Calculatrice de trigonométrie

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Loi des sinus, cosinus, tangentes

La trigonométrie est une branche des mathématiques consacrée aux triangles, qui vous permet de trouver leurs angles et faces inconnus à partir de valeurs connues. Par exemple, l'angle le long de la longueur de la jambe et de l'hypoténuse, ou la longueur de l'hypoténuse selon l'angle et la jambe connus.

Il existe des fonctions uniques pour les calculs en trigonométrie : sinus, cosinus, tangente, cotangente, sécante et cosécante. Ils sont souvent utilisés dans les sciences et disciplines connexes, par exemple en astronomie, en géodésie et en architecture.

La trigonométrie autour de nous

La trigonométrie est incluse dans le programme d'enseignement général et est l'une des sections fondamentales des mathématiques. Aujourd'hui, avec son aide, ils trouvent des coordonnées géographiques, tracent les routes des navires, calculent les trajectoires des corps célestes, compilent des programmes et des rapports statistiques. Cette section mathématique est la plus demandée :

en astronomie ;
en géographie ;
dans la navigation ;
en architecture ;
en optique ;
en acoustique ;
en économie (pour l'analyse des marchés financiers) ;
en théorie des probabilités ;
en biologie et en médecine ;
en électronique et en programmation.

Aujourd'hui, même des branches apparemment aussi abstraites que la pharmacologie, la cryptologie, la sismologie, la phonétique et la cristallographie ne peuvent se passer de la trigonométrie. Les fonctions trigonométriques sont utilisées en tomodensitométrie et en échographie, pour décrire les ondes lumineuses et sonores, dans la construction de bâtiments et de structures.

Histoire de la trigonométrie

Les premières tables trigonométriques ont été utilisées dans ses écrits par l'ancien scientifique grec Hipparque de Nicée en 180-125 av. Ensuite, ils étaient purement appliqués dans la nature et n'étaient utilisés que pour des calculs astronomiques. Il n'y avait pas de fonctions trigonométriques (sinus, cosinus, etc.) dans les tables d'Hipparque, mais il y avait une division du cercle en 360 degrés et la mesure de ses arcs à l'aide d'accords. Par exemple, le sinus moderne était alors connu sous le nom de "demi-accord", auquel une perpendiculaire était tracée à partir du centre du cercle.

En l'an 100 après JC, l'ancien mathématicien grec Ménélas d'Alexandrie, dans sa "Sphère" (Sphaericorum) en trois volumes, a présenté plusieurs théorèmes qui peuvent aujourd'hui être pleinement considérés comme "trigonométriques". Le premier décrivait la congruence de deux triangles sphériques, le second la somme de leurs angles (qui est toujours supérieure à 180 degrés), et le troisième la règle des "six grandeurs", mieux connue sous le nom de théorème de Ménélas.

À peu près au même moment, de 90 à 160 après J.-C., l'astronome Claudius Ptolemy a publié le traité trigonométrique le plus important de l'Antiquité, Almagest, composé de 13 livres. La clé en était un théorème décrivant le rapport des diagonales et des côtés opposés d'un quadrilatère convexe inscrit dans un cercle. Selon le théorème de Ptolémée, le produit du second est toujours égal à la somme des produits du premier. Sur cette base, 4 formules de différence pour le sinus et le cosinus ont ensuite été développées, ainsi que la formule du demi-angle α / 2.

Études indiennes

La forme "accordée" de description des fonctions trigonométriques, apparue dans la Grèce antique avant notre ère, était courante en Europe et en Asie jusqu'au Moyen Âge. Et ce n'est qu'au XVIe siècle en Inde qu'ils ont été remplacés par le sinus et le cosinus modernes : avec les désignations latines sin et cos, respectivement. C'est en Inde que les rapports trigonométriques fondamentaux ont été développés : sin²α + cos²α = 1, sinα = cos(90° − α), sin(α + β) = sinα ⋅ cosβ + cosα ⋅ sinβ et autres.

Le but principal de la trigonométrie dans l'Inde médiévale était de trouver des nombres ultra-précis, principalement pour la recherche astronomique. Cela peut être jugé à partir des traités scientifiques de Bhaskara et Aryabhata, y compris le travail scientifique Surya Siddhanta. L'astronome indien Nilakanta Somayaji a pour la première fois dans l'histoire décomposé l'arc tangente en une série de puissance infinie, puis le sinus et le cosinus ont été décomposés en séries.

En Europe, les mêmes résultats ne sont arrivés qu'au XVIIe siècle suivant. Les séries pour le péché et le cos ont été dérivées par Isaac Newton en 1666 et pour l'arc tangente en 1671 par Gottfried Wilhelm Leibniz. Au 18ème siècle, les scientifiques se sont engagés dans des études trigonométriques à la fois en Europe et dans les pays du Proche / Moyen-Orient. Après que les travaux scientifiques musulmans aient été traduits en latin et en anglais au XIXe siècle, ils sont devenus la propriété de la science d'abord européenne puis mondiale, ont permis de combiner et de systématiser toutes les connaissances liées à la trigonométrie.

En résumé, nous pouvons dire qu'aujourd'hui la trigonométrie est une discipline indispensable non seulement pour les sciences naturelles, mais aussi pour les technologies de l'information. Il a depuis longtemps cessé d'être une branche appliquée des mathématiques et se compose de plusieurs grandes sous-sections, y compris la trigonométrie sphérique et la goniométrie. Le premier considère les propriétés des angles entre les grands cercles sur une sphère, et le second traite des méthodes de mesure des angles et du rapport des fonctions trigonométriques entre elles.

Formules du sinus, du cosinus et de la tangente

La trigonométrie consiste principalement à trouver des coins et des arêtes dans des triangles rectangles, ainsi que dans des formes polyédriques plus complexes. Connaissant deux quantités (un angle et une face ou deux faces), vous pouvez presque toujours trouver la troisième en utilisant des fonctions et des formules trigonométriques spéciales.

Fonctions trigonométriques

Il n'y a que deux fonctions directes en trigonométrie : le sinus (sin) et le cosinus (cos). Le premier est égal au rapport de la jambe opposée à l'hypoténuse, et le second est égal à l'adjacent. Dans les deux cas, nous entendons l'angle aigu d'un triangle rectangle, qui est toujours inférieur à 90 degrés. En mathématiques supérieures, sin et cos peuvent également être appliqués aux nombres complexes et réels.

Toutes les autres fonctions trigonométriques sont des dérivées du sinus et du cosinus. Il n'y en a que quatre :

Tangente (tg) - le rapport de la jambe opposée à la jambe adjacente - tgx = sinx / cosx.
Cotangente (ctg) - le rapport de la jambe adjacente à la jambe opposée - ctgx = cosx / sinx.
Seconde (sec) – le rapport de l'hypoténuse à la jambe adjacente – secx = 1 / cosx.
Cosecant (cosec) - le rapport de l'hypoténuse à la jambe opposée - cosecx = 1 / sinx.

Une notation alternative utilisée dans les pays anglophones est la suivante : tangente - tan, cotangente - cot, cosécante - csc. Ils sont indiqués dans la littérature scientifique, sur les calculatrices d'ingénierie à bouton-poussoir, dans les applications électroniques.

Formules trigonométriques

Les mathématiciens des pays européens et asiatiques ont recherché et amélioré les fonctions trigonométriques pendant de nombreux siècles, et ont identifié un certain nombre de modèles qui leur sont inhérents en plus, la soustraction, la multiplication et d'autres opérations mathématiques. Aujourd'hui, tout le cours de base de trigonométrie, qui fait partie du programme scolaire, repose sur cela, à savoir la capacité de réduire et de transformer des fonctions à l'aide d'axiomes et de théorèmes existants.

Identités simples

Même dans l'Inde médiévale, les identités les plus simples applicables aux fonctions trigonométriques directes et dérivées ont été révélées. Dans leur forme finie (moderne), ils ressemblent à ceci :

sin²α + cos²α = 1.
1 + tg²α = sec²α.
1 + ctg²α = cosec²α.
tgα ⋅ ctgα = 1.

Les formules ci-dessus sont valables pour toutes les valeurs de l'argument (α). Si nous introduisons la contrainte que α est supérieur à 0 et inférieur à π/2, la liste des formules augmente plusieurs fois. Les principaux sont les suivants :

sinα = √(1 − cos²α).
cosα = √(1 − sin²α).
tgα = sinα / √(1 − sin²α).
ctg = cosα / √(1 − cos²α).
sec = 1 / cosα.
cosec = 1 / sinα.

Il y a 5 identités valides pour chacune des 6 fonctions (30 au total). Tous sont répertoriés dans le tableau et peuvent être utilisés pour résoudre et simplifier des équations trigonométriques à une inconnue (α).

Addition et soustraction

Les sommes et les différences de deux angles (α et β) ont également leurs propres modèles. À l'aide de formules trigonométriques, ils peuvent être représentés comme suit :

sin(α + β) = sinα ⋅ cosβ + sinβ ⋅ cosα.
cos(α + β) = cosα ⋅ cosβ + sinα ⋅ sinβ.
tg(α + β) = (tgα + tgβ) / (1 − tgα ⋅ tgβ).
ctg(α + β) = (ctgα ⋅ ctgβ − 1) / (ctgα + ctgβ).

Ces formules s'appliquent également à la soustraction. Si les signes du côté droit du signe égal changent, ils changent également du côté gauche. Dans le cas de la tangente, cela ressemblera à ceci : tg(α − β) = (tgα − tgβ) / (1 + tgα ⋅ tgβ).

Multiplication

Les fonctions trigonométriques de deux angles (α et β) peuvent également être multipliées ensemble en utilisant les formules existantes :

sinα ⋅ sinβ = (cos(α − β) − cos(α + β)) / 2.
sinα ⋅ cosβ = (sin(α − β) + sin(α + β)) / 2.
cosα ⋅ cosβ = (cos(α − β) + cos(α + β)) / 2.
tgα ⋅ tgβ = (cos(α − β) − cos(α + β)) / (cos(α − β) + cos(α + β)).
tgα ⋅ ctgβ = (sin(α − β) + sin(α + β)) / (sin(α + β) − sin(α − β)).
ctgα ⋅ ctgβ = (cos(α − β) + cos(α + β)) / (cos(α − β) − cos(α + β)).

Il existe également des formules pour élever des fonctions trigonométriques à une puissance, pour une substitution universelle, pour se développer en produits infinis, pour obtenir des dérivées et des primitives. La longueur des formules peut varier de 2-3 à des dizaines de caractères, en utilisant des intégrales, des produits de polynômes, des fonctions hyperboliques. Ils ne sont pas faciles à calculer même avec des valeurs simples de α et β, et s'il s'agit de valeurs fractionnaires complexes avec de nombreuses décimales, les calculs nécessiteront beaucoup de temps et d'efforts.

Pour simplifier les calculs des fonctions trigonométriques (et les opérations avec celles-ci), on utilise aujourd'hui des calculatrices en ligne spéciales. Des valeurs numériques y sont entrées, après quoi le programme calcule en une fraction de seconde. L'utilisation de telles applications est encore plus pratique que les calculatrices d'ingénierie et elles sont disponibles entièrement gratuitement.