ماشین حساب مثلثاتی

مثلثات شاخه‌ای از ریاضیات است که به مثلث‌ها اختصاص دارد و به شما امکان می‌دهد زوایای ناشناخته و چهره‌های آن‌ها را از مقادیر شناخته شده پیدا کنید. برای مثال، زاویه در امتداد طول ساق و هیپوتنوز، یا طول هیپوتنوز با توجه به زاویه و ساق شناخته شده.

توابع منحصربه‌فردی برای محاسبات در مثلثات وجود دارد: سینوس، کسینوس، مماس، کوتانژانت، سکانت و کوسکانت. آنها اغلب در علوم و رشته های مرتبط، به عنوان مثال، در نجوم، ژئودزی، و معماری استفاده می شوند.

مثلثات پیرامون ما

مثلثات در برنامه درسی آموزش عمومی گنجانده شده است و یکی از بخشهای اساسی ریاضیات است. امروزه با کمک آن مختصات جغرافیایی پیدا می کنند، مسیر کشتی ها را تعیین می کنند، مسیر اجرام آسمانی را محاسبه می کنند، برنامه ها و گزارش های آماری را تدوین می کنند. این بخش ریاضی بیشترین تقاضا را دارد:

در نجوم؛
در جغرافیا؛
در پیمایش؛
در معماری؛
در اپتیک؛
در آکوستیک؛
در اقتصاد (برای تجزیه و تحلیل بازارهای مالی)؛
در نظریه احتمال؛
در زیست شناسی و پزشکی؛
در الکترونیک و برنامه نویسی.

امروزه حتی شاخه های به ظاهر انتزاعی مانند فارماکولوژی، رمز شناسی، لرزه شناسی، آوایی و بلورشناسی نیز نمی توانند بدون مثلثات کار کنند. توابع مثلثاتی در توموگرافی کامپیوتری و اولتراسوند، برای توصیف امواج نور و صدا، در ساخت ساختمان ها و سازه ها استفاده می شود.

تاریخچه مثلثات

اولین جداول مثلثاتی توسط هیپارخوس، دانشمند یونانی باستانی نیقیایی در سالهای 180-125 قبل از میلاد در نوشته هایش استفاده شد. سپس آنها صرفاً در طبیعت کاربردی بودند و فقط برای محاسبات نجومی استفاده می شدند. در جداول هیپارخوس توابع مثلثاتی (سینوس، کسینوس و غیره) وجود نداشت، اما تقسیم دایره به 360 درجه و اندازه گیری کمان های آن با استفاده از وتر وجود داشت. برای مثال، سینوس مدرن در آن زمان به عنوان "نیم وتر" شناخته می شد، که یک عمود از مرکز دایره به آن کشیده می شد.

در سال 100 پس از میلاد، ریاضیدان یونانی باستان، منلائوس اسکندریه، در سه جلد خود "Sphere" (Sphaericorum) چندین قضیه را ارائه کرد که امروزه می توان آنها را کاملاً "مثلثاتی" در نظر گرفت. اولی همخوانی دو مثلث کروی، دومی مجموع زوایای آنها (که همیشه بیشتر از 180 درجه است) و سومی قانون "شش قدر" را که بیشتر به عنوان قضیه منلائوس شناخته می شود، توضیح داد.

تقریبا در همان زمان، از سال 90 تا 160 پس از میلاد، کلودیوس بطلمیوس، ستاره شناس، مهم ترین رساله مثلثاتی دوران باستان، آلماگست، متشکل از 13 کتاب را منتشر کرد. کلید آن قضیه ای بود که نسبت مورب ها و اضلاع مقابل یک چهارضلعی محدب را که در یک دایره محاط شده بود، توصیف می کرد. طبق قضیه بطلمیوس، حاصل ضرب دومی همیشه برابر است با مجموع حاصلضرب های اولی. بر اساس آن، 4 فرمول تفاوت برای سینوس و کسینوس متعاقباً و همچنین فرمول نیم‌زاویه α / 2 ایجاد شد.

مطالعات هندی

شکل "وتر" توصیف توابع مثلثاتی، که در یونان باستان قبل از دوران ما بوجود آمد، تا قرون وسطی در اروپا و آسیا رایج بود. و تنها در قرن شانزدهم در هند آنها با سینوس و کسینوس مدرن جایگزین شدند: به ترتیب با نام های لاتین sin و cos. در هند بود که نسبت های مثلثاتی اساسی ایجاد شد: sin²α + cos²α = 1، sinα = cos(90° - α)، sin(α + β) = sinα ⋅ cosβ + cosα ⋅ sinβ و موارد دیگر.

هدف اصلی مثلثات در هند قرون وسطی یافتن اعداد بسیار دقیق، عمدتاً برای تحقیقات نجومی بود. این را می توان از رساله های علمی باسکارا و آریابهاتا، از جمله کار علمی Surya Siddhanta، قضاوت کرد. ستاره شناس هندی نیلاکانتا سومایاجی برای اولین بار در تاریخ، تانژانت قطبی را به یک سری توان بی نهایت تجزیه کرد و متعاقباً سینوس و کسینوس به سری تجزیه شدند.

در اروپا، نتایج مشابه تنها در قرن هفدهم بعدی به دست آمد. سری گناه و cos توسط آیزاک نیوتن در سال 1666 و برای مماس قوس در سال 1671 توسط گوتفرید ویلهلم لایبنیتس مشتق شد. در قرن هجدهم، دانشمندان هم در اروپا و هم در کشورهای خاورمیانه / نزدیک به مطالعات مثلثاتی مشغول بودند. پس از ترجمه آثار علمی مسلمانان به لاتین و انگلیسی در قرن نوزدهم، آنها ابتدا به علم اروپایی و سپس جهانی تبدیل شدند و امکان ترکیب و نظام‌بندی همه دانش‌های مرتبط با مثلثات را فراهم کردند.

به طور خلاصه، می توان گفت که امروزه مثلثات نه تنها برای علوم طبیعی، بلکه برای فناوری اطلاعات نیز یک رشته ضروری است. مدت‌هاست که دیگر شاخه‌ای کاربردی از ریاضیات نیست و از چندین بخش بزرگ از جمله مثلثات کروی و زاویه‌سنجی تشکیل شده است. اولی ویژگی‌های زاویه‌های بین دایره‌های بزرگ روی یک کره را در نظر می‌گیرد و دومی به روش‌هایی برای اندازه‌گیری زوایا و نسبت توابع مثلثاتی به یکدیگر می‌پردازد.

مثلثات اساساً در مورد یافتن گوشه ها و لبه ها در مثلث های قائم الزاویه و همچنین در اشکال پیچیده تر و چند وجهی است. با دانستن دو کمیت (یک زاویه و یک وجه یا دو وجه)، تقریباً همیشه می‌توانید سومی را با استفاده از توابع و فرمول‌های مثلثاتی خاص پیدا کنید.

توابع مثلثاتی

در مثلثات فقط دو تابع مستقیم وجود دارد: سینوس (sin) و کسینوس (cos). اولی برابر با نسبت پای مقابل به هیپوتنوز و دومی برابر با مجاور است. در هر دو حالت منظور ما زاویه تند مثلث قائم الزاویه است که همیشه کمتر از 90 درجه است. در ریاضیات بالاتر، sin و cos را می توان برای اعداد مختلط و واقعی نیز به کار برد.

همه توابع مثلثاتی دیگر مشتقات سینوس و کسینوس هستند. فقط چهار مورد از آنها وجود دارد:

مماس (tg) - نسبت پای مقابل به مجاور - tgx = sinx / cosx.
Cotangent (ctg) - نسبت پای مجاور به سمت مقابل - ctgx = cosx / sinx.
دوم (ثانیه) - نسبت هیپوتنوز به پای مجاور - secx = 1 / cosx.
Cosecant (cosec) - نسبت هیپوتنوز به پای مخالف - cosecx = 1 / sinx.

یک نماد جایگزین که در کشورهای انگلیسی زبان استفاده می شود به شرح زیر است: مماس - tangent - tan, cotangent - cot, cosecant - csc. آنها در ادبیات علمی، در ماشین حساب های مهندسی دکمه ای، در برنامه های الکترونیکی نشان داده شده اند.

فرمول های مثلثاتی

ریاضی‌دانان کشورهای اروپایی و آسیایی برای قرن‌های متمادی در حال تحقیق و بهبود توابع مثلثاتی بوده‌اند و تعدادی الگوی ذاتی در آنها را علاوه بر تفریق، ضرب و سایر عملیات‌های ریاضی شناسایی کرده‌اند. امروزه، کل دوره اصلی مثلثات که بخشی از برنامه درسی مدرسه است، بر این اساس است، یعنی توانایی کاهش و تبدیل توابع با استفاده از بدیهیات و قضایای موجود.

هویت های ساده

حتی در هند قرون وسطی، ساده‌ترین هویت‌های قابل اعمال برای توابع مثلثاتی مستقیم و مشتق آشکار شد. در شکل تمام شده (مدرن) خود، به این صورت هستند:

sin²α + cos²α = 1.
1 + tg²α = sec²α.
1 + ctg²α = cosec²α.
tgα ⋅ ctgα = 1.

فرمول های بالا برای هر مقدار از آرگومان (α) معتبر هستند. اگر قید را وارد کنیم که α بزرگتر از 0 و کمتر از π/2 است، لیست فرمول ها چندین برابر افزایش می یابد. موارد اصلی شامل موارد زیر است:

sinα = √(1 - cos²α).
cosα = √(1 - sin²α).
tgα = sinα / √(1 - sin²α).
ctg = cosα / √(1 - cos²α).
sec = 1 / cosα.
cosec = 1 / sinα.

5 شناسه معتبر برای هر یک از 6 تابع (در مجموع 30) وجود دارد. همه آنها در جدول ذکر شده است و می توان از آنها برای حل و ساده سازی معادلات مثلثاتی با یک مجهول (α) استفاده کرد.

جمع و تفریق

مجموع و تفاوت دو زاویه (α و β) نیز الگوهای خاص خود را دارند. با استفاده از فرمول های مثلثاتی می توان آنها را به صورت زیر نشان داد:

sin(α + β) = sinα ⋅ cosβ + sinβ ⋅ cosα.
cos(α + β) = cosα ⋅ cosβ + sinα ⋅ sinβ.
tg(α + β) = (tgα + tgβ) / (1 - tgα ⋅ tgβ).
ctg(α + β) = (ctgα ⋅ ctgβ - 1) / (ctgα + ctgβ).

این فرمول ها برای تفریق نیز اعمال می شوند. اگر علائم سمت راست علامت مساوی تغییر کند، در سمت چپ نیز تغییر می کند. در مورد مماس، به این صورت خواهد بود: tg(α - β) = (tgα - tgβ) / (1 + tgα ⋅ tgβ).

ضرب

توابع مثلثاتی دو زاویه (α و β) را می‌توان با استفاده از فرمول‌های موجود با هم ضرب کرد:

sinα ⋅ sinβ = (cos(α - β) - cos(α + β)) / 2.
sinα ⋅ cosβ = (sin(α - β) + sin(α + β)) / 2.
cosα ⋅ cosβ = (cos(α - β) + cos(α + β)) / 2.
tgα ⋅ tgβ = (cos(α - β) - cos(α + β)) / (cos(α - β) + cos(α + β)).
tgα ⋅ ctgβ = (sin(α - β) + sin(α + β)) / (sin(α + β) - sin(α - β)).
ctgα ⋅ ctgβ = (cos(α - β) + cos(α + β)) / (cos(α - β) - cos(α + β)).

همچنین فرمول هایی برای بالا بردن توابع مثلثاتی به توان، برای جایگزینی جهانی، برای بسط دادن به محصولات بی نهایت، برای به دست آوردن مشتقات و ضد مشتقات وجود دارد. طول فرمول ها می تواند از 2-3 تا ده ها کاراکتر با استفاده از انتگرال ها، محصولات چند جمله ای ها، توابع هذلولی متفاوت باشد. محاسبه آنها حتی با مقادیر ساده α و β آسان نیست، و اگر مقادیر کسری پیچیده با اعشار زیاد باشند، محاسبات به زمان و تلاش زیادی نیاز دارد.

برای ساده کردن محاسبات توابع مثلثاتی (و عملیات با آنها)، امروزه از ماشین حساب های آنلاین ویژه استفاده می شود. مقادیر عددی در آنها وارد می شود و پس از آن برنامه در کسری از ثانیه محاسبه می کند. استفاده از چنین برنامه هایی حتی راحت تر از ماشین حساب های مهندسی است و کاملاً رایگان در دسترس هستند.

{$ subpageListHide ? ('Show' | translate) : ('Hide' | translate) $}