Trigonometrialaskin

Sinilause, kosinilause ja tangenttilause

Trigonometria on kolmioille omistettu matematiikan haara, jonka avulla voit löytää niiden tuntemattomat kulmat ja pinnat tunnetuista arvoista. Esimerkiksi kulma jalan ja hypotenuusan pituudella tai hypotenuusan pituus tunnetun kulman ja jalan mukaan.

Trigonometriassa on ainutlaatuisia laskutoimituksia: sini, kosini, tangentti, kotangentti, sekantti ja kosekantti. Niitä käytetään usein läheisillä tieteillä ja tieteenaloilla, esimerkiksi tähtitiedessä, geodesiassa ja arkkitehtuurissa.

Trigonometria ympärillämme

Trigonometria sisältyy yleissivistävään opetussuunnitelmaan ja on yksi matematiikan perusosioista. Nykyään he löytävät sen avulla maantieteellisiä koordinaatteja, määrittävät laivojen reittejä, laskevat taivaankappaleiden liikeradat, kokoavat ohjelmia ja tilastoraportteja. Tämä matemaattinen osa on kysytyin:

tähtitiede;
maantiede;
navigaatiossa;
arkkitehtuurissa;
optiikassa;
akustiikassa;
taloustieteessä (rahoitusmarkkinoiden analysointia varten);
todennäköisyysteoriassa;
biologiassa ja lääketieteessä;
elektroniikassa ja ohjelmoinnissa.

Nykyään edes sellaiset näennäisesti abstraktit alat, kuten farmakologia, kryptologia, seismologia, fonetiikka ja kristallografia, eivät tule toimeen ilman trigonometriaa. Trigonometrisia funktioita käytetään tietokonetomografiassa ja ultraäänessä, kuvaamaan valo- ja ääniaaltoja sekä rakennusten ja rakenteiden rakentamisessa.

Trigonometrian historia

Ensimmäisiä trigonometrisia taulukoita käytti kirjoituksissaan antiikin kreikkalainen tiedemies Hipparkhos Nikealainen vuosina 180–125 eaa. Sitten niitä sovellettiin puhtaasti luonnossa ja niitä käytettiin vain tähtitieteellisiin laskelmiin. Hipparkhoksen taulukoissa ei ollut trigonometrisiä funktioita (sini, kosini ja niin edelleen), mutta ympyrä jaettiin 360 asteeseen ja sen kaaret mitattiin jänteiden avulla. Esimerkiksi moderni sini tunnettiin tuolloin nimellä "puoli sointu", johon piirrettiin kohtisuora ympyrän keskustasta.

Vuonna 100 jKr. antiikin kreikkalainen matemaatikko Menelaus Aleksandrialainen esitti kolmiosaisessa "Sphere" (Sphaericorum) teoreemoissa useita lauseita, joita voidaan nykyään pitää täysin "trigonometrisinä". Ensimmäinen kuvasi kahden pallomaisen kolmion kongruenssia, toinen niiden kulmien summaa (joka on aina suurempi kuin 180 astetta) ja kolmas "kuuden magnitudin" sääntöä, joka tunnetaan paremmin nimellä Menelaus-lause.

Suurin samaan aikaan, vuosina 90–160 jKr., tähtitieteilijä Claudius Ptolemaios julkaisi antiikin merkittävimmän trigonometrisen tutkielman, Almagestin, joka koostui 13 kirjasta. Avain siihen oli lause, joka kuvaa ympyrään piirretyn kuperan nelikulmion diagonaalien ja vastakkaisten sivujen suhdetta. Ptolemaioksen lauseen mukaan toisen tulo on aina yhtä suuri kuin ensimmäisen tulojen summa. Sen perusteella kehitettiin myöhemmin 4 erotuskaavaa sinille ja kosinille sekä puolikulmakaava α / 2.

Intian opiskelu

Muinaisessa Kreikassa ennen meidän aikakaamme syntyneet trigonometristen funktioiden kuvauksen "kordaali" oli yleinen Euroopassa ja Aasiassa keskiajalle asti. Ja vasta 1500-luvulla Intiassa ne korvattiin modernilla sinillä ja kosinilla: latinalaisilla nimityksillä sin ja cos, vastaavasti. Intiassa kehitettiin perustrigonometriset suhteet: sin²α + cos²α = 1, sinα = cos(90° − α), sin(α + β) = sinα ⋅ cosβ + cosα ⋅ sinβ ja muut.

Trigonometrian päätarkoitus keskiaikaisessa Intiassa oli löytää erittäin tarkkoja lukuja ensisijaisesti tähtitieteellistä tutkimusta varten. Tämä voidaan päätellä Bhaskaran ja Aryabhatan tieteellisistä tutkielmista, mukaan lukien tieteellinen työ Surya Siddhanta. Intialainen tähtitieteilijä Nilakanta Somayaji jakoi arktangentin ensimmäistä kertaa historiassa äärettömäksi tehosarjaksi, minkä jälkeen sini ja kosini hajotettiin sarjoiksi.

Euroopassa samat tulokset saavutettiin vasta seuraavalla XVII vuosisadalla. Isaac Newton johti synin ja cos-sarjan vuonna 1666 ja arctangentin vuonna 1671 Gottfried Wilhelm Leibniz. 1700-luvulla tutkijat harjoittivat trigonometrisiä tutkimuksia sekä Euroopassa että Lähi-idän maissa. Kun muslimien tieteellisiä teoksia käännettiin latinaksi ja englanniksi 1800-luvulla, niistä tuli ensin eurooppalaisen ja sitten maailman tieteen omaisuutta, mikä mahdollisti kaiken trigonometriaan liittyvän tiedon yhdistämisen ja systematisoinnin.

Yhteenvetona voidaan todeta, että trigonometria on nykyään korvaamaton tieteenala paitsi luonnontieteille myös tietotekniikalle. Se on pitkään lakannut olemasta sovellettu matematiikan haara, ja se koostuu useista suurista alaosista, mukaan lukien pallomainen trigonometria ja goniometria. Ensimmäinen käsittelee pallolla olevien suurympyröiden välisten kulmien ominaisuuksia, ja toinen käsittelee kulmien mittausmenetelmiä ja trigonometristen funktioiden suhdetta toisiinsa.

Trigonometria tarkoittaa ensisijaisesti kulmien ja reunojen etsimistä suorakulmaisista kolmioista sekä monimutkaisemmista monitahoisista muodoista. Kun tiedät kaksi suuretta (kulma ja kasvot tai kaksi pintaa), voit melkein aina löytää kolmannen käyttämällä erityisiä trigonometrisia funktioita ja kaavoja.

Trigonometriset funktiot

Trigonometriassa on vain kaksi suoraa funktiota: sini (sin) ja kosini (cos). Ensimmäinen on yhtä suuri kuin vastakkaisen jalan suhde hypotenuusaan, ja toinen on yhtä suuri kuin viereinen. Molemmissa tapauksissa tarkoitamme suorakulmaisen kolmion terävää kulmaa, joka on aina pienempi kuin 90 astetta. Korkeammassa matematiikassa sin ja cos voidaan soveltaa myös kompleksi- ja reaalilukuihin.

Kaikki muut trigonometriset funktiot ovat sinin ja kosinin johdannaisia. Niitä on vain neljä:

Tangentti (tg) - vastakkaisen jalan suhde viereiseen - tgx = sinx / cosx.
Kotangentti (ctg) - viereisen jalan suhde vastakkaiseen - ctgx = cosx / sinx.
Sekunti (s) — hypotenuusan suhde viereiseen haaraan — secx = 1 / cosx.
Kosekantti (cosec) - hypotenuusan suhde vastakkaiseen jalkaan - cosecx = 1 / sinx.

Vaihtoehtoinen englanninkielisissä maissa käytetty merkintätapa on seuraava: tangent - tan, cotangent - cot, cosecant - csc. Ne on ilmoitettu tieteellisessä kirjallisuudessa, painonäppäimiä koskevissa teknisissä laskimissa, elektronisissa sovelluksissa.

Trigonometriset kaavat

Euroopan ja Aasian maiden matemaatikot ovat tutkineet ja parantaneet trigonometrisiä funktioita vuosisatojen ajan ja ovat tunnistaneet joukon niihin sisältyviä kuvioita lisäys-, vähennys-, kertolasku- ja muiden matemaattisten operaatioiden lisäksi. Tänä päivänä koko koulun opetussuunnitelmaan kuuluva trigonometrian peruskurssi perustuu tähän, eli kykyyn pelkistää ja muuntaa funktioita olemassa olevien aksioomien ja lauseiden avulla.

Yksinkertaiset identiteetit

Jopa keskiaikaisessa Intiassa paljastettiin yksinkertaisimmat identiteetit, joita voidaan soveltaa suoriin ja johdannaisiin trigonometrisiin funktioihin. Valmiissa (modernissa) muodossaan ne näyttävät tältä:

sin²α + cos²α = 1.
1 + tg²α = sek²α.
1 + ctg²α = cosec²α.
tgα ⋅ ctgα = 1.

Yllä olevat kaavat pätevät kaikille argumentin (α) arvoille. Jos otetaan käyttöön rajoitus, jonka mukaan α on suurempi kuin 0 ja pienempi kuin π/2, kaavojen luettelo kasvaa useita kertoja. Tärkeimpiä ovat seuraavat:

sinα = √(1 − cos²α).
cosα = √(1 − sin²α).
tgα = sinα / √(1 − sin²α).
ctg = cosα / √(1 − cos²α).
sek = 1 / cosα.
cosec = 1 / sinα.

Kullakin kuudesta funktiosta (yhteensä 30) on 5 kelvollista identiteettiä. Ne kaikki on lueteltu taulukossa, ja niitä voidaan käyttää trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseen ja yksinkertaistamiseen yhdellä tuntemattomalla (α).

Lisä- ja vähennyslasku

Kahden kulman (α ja β) summilla ja eroilla on myös omat kuvionsa. Trigonometristen kaavojen avulla ne voidaan esittää seuraavasti:

sin(α + β) = sinα ⋅ cosβ + sinβ ⋅ cosα.
cos(α + β) = cosα ⋅ cosβ + sinα ⋅ sinβ.
tg(α + β) = (tgα + tgβ) / (1 − tgα ⋅ tgβ).
ctg(α + β) = (ctgα ⋅ ctgβ − 1) / (ctgα + ctgβ).

Nämä kaavat koskevat myös vähennyslaskua. Jos yhtäläisyysmerkin oikealla puolella olevat merkit muuttuvat, ne muuttuvat myös vasemmalla puolella. Tangentin tapauksessa se näyttää tältä: tg(α − β) = (tgα − tgβ) / (1 + tgα ⋅ tgβ).

Kertokerta

Kahden kulman (α ja β) trigonometriset funktiot voidaan myös kertoa yhteen käyttämällä olemassa olevia kaavoja:

sinα ⋅ sinβ = (cos(α − β) − cos(α + β)) / 2.
sinα ⋅ cosβ = (sin(α − β) + sin(α + β)) / 2.
cosα ⋅ cosβ = (cos(α − β) + cos(α + β)) / 2.
tgα ⋅ tgβ = (cos(α − β) − cos(α + β)) / (cos(α − β) + cos(α + β)).
tgα ⋅ ctgβ = (sin(α − β) + sin(α + β)) / (sin(α + β) − sin(α − β)).
ctgα ⋅ ctgβ = (cos(α − β) + cos(α + β)) / (cos(α − β) − cos(α + β)).

On olemassa myös kaavoja trigonometristen funktioiden nostamiseksi potenssiin, universaalille substituutiolle, laajentamiseksi äärettömiin tuloksiin, johdannaisten ja antiderivaalien saamiseksi. Kaavojen pituus voi vaihdella 2-3:sta kymmeniin merkkiin integraaleja, polynomien tuloja, hyperbolisia funktioita käyttäen. Niitä ei ole helppo laskea edes yksinkertaisilla α- ja β-arvoilla, ja jos ne ovat monimutkaisia murto-arvoja, joissa on useita desimaalilukuja, laskelmat vaativat paljon aikaa ja vaivaa.

Trigonometristen funktioiden (ja niiden kanssa suoritettavien) laskelmien yksinkertaistamiseksi käytetään nykyään erityisiä online-laskimia. Niihin syötetään numeeriset arvot, jonka jälkeen ohjelma laskee sekunnin murto-osassa. Tällaisten sovellusten käyttö on vieläkin kätevämpää kuin tekniset laskimet, ja ne ovat saatavilla täysin ilmaiseksi.

{$ subpageListHide ? ('Show' | translate) : ('Hide' | translate) $}