Siinus, koosinus, puutuja

Trigonomeetria on kolmnurkadele pühendatud matemaatika haru, mis võimaldab teadaolevate väärtuste põhjal leida nende tundmatuid nurki ja tahke. Näiteks nurk jala ja hüpotenuusi pikkuses või hüpotenuusi pikkus vastavalt teadaolevale nurgale ja jalale.

Trigonomeetrias on arvutuste tegemiseks ainulaadsed funktsioonid: siinus, koosinus, puutuja, kootangens, sekant ja kosekants. Neid kasutatakse sageli seotud teadustes ja distsipliinides, näiteks astronoomias, geodeesias ja arhitektuuris.

Trigonomeetria meie ümber

Trigonomeetria sisaldub üldhariduse õppekavas ja on üks matemaatika põhiosasid. Tänapäeval leiavad nad selle abiga geograafilisi koordinaate, määravad laevade marsruute, arvutavad välja taevakehade trajektoore, koostavad programme ja statistilisi aruandeid. See matemaatiline osa on kõige nõudlikum:

astronoomias;
geograafias;
navigeerimisel;
arhitektuuris;
optikas;
akustikas;
majanduses (finantsturgude analüüsiks);
tõenäosusteoorias;
bioloogias ja meditsiinis;
elektroonikas ja programmeerimises.

Tänapäeval ei saa ilma trigonomeetriata hakkama isegi sellised pealtnäha abstraktsed harud nagu farmakoloogia, krüptoloogia, seismoloogia, foneetika ja kristallograafia. Trigonomeetrilisi funktsioone kasutatakse kompuutertomograafias ja ultrahelis, valgus- ja helilainete kirjeldamisel, hoonete ja rajatiste ehitamisel.

Trigonomeetria ajalugu

Esimesi trigonomeetrilisi tabeleid kasutas oma kirjutistes Vana-Kreeka teadlane Hipparkhos Nikaiast aastatel 180–125 eKr. Siis kasutati neid puhtalt looduses ja kasutati ainult astronoomilisteks arvutusteks. Hipparchose tabelites trigonomeetrilisi funktsioone (siinus, koosinus ja nii edasi) ei olnud, küll aga oli ringjoone jagamine 360 kraadiks ja selle kaare mõõtmine akordide abil. Näiteks tänapäevast siinust tunti siis "poolakordina", millele tõmmati ringi keskpunktist risti.

Aastal 100 pKr esitas Vana-Kreeka matemaatik Menelaus Aleksandriast oma kolmeköitelises teoses "Sfäär" (Sphaericorum) mitu teoreemi, mida tänapäeval võib täielikult pidada "trigonomeetrilisteks". Esimene kirjeldas kahe sfäärilise kolmnurga kongruentsust, teine nende nurkade summat (mis on alati suurem kui 180 kraadi) ja kolmas "kuue suuruse" reeglit, mida tuntakse paremini Menelaose teoreemina.

Umbes samal ajal, aastatel 90–160 pKr, avaldas astronoom Claudius Ptolemaios antiikaja kõige olulisema trigonomeetrilise traktaadi Almagest, mis koosnes 13 raamatust. Selle võtmeks oli teoreem, mis kirjeldas ringi sisse kirjutatud kumera nelinurga diagonaalide ja vastaskülgede suhet. Ptolemaiose teoreemi kohaselt on teise korrutis alati võrdne esimese korrutiste summaga. Selle põhjal töötati hiljem välja 4 siinuse ja koosinuse erinevuse valemit ning poolnurga valem α / 2.

India uuringud

Trigonomeetriliste funktsioonide kirjeldamise "kordaalne" vorm, mis tekkis Vana-Kreekas enne meie ajastut, oli Euroopas ja Aasias levinud kuni keskajani. Ja alles 16. sajandil asendati need Indias tänapäevase siinuse ja koosinusega: vastavalt ladina tähistustega sin ja cos. Indias töötati välja põhilised trigonomeetrilised suhted: sin²α + cos²α = 1, sinα = cos(90° − α), sin(α + β) = sinα ⋅ cosβ + cosα ⋅ sinβ ja teised.

Keskaegse India trigonomeetria põhieesmärk oli ülitäpsete arvude leidmine eelkõige astronoomiliste uuringute jaoks. Seda saab otsustada Bhaskara ja Aryabhata teaduslike traktaatide, sealhulgas teadusliku töö Surya Siddhanta põhjal. India astronoom Nilakanta Somayaji lagundas esimest korda ajaloos arktangensi lõpmatuks astmereaks ning seejärel lagundati siinus ja koosinus jadadeks.

Euroopas saadi samad tulemused alles järgmisel, XVII sajandil. Patu ja cos seeria tuletas Isaac Newton 1666. aastal ja arctangensi 1671. aastal Gottfried Wilhelm Leibniz. 18. sajandil tegelesid teadlased trigonomeetriliste uuringutega nii Euroopas kui ka Lähis-Ida riikides. Pärast seda, kui moslemite teadustööd 19. sajandil ladina ja inglise keelde tõlgiti, läksid need esmalt Euroopa ja seejärel maailma teaduse omandisse, võimaldasid ühendada ja süstematiseerida kõiki trigonomeetriaga seotud teadmisi.

Kokkuvõttes võib öelda, et trigonomeetria on tänapäeval asendamatu distsipliin mitte ainult loodusteaduste, vaid ka infotehnoloogia jaoks. See pole ammu enam matemaatika rakendusharu ja koosneb mitmest suurest alajaost, sealhulgas sfäärilisest trigonomeetriast ja goniomeetriast. Esimene käsitleb sfääri suurringide vaheliste nurkade omadusi ja teine käsitleb nurkade mõõtmise meetodeid ja trigonomeetriliste funktsioonide omavahelist suhet.

Trigonomeetria seisneb peamiselt täisnurksete kolmnurkade, aga ka keerukamate hulktahuliste kujundite nurkade ja servade leidmises. Teades kahte suurust (nurk ja tahk või kaks tahku), leiate peaaegu alati kolmanda, kasutades spetsiaalseid trigonomeetrilisi funktsioone ja valemeid.

Trigonomeetrilised funktsioonid

Trigonomeetrias on ainult kaks otsest funktsiooni: siinus (sin) ja koosinus (cos). Esimene on võrdne vastasjala suhtega hüpotenuusiga ja teine on võrdne külgneva jalaga. Mõlemal juhul peame silmas täisnurkse kolmnurga teravnurka, mis on alati väiksem kui 90 kraadi. Kõrgemas matemaatikas saab sin ja cos rakendada ka kompleks- ja reaalarvudele.

Kõik muud trigonomeetrilised funktsioonid on siinuse ja koosinuse tuletised. Neid on ainult neli:

Tangens (tg) – vastassuuna ja külgneva jala suhe – tgx = sinx / cosx.
Kootangens (ctg) – külgneva ja vastupidise jala suhe – ctgx = cosx / sinx.
Sekund (sek) – hüpotenuusi ja külgneva jala suhe – secx = 1 / cosx.
Cosecant (cosec) – hüpotenuusi ja vastasjala suhe – cosecx = 1 / sinx.

Inglise keelt kõnelevates riikides kasutatav alternatiivne tähistus on järgmine: tangent - tan, cotangent - cot, cosecant - csc. Need on näidatud teaduskirjanduses, nupuvajutusega insenerikalkulaatoritel, elektroonilistes rakendustes.

Trigonomeetrilised valemid

Euroopa ja Aasia riikide matemaatikud on trigonomeetrilisi funktsioone uurinud ja täiustanud sajandeid ning tuvastanud lisaks liit-, lahutamis-, korrutamis- ja muudele matemaatilistele tehtetele mitmeid neile omaseid mustreid. Sellel põhineb tänapäeval kogu kooli õppekavasse kuuluv trigonomeetria algkursus, nimelt funktsioonide redutseerimise ja teisendamise oskus olemasolevate aksioomide ja teoreemide abil.

Lihtsad identiteedid

Isegi keskaegses Indias avastati otseste ja tuletatud trigonomeetriliste funktsioonide jaoks kõige lihtsamad identiteedid. Viimistletud (tänapäevasel) kujul näevad nad välja järgmised:

sin²α + cos²α = 1.
1 + tg²α = sec²α.
1 + ctg²α = cosec²α.
tgα ⋅ ctgα = 1.

Ülaltoodud valemid kehtivad argumendi (α) mis tahes väärtuste jaoks. Kui kehtestame piirangu, et α on suurem kui 0 ja väiksem kui π/2, suureneb valemite loend mitu korda. Peamised on järgmised:

sinα = √(1 − cos²α).
cosα = √(1 − sin²α).
tgα = sinα / √(1 − sin²α).
ctg = cosα / √(1 − cos²α).
sek = 1 / cosα.
cosec = 1 / sinα.

Igal 6 funktsioonil (kokku 30) on 5 kehtivat identiteeti. Kõik need on loetletud tabelis ja neid saab kasutada ühe tundmatu (α) trigonomeetriliste võrrandite lahendamiseks ja lihtsustamiseks.

Lisamine ja lahutamine

Kahe nurga (α ja β) summadel ja erinevustel on samuti oma mustrid. Trigonomeetrilisi valemeid kasutades saab neid esitada järgmiselt:

sin(α + β) = sinα ⋅ cosβ + sinβ ⋅ cosα.
cos(α + β) = cosα ⋅ cosβ + sinα ⋅ sinβ.
tg(α + β) = (tgα + tgβ) / (1 − tgα ⋅ tgβ).
ctg(α + β) = (ctgα ⋅ ctgβ − 1) / (ctgα + ctgβ).

Need valemid kehtivad ka lahutamisel. Kui võrdusmärgi paremal küljel olevad märgid muutuvad, siis muutuvad need ka vasakul. Puutuja puhul näeb see välja järgmine: tg(α − β) = (tgα − tgβ) / (1 + tgα ⋅ tgβ).

Korrutamine

Kahe nurga (α ja β) trigonomeetrilisi funktsioone saab omavahel korrutada ka olemasolevate valemite abil:

sinα ⋅ sinβ = (cos(α − β) − cos(α + β)) / 2.
sinα ⋅ cosβ = (sin(α − β) + sin(α + β)) / 2.
cosα ⋅ cosβ = (cos(α − β) + cos(α + β)) / 2.
tgα ⋅ tgβ = (cos(α − β) − cos(α + β)) / (cos(α − β) + cos(α + β)).
tgα ⋅ ctgβ = (sin(α − β) + sin(α + β)) / (sin(α + β) − sin(α − β)).
ctgα ⋅ ctgβ = (cos(α − β) + cos(α + β)) / (cos(α − β) − cos(α + β)).

On olemas ka valemid trigonomeetriliste funktsioonide astmeks tõstmiseks, universaalseks asendamiseks, lõpmatuteks korrutisteks laiendamiseks, tuletiste ja antiderivaatide saamiseks. Valemite pikkus võib varieeruda 2-3 kuni kümnete märkideni, kasutades integraale, polünoomide korrutisi, hüperboolseid funktsioone. Neid pole lihtne arvutada isegi lihtsate α ja β väärtustega ning kui need on mitme kümnendkohaga keerulised murdarvud, nõuavad arvutused palju aega ja vaeva.

Trigonomeetriliste funktsioonide (ja nendega tehte) arvutamise lihtsustamiseks kasutatakse tänapäeval spetsiaalseid veebikalkulaatoreid. Neisse sisestatakse arvväärtused, mille järel programm arvutab sekundi murdosaga. Selliste rakenduste kasutamine on veelgi mugavam kui insenerikalkulaatorid ja need on saadaval täiesti tasuta.

{$ subpageListHide ? ('Show' | translate) : ('Hide' | translate) $}