त्रिकोणमिति कैलकुलेटर

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साइंस, कोसाइंस और टैंजेंट के नियम

त्रिकोणमिति त्रिभुजों को समर्पित गणित की एक शाखा है, जो आपको ज्ञात मानों से उनके अज्ञात कोणों और चेहरों को खोजने की अनुमति देती है। उदाहरण के लिए, ज्ञात कोण और पैर के अनुसार पैर और कर्ण की लंबाई के साथ कोण, या कर्ण की लंबाई।

त्रिकोणमिति में गणना के लिए अद्वितीय कार्य हैं: साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, कोटिस्पर्श, छेदक और व्युत्क्रमज्या। वे अक्सर संबंधित विज्ञानों और विषयों में उपयोग किए जाते हैं, उदाहरण के लिए, खगोल विज्ञान, भूगणित और वास्तुकला में।

हमारे चारों ओर त्रिकोणमिति

त्रिकोणमिति सामान्य शिक्षा पाठ्यक्रम में शामिल है और गणित के मौलिक वर्गों में से एक है। आज, इसकी मदद से, वे भौगोलिक निर्देशांक ढूंढते हैं, जहाजों के मार्ग निर्धारित करते हैं, आकाशीय पिंडों के प्रक्षेपवक्र की गणना करते हैं, कार्यक्रमों और सांख्यिकीय रिपोर्टों का संकलन करते हैं। यह गणितीय खंड सबसे अधिक मांग में है:

खगोल विज्ञान में;
भूगोल में;
नेविगेशन में;
आर्किटेक्चर में;
प्रकाशिकी में;
ध्वनिकी में;
अर्थशास्त्र में (वित्तीय बाजारों के विश्लेषण के लिए);
संभाव्यता सिद्धांत में;
जीव विज्ञान और चिकित्सा में;
इलेक्ट्रॉनिक्स और प्रोग्रामिंग में।

आज भी फार्माकोलॉजी, क्रिप्टोलॉजी, सीस्मोलॉजी, फोनेटिक्स और क्रिस्टलोग्राफी जैसी प्रतीत होने वाली अमूर्त शाखाएं त्रिकोणमिति के बिना नहीं कर सकती हैं। इमारतों और संरचनाओं के निर्माण में, प्रकाश और ध्वनि तरंगों का वर्णन करने के लिए, कंप्यूटेड टोमोग्राफी और अल्ट्रासाउंड में त्रिकोणमितीय कार्यों का उपयोग किया जाता है।

त्रिकोणमिति का इतिहास

180-125 ईसा पूर्व में Nicaea के प्राचीन यूनानी वैज्ञानिक हिप्पार्कस द्वारा उनके लेखन में पहली त्रिकोणमितीय तालिकाओं का उपयोग किया गया था। तब वे विशुद्ध रूप से प्रकृति में लागू होते थे और केवल खगोलीय गणनाओं के लिए उपयोग किए जाते थे। हिप्पार्कस की तालिकाओं में कोई त्रिकोणमितीय कार्य (साइन, कोसाइन, और इसी तरह) नहीं थे, लेकिन वृत्त का 360 डिग्री में एक विभाजन था और जीवाओं का उपयोग करके इसके चापों का मापन था। उदाहरण के लिए, आधुनिक ज्या को तब "आधी जीवा" के रूप में जाना जाता था, जिसके लिए वृत्त के केंद्र से एक लंब खींचा जाता था।

वर्ष 100 ईस्वी में, अलेक्जेंड्रिया के प्राचीन यूनानी गणितज्ञ मेनेलॉस ने अपने तीन-खंड "स्फीयर" (स्फेरिकोरम) में कई प्रमेय प्रस्तुत किए जिन्हें आज पूरी तरह से "त्रिकोणमितीय" माना जा सकता है। पहला दो गोलाकार त्रिभुजों की सर्वांगसमता का वर्णन करता है, दूसरा उनके कोणों का योग (जो हमेशा 180 डिग्री से अधिक होता है), और तीसरा "छह परिमाण" नियम, जिसे मेनेलॉस प्रमेय के रूप में जाना जाता है।

लगभग उसी समय, 90 से 160 ईस्वी तक, खगोलशास्त्री क्लॉडियस टॉलेमी ने पुरातनता का सबसे महत्वपूर्ण त्रिकोणमितीय ग्रंथ अल्मागेस्ट प्रकाशित किया, जिसमें 13 पुस्तकें शामिल थीं। इसकी कुंजी एक वृत्त में खुदे हुए उत्तल चतुर्भुज के विकर्णों और विपरीत भुजाओं के अनुपात का वर्णन करने वाला एक प्रमेय था। टॉलेमी के प्रमेय के अनुसार, दूसरे का उत्पाद हमेशा पहले के उत्पादों के योग के बराबर होता है। इसके आधार पर, साइन और कोसाइन के लिए 4 अंतर सूत्र बाद में विकसित किए गए, साथ ही अर्ध-कोण सूत्र α / 2।

भारतीय अध्ययन

त्रिकोणमितीय कार्यों का वर्णन करने का "कॉर्डल" रूप, जो हमारे युग से पहले प्राचीन ग्रीस में उत्पन्न हुआ था, मध्य युग तक यूरोप और एशिया में आम था। और केवल 16वीं शताब्दी में भारत में उन्हें आधुनिक साइन और कोसाइन द्वारा प्रतिस्थापित किया गया था: क्रमशः लैटिन पदनाम पाप और कॉस के साथ। भारत में मौलिक त्रिकोणमितीय अनुपात विकसित किए गए थे: sin²α + cos²α = 1, sinα = cos(90° - α), sin(α + β) = sinα ⋅ cosβ + cosα ⋅ sinβ और अन्य।

मध्यकालीन भारत में त्रिकोणमिति का मुख्य उद्देश्य अल्ट्रा-सटीक संख्याओं को खोजना था, मुख्य रूप से खगोलीय अनुसंधान के लिए। इसका अंदाजा भास्कर और आर्यभट्ट के वैज्ञानिक ग्रंथों से लगाया जा सकता है, जिसमें वैज्ञानिक कार्य सूर्य सिद्धांत भी शामिल है। भारतीय खगोलशास्त्री नीलकंठ सोमयाजी ने इतिहास में पहली बार चापस्पर्शरेखा को एक अनंत शक्ति श्रृंखला में विघटित किया, और बाद में साइन और कोसाइन श्रृंखला में विघटित हो गए।

यूरोप में, वही परिणाम केवल अगली, XVII सदी में आए। पाप और कॉस के लिए श्रृंखला 1666 में आइजैक न्यूटन द्वारा और 1671 में गॉटफ्रीड विल्हेम लीबनिज द्वारा चाप स्पर्शरेखा के लिए प्राप्त की गई थी। 18 वीं शताब्दी में, वैज्ञानिक यूरोप और निकट / मध्य पूर्व के देशों में त्रिकोणमितीय अध्ययन में लगे हुए थे। 19वीं शताब्दी में मुस्लिम वैज्ञानिक कार्यों का लैटिन और अंग्रेजी में अनुवाद किए जाने के बाद, वे पहले यूरोपीय और फिर विश्व विज्ञान की संपत्ति बन गए, जिससे त्रिकोणमिति से संबंधित सभी ज्ञान को संयोजित और व्यवस्थित करना संभव हो गया।

संक्षेप में, हम कह सकते हैं कि आज त्रिकोणमिति न केवल प्राकृतिक विज्ञानों के लिए बल्कि सूचना प्रौद्योगिकी के लिए भी एक अनिवार्य अनुशासन है। यह लंबे समय से गणित की एक अनुप्रयुक्त शाखा नहीं रही है, और इसमें गोलाकार त्रिकोणमिति और गोनोमेट्री सहित कई बड़े उपखंड शामिल हैं। पहला एक गोले पर बड़े वृत्तों के बीच के कोणों के गुणों पर विचार करता है, और दूसरा कोणों को मापने के तरीकों और एक दूसरे से त्रिकोणमितीय कार्यों के अनुपात से संबंधित है।

साइन, कोसाइन, टैनजेंट फॉर्मूला

त्रिकोणमिति मुख्य रूप से समकोण त्रिभुजों के साथ-साथ अधिक जटिल, बहुफलकीय आकृतियों में कोनों और किनारों को खोजने के बारे में है। दो राशियों (एक कोण और एक फलक या दो फलकों) को जानने के बाद, आप विशेष त्रिकोणमितीय कार्यों और सूत्रों का उपयोग करके लगभग हमेशा तीसरी राशि का पता लगा सकते हैं।

त्रिकोणमितीय कार्य

त्रिकोणमिति में केवल दो प्रत्यक्ष कार्य हैं: साइन (sin) और कोसाइन (cos)। पहला कर्ण के विपरीत पैर के अनुपात के बराबर है, और दूसरा आसन्न के बराबर है। दोनों ही मामलों में, हमारा तात्पर्य एक समकोण त्रिभुज के तीव्र कोण से है, जो हमेशा 90 डिग्री से कम होता है। उच्च गणित में, sin और cos को जटिल और वास्तविक संख्याओं पर भी लागू किया जा सकता है।

अन्य सभी त्रिकोणमितीय कार्य साइन और कोसाइन के डेरिवेटिव हैं। उनमें से केवल चार हैं:

स्पर्शरेखा (tg) - विपरीत भुजा का सन्निकट भुजा से अनुपात - tgx = sinx / cosx।
कोटिस्पर्श (ctg) - सन्निकट पाद का विपरीत पाद से अनुपात - ctgx = cosx / sinx।
दूसरा (सेक) — कर्ण का सन्निकट पाद से अनुपात — secx = 1 / cosx।
कोसेकेंट (cosec) - कर्ण का विपरीत पैर से अनुपात - cosecx = 1 / sinx।

अंग्रेजी बोलने वाले देशों में उपयोग किया जाने वाला एक वैकल्पिक संकेत इस प्रकार है: स्पर्शरेखा - tan, cotangent - cot, cosecant - csc। वे इलेक्ट्रॉनिक अनुप्रयोगों में, पुश-बटन इंजीनियरिंग कैलकुलेटर पर, वैज्ञानिक साहित्य में दर्शाए गए हैं।

त्रिकोणमितीय सूत्र

यूरोपीय और एशियाई देशों के गणितज्ञ कई सदियों से त्रिकोणमितीय कार्यों पर शोध कर रहे हैं और उनमें सुधार कर रहे हैं, और उन्होंने इसके अलावा, घटाव, गुणा और अन्य गणितीय कार्यों के अलावा उनमें निहित कई पैटर्न की पहचान की है। आज, त्रिकोणमिति का पूरा बुनियादी पाठ्यक्रम, जो कि स्कूल के पाठ्यक्रम का हिस्सा है, इसी पर आधारित है, अर्थात्, मौजूदा स्वयंसिद्धों और प्रमेयों का उपयोग करके कार्यों को कम करने और बदलने की क्षमता।

सरल पहचान

मध्ययुगीन भारत में भी, प्रत्यक्ष और व्युत्पन्न त्रिकोणमितीय कार्यों पर लागू होने वाली सबसे सरल सर्वसमिकाएं सामने आई थीं। अपने समाप्त (आधुनिक) रूप में, वे इस तरह दिखते हैं:

sin²α + cos²α = 1.
1 + tg²α = सेकंड²α।
1 + ctg²α = cosec²α।
tgα ⋅ ctgα = 1.

उपरोक्त सूत्र तर्क (α) के किसी भी मान के लिए मान्य हैं। यदि हम बाधा डालते हैं कि α 0 से अधिक है और π/2 से कम है, तो सूत्रों की सूची कई गुना बढ़ जाती है। मुख्य में निम्नलिखित शामिल हैं:

sinα = √(1 - cos²α).
cosα = √(1 - sin²α).
tgα = sinα / √(1 - sin²α).
ctg = cosα / √(1 - cos²α).
सेकंड = 1 / cosα।
cosec = 1 / sinα।

6 कार्यों में से प्रत्येक के लिए 5 मान्य पहचान हैं (कुल 30)। उन सभी को तालिका में सूचीबद्ध किया गया है और एक अज्ञात (α) वाले त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने और सरल बनाने के लिए उपयोग किया जा सकता है।

जोड़ना और घटाना

दो कोणों (α और β) के जोड़ और अंतर के भी अपने पैटर्न होते हैं। त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग करके, उन्हें निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है:

sin(α + β) = sinα ⋅ cosβ + sinβ ⋅ cosα.
cos(α + β) = cosα ⋅ cosβ + sinα ⋅ sinβ।
tg(α + β) = (tgα + tgβ) / (1 - tgα ⋅ tgβ)।
ctg(α + β) = (ctgα ⋅ ctgβ - 1) / (ctgα + ctgβ)।

ये सूत्र घटाव पर भी लागू होते हैं। यदि सम राशि के दायीं ओर के चिह्न बदलते हैं, तो वे बायीं ओर भी बदलते हैं। स्पर्शरेखा के मामले में, यह इस तरह दिखेगा: tg(α − β) = (tgα − tgβ) / (1 + tgα ⋅ tgβ)।

गुणा

दो कोणों (α और β) के त्रिकोणमितीय कार्यों को मौजूदा सूत्रों का उपयोग करके एक साथ गुणा भी किया जा सकता है:

sinα ⋅ sinβ = (cos(α - β) - cos(α + β)) / 2.
sinα ⋅ cosβ = (sin(α - β) + sin(α + β)) / 2.
cosα ⋅ cosβ = (cos(α - β) + cos(α + β)) / 2.
tgα ⋅ tgβ = (cos(α - β) - cos(α + β)) / (cos(α - β) + cos(α + β))।
tgα ⋅ ctgβ = (sin(α − β) + sin(α + β)) / (sin(α + β) − sin(α − β)).
ctgα ⋅ ctgβ = (cos(α - β) + cos(α + β)) / (cos(α - β) - cos(α + β))।

त्रिकोणमितीय कार्यों को एक शक्ति में बढ़ाने के लिए, सार्वभौमिक प्रतिस्थापन के लिए, अनंत उत्पादों में विस्तार के लिए, डेरिवेटिव और एंटीडेरिवेटिव प्राप्त करने के लिए भी सूत्र हैं। सूत्रों की लंबाई 2-3 से लेकर दसियों वर्णों तक भिन्न हो सकती है, अभिन्न, बहुपदों के उत्पाद, अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों का उपयोग करते हुए। α और β के सरल मानों के साथ भी उनकी गणना करना आसान नहीं है, और यदि वे कई दशमलवों के साथ जटिल भिन्नात्मक मान हैं, तो गणना में बहुत समय और प्रयास की आवश्यकता होगी।

त्रिकोणमितीय कार्यों (और उनके साथ संचालन) की गणना को सरल बनाने के लिए, आज विशेष ऑनलाइन कैलकुलेटर का उपयोग किया जाता है। उनमें संख्यात्मक मान दर्ज किए जाते हैं, जिसके बाद प्रोग्राम सेकंड के एक अंश में गणना करता है। ऐसे अनुप्रयोगों का उपयोग इंजीनियरिंग कैलकुलेटर से भी अधिक सुविधाजनक है, और वे पूरी तरह से निःशुल्क उपलब्ध हैं।