 13 βιβλία. Το κλειδί σε αυτό ήταν ένα θεώρημα που περιγράφει την αναλογία των διαγωνίων και των απέναντι πλευρών ενός κυρτού τετράπλευρου εγγεγραμμένου σε κύκλο. Σύμφωνα με το θεώρημα του Πτολεμαίου, το γινόμενο του δεύτερου είναι πάντα ίσο με το άθροισμα των γινομένων του πρώτου. Με βάση αυτό, αναπτύχθηκαν στη συνέχεια 4 τύποι διαφοράς για το ημίτονο και το συνημίτονο, καθώς και ο τύπος μισής γωνίας α / 2.

Ινδικές Σπουδές

Η "χορδιακή" μορφή περιγραφής τριγωνομετρικών συναρτήσεων, που προέκυψε στην αρχαία Ελλάδα πριν από την εποχή μας, ήταν κοινή στην Ευρώπη και την Ασία μέχρι τον Μεσαίωνα. Και μόνο τον 16ο αιώνα στην Ινδία αντικαταστάθηκαν από το σύγχρονο ημίτονο και συνημίτονο: με τους λατινικούς χαρακτηρισμούς sin και cos, αντίστοιχα. Στην Ινδία αναπτύχθηκαν οι θεμελιώδεις τριγωνομετρικοί λόγοι: sin²α + cos²α = 1, sinα = cos(90° − α), sin(α + β) = sinα ⋅ cosβ + cosα ⋅ sinβ και άλλα.

Ο κύριος σκοπός της τριγωνομετρίας στη μεσαιωνική Ινδία ήταν να βρει εξαιρετικά ακριβείς αριθμούς, κυρίως για αστρονομική έρευνα. Αυτό μπορεί να κριθεί από τις επιστημονικές πραγματείες των Bhaskara και Aryabhata, συμπεριλαμβανομένου του επιστημονικού έργου Surya Siddhanta. Ο Ινδός αστρονόμος Nilakanta Somayaji για πρώτη φορά στην ιστορία αποσύνθεση της τοξοεφαπτομένης σε μια σειρά άπειρης ισχύος και στη συνέχεια το ημίτονο και το συνημίτονο αποσυντέθηκαν σε σειρές.

Στην Ευρώπη, τα ίδια αποτελέσματα ήρθαν μόνο τον επόμενο, XVII αιώνα. Η σειρά για την αμαρτία και το cos προήλθε από τον Ισαάκ Νεύτωνα το 1666 και για την εφαπτομένη τόξο το 1671 από τον Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς. Τον 18ο αιώνα, οι επιστήμονες ασχολήθηκαν με τριγωνομετρικές μελέτες τόσο στην Ευρώπη όσο και στις χώρες της Εγγύς / Μέσης Ανατολής. Αφού μεταφράστηκαν μουσουλμανικά επιστημονικά έργα στα λατινικά και τα αγγλικά τον 19ο αιώνα, περιήλθαν στην ιδιοκτησία της πρώτης ευρωπαϊκής και στη συνέχεια της παγκόσμιας επιστήμης, κατέστησαν δυνατό να συνδυαστούν και να συστηματοποιηθούν όλες οι γνώσεις που σχετίζονται με την τριγωνομετρία.

Συνοψίζοντας, μπορούμε να πούμε ότι σήμερα η τριγωνομετρία είναι ένας απαραίτητος κλάδος όχι μόνο για τις φυσικές επιστήμες, αλλά και για την τεχνολογία της πληροφορίας. Έχει πάψει εδώ και πολύ καιρό να είναι ένας εφαρμοσμένος κλάδος των μαθηματικών και αποτελείται από πολλές μεγάλες υποενότητες, συμπεριλαμβανομένης της σφαιρικής τριγωνομετρίας και της γωνιομετρίας. Το πρώτο εξετάζει τις ιδιότητες των γωνιών μεταξύ μεγάλων κύκλων σε μια σφαίρα και το δεύτερο ασχολείται με μεθόδους μέτρησης γωνιών και τον λόγο των τριγωνομετρικών συναρτήσεων μεταξύ τους.

Τύποι ημιτόνου, συνημιτόνου, εφαπτομένης

Η τριγωνομετρία αφορά κυρίως την εύρεση γωνιών και άκρων σε ορθογώνια τρίγωνα, καθώς και σε πιο περίπλοκα, πολυεδρικά σχήματα. Γνωρίζοντας δύο ποσότητες (μια γωνία και μια όψη ή δύο όψεις), μπορείτε σχεδόν πάντα να βρείτε την τρίτη χρησιμοποιώντας ειδικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις και τύπους.

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις

Υπάρχουν μόνο δύο άμεσες συναρτήσεις στην τριγωνομετρία: ημίτονο (sin) και συνημίτονο (cos). Το πρώτο είναι ίσο με την αναλογία του αντίθετου σκέλους προς την υποτείνουσα και το δεύτερο είναι ίσο με το διπλανό. Και στις δύο περιπτώσεις, εννοούμε την οξεία γωνία ενός ορθογωνίου τριγώνου, η οποία είναι πάντα μικρότερη από 90 μοίρες. Στα ανώτερα μαθηματικά, το sin και το cos μπορούν επίσης να εφαρμοστούν σε μιγαδικούς και πραγματικούς αριθμούς.

Όλες οι άλλες τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι παράγωγοι του ημιτόνου και του συνημιτόνου. Υπάρχουν μόνο τέσσερις από αυτές:

Επταπτομένη (tg) - ο λόγος του απέναντι σκέλους προς το διπλανό - tgx = sinx / cosx.
Συμεφαπτομένη (ctg) - η αναλογία του διπλανού σκέλους προς το αντίθετο - ctgx = cosx / sinx.
Δεύτερη (δευτερόλεπτο) — ο λόγος της υποτείνουσας προς το διπλανό σκέλος — secx = 1 / cosx.
Cosecant (cosec) - η αναλογία της υποτείνουσας προς το αντίθετο σκέλος - cosecx = 1 / sinx.

Ένας εναλλακτικός συμβολισμός που χρησιμοποιείται στις αγγλόφωνες χώρες είναι ο ακόλουθος: εφαπτομένη - μαύρισμα, συνεφαπτομένη - κούνια, συνοδευτική - csc. Υποδεικνύονται στην επιστημονική βιβλιογραφία, σε μηχανικές αριθμομηχανές με κουμπιά, σε ηλεκτρονικές εφαρμογές.

Τριγωνομετρικοί τύποι

Μαθηματικοί ευρωπαϊκών και ασιατικών χωρών ερευνούν και βελτιώνουν τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις για πολλούς αιώνες και έχουν εντοπίσει έναν αριθμό εγγενών μοτίβων σε αυτές, επιπλέον, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό και άλλες μαθηματικές πράξεις. Σήμερα, ολόκληρο το βασικό μάθημα της τριγωνομετρίας, που αποτελεί μέρος του σχολικού προγράμματος σπουδών, βασίζεται σε αυτό, δηλαδή στην ικανότητα μείωσης και μετατροπής συναρτήσεων χρησιμοποιώντας υπάρχοντα αξιώματα και θεωρήματα.

Απλές ταυτότητες

Ακόμη και στη μεσαιωνική Ινδία, αποκαλύφθηκαν οι απλούστερες ταυτότητες που ισχύουν για άμεσες και παράγωγες τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Στην τελειωμένη (μοντέρνα) μορφή τους, μοιάζουν με αυτό:

sin²α + cos²α = 1.
1 + tg²α = sec²α.
1 + ctg²α = cosec²α.
tgα ⋅ ctgα = 1.

Οι παραπάνω τύποι ισχύουν για οποιεσδήποτε τιμές του ορίσματος (α). Εάν εισάγουμε τον περιορισμό ότι το α είναι μεγαλύτερο από 0 και μικρότερο από π/2, η λίστα των τύπων αυξάνεται αρκετές φορές. Τα κυριότερα περιλαμβάνουν τα εξής:

sinα = √(1 − cos²α).
cosα = √(1 − sin²α).
tgα = sinα / √(1 − sin²α).
ctg = cosα / √(1 − cos²α).
sec = 1 / cosα.
cosec = 1 / sinα.

Υπάρχουν 5 έγκυρες ταυτότητες για καθεμία από τις 6 συναρτήσεις (30 συνολικά). Όλα αυτά παρατίθενται στον πίνακα και μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την επίλυση και την απλοποίηση τριγωνομετρικών εξισώσεων με έναν άγνωστο (α).

Πρόσθεση και αφαίρεση

Τα αθροίσματα και οι διαφορές δύο γωνιών (α και β) έχουν επίσης τα δικά τους σχέδια. Χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικούς τύπους, μπορούν να αναπαρασταθούν ως εξής:

sin(α + β) = sinα ⋅ cosβ + sinβ ⋅ cosα.
cos(α + β) = cosα ⋅ cosβ + sinα ⋅ sinβ.
tg(α + β) = (tgα + tgβ) / (1 − tgα ⋅ tgβ).
ctg(α + β) = (ctgα ⋅ ctgβ − 1) / (ctgα + ctgβ).

Αυτοί οι τύποι ισχύουν και για την αφαίρεση. Αν αλλάξουν τα σημάδια στη δεξιά πλευρά του πρόσημου ίσου, τότε αλλάζουν και στην αριστερή πλευρά. Στην περίπτωση της εφαπτομένης, θα μοιάζει με αυτό: tg(α − β) = (tgα − tgβ) / (1 + tgα ⋅ tgβ).

Πολλαπλασιασμός

Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις δύο γωνιών (α και β) μπορούν επίσης να πολλαπλασιαστούν μαζί χρησιμοποιώντας τους υπάρχοντες τύπους:

sina ⋅ sinβ = (cos(α − β) − cos(α + β)) / 2.
sinα ⋅ cosβ = (sin(α − β) + sin(α + β)) / 2.
cosα ⋅ cosβ = (cos(α − β) + cos(α + β)) / 2.
tgα ⋅ tgβ = (cos(α − β) − cos(α + β)) / (cos(α − β) + cos(α + β)).
tgα ⋅ ctgβ = (sin(α − β) + sin(α + β)) / (sin(α + β) − sin(α − β)).
ctgα ⋅ ctgβ = (cos(α − β) + cos(α + β)) / (cos(α − β) − cos(α + β)).

Υπάρχουν επίσης τύποι για την αύξηση των τριγωνομετρικών συναρτήσεων σε ισχύ, για καθολική υποκατάσταση, για επέκταση σε άπειρα γινόμενα, για λήψη παραγώγων και αντιπαραγώγων. Το μήκος των τύπων μπορεί να κυμαίνεται από 2-3 έως δεκάδες χαρακτήρες, χρησιμοποιώντας ολοκληρώματα, γινόμενα πολυωνύμων, υπερβολικές συναρτήσεις. Δεν είναι εύκολο να υπολογιστούν ακόμη και με απλές τιμές των α και β, και αν είναι σύνθετες κλασματικές τιμές με πολλά δεκαδικά, οι υπολογισμοί θα απαιτήσουν πολύ χρόνο και προσπάθεια.

Για να απλοποιηθούν οι υπολογισμοί των τριγωνομετρικών συναρτήσεων (και οι πράξεις με αυτές), σήμερα χρησιμοποιούνται ειδικοί ηλεκτρονικοί αριθμομηχανές. Εισάγονται αριθμητικές τιμές σε αυτές, μετά τις οποίες το πρόγραμμα υπολογίζει σε κλάσμα του δευτερολέπτου. Η χρήση τέτοιων εφαρμογών είναι ακόμη πιο βολική από τις μηχανικές αριθμομηχανές και διατίθενται εντελώς δωρεάν.

{$ subpageListHide ? ('Show' | translate) : ('Hide' | translate) $}