Trigonometrijski kalkulator

Poučak o sinusima, kosinusima i tangensima

Trigonometrija je grana matematike posvećena trokutima, koja vam omogućuje da pronađete njihove nepoznate kutove i lica iz poznatih vrijednosti. Na primjer, kut uz duljinu kraka i hipotenuze ili duljina hipotenuze prema poznatom kutu i kraku.

Postoje jedinstvene funkcije za izračune u trigonometriji: sinus, kosinus, tangens, kotangens, sekans i kosekans. Često se koriste u srodnim znanostima i disciplinama, na primjer, u astronomiji, geodeziji i arhitekturi.

Trigonometrija oko nas

Trigonometrija je dio općeobrazovnog programa i jedan je od temeljnih dijelova matematike. Danas uz njegovu pomoć pronalaze geografske koordinate, postavljaju rute brodova, izračunavaju putanje nebeskih tijela, sastavljaju programe i statistička izvješća. Ovaj matematički dio je najtraženiji:

u astronomiji;
u zemljopisu;
u navigaciji;
u arhitekturi;
u optici;
u akustici;
u ekonomiji (za analizu financijskih tržišta);
u teoriji vjerojatnosti;
u biologiji i medicini;
u elektronici i programiranju.

Danas čak ni tako naizgled apstraktne grane kao što su farmakologija, kriptologija, seizmologija, fonetika i kristalografija ne mogu bez trigonometrije. Trigonometrijske funkcije koriste se u računalnoj tomografiji i ultrazvuku, za opisivanje svjetlosnih i zvučnih valova, u izgradnji zgrada i struktura.

Povijest trigonometrije

Prve trigonometrijske tablice koristio je u svojim spisima starogrčki znanstvenik Hiparh iz Nikeje 180.-125. pr. Kr. Tada su bili čisto primijenjeni u prirodi i korišteni su samo za astronomske proračune. U Hiparhovim tablicama nije bilo trigonometrijskih funkcija (sinus, kosinus i tako dalje), ali je postojala podjela kruga na 360 stupnjeva i mjerenje njegovih lukova pomoću akorda. Na primjer, moderni sinus tada je bio poznat kao "pola tetive", na koju je iz središta kruga povučena okomica.

U 100. godini naše ere, starogrčki matematičar Menelaj iz Aleksandrije, u svojoj "Kugli" (Sphaericorum) u tri sveska, predstavio je nekoliko teorema koji se danas u potpunosti mogu smatrati "trigonometrijskim". Prvi je opisao podudarnost dva sferna trokuta, drugi zbroj njihovih kutova (koji je uvijek veći od 180 stupnjeva), a treći pravilo "šest veličina", poznatije kao Menelajev teorem.

Otprilike u isto vrijeme, od 90. do 160. godine naše ere, astronom Klaudije Ptolomej objavio je najznačajniju trigonometrijsku raspravu antike, Almagest, koja se sastoji od 13 knjiga. Ključ za to bio je teorem koji opisuje omjer dijagonala i suprotnih stranica konveksnog četverokuta upisanog u krug. Prema Ptolemejevom teoremu, umnožak drugog uvijek je jednak zbroju umnožaka prvoga. Na temelju njega naknadno su razvijene 4 formule razlike za sinus i kosinus, kao i formula polukuta α / 2.

Indijske studije

"Kordalni" oblik opisa trigonometrijskih funkcija, koji se pojavio u staroj Grčkoj prije naše ere, bio je uobičajen u Europi i Aziji sve do srednjeg vijeka. I tek u 16. stoljeću u Indiji zamijenjeni su modernim sinusom i kosinusom: s latinskim oznakama sin odnosno cos. U Indiji su razvijeni temeljni trigonometrijski omjeri: sin²α + cos²α = 1, sinα = cos(90° − α), sin(α + β) = sinα ⋅ cosβ + cosα ⋅ sinβ i drugi.

Glavna svrha trigonometrije u srednjovjekovnoj Indiji bila je pronaći ultraprecizne brojeve, prvenstveno za astronomska istraživanja. O tome se može suditi iz znanstvenih rasprava Bhaskare i Aryabhate, uključujući znanstveno djelo Surya Siddhanta. Indijski astronom Nilakanta Somayaji prvi je put u povijesti raščlanio arktangens u niz beskonačnih potencija, a potom su sinus i kosinus raščlanjeni u nizove.

U Europi su isti rezultati došli tek u sljedećem, XVII. Redove za sin i cos izveo je Isaac Newton 1666., a za arc tangentu 1671. Gottfried Wilhelm Leibniz. U 18. stoljeću znanstvenici su se bavili trigonometrijskim studijama kako u Europi tako iu zemljama Bliskog / Srednjeg istoka. Nakon što su muslimanska znanstvena djela u 19. stoljeću prevedena na latinski i engleski jezik, postala su vlasništvo prvo europske, a zatim i svjetske znanosti, omogućila su objedinjavanje i sistematizaciju svih znanja vezanih za trigonometriju.

Ukratko, možemo reći da je danas trigonometrija nezaobilazna disciplina ne samo za prirodne znanosti, već i za informacijsku tehnologiju. Odavno je prestala biti primijenjena grana matematike, a sastoji se od nekoliko velikih pododjeljaka, uključujući sfernu trigonometriju i goniometriju. Prvi razmatra svojstva kutova između velikih kružnica na sferi, a drugi se bavi metodama mjerenja kutova i međusobnog omjera trigonometrijskih funkcija.

Trigonometrija se prvenstveno odnosi na pronalaženje kutova i rubova u pravokutnim trokutima, kao iu složenijim, poliedarskim oblicima. Poznavajući dvije veličine (kut i lice ili dvije površine), gotovo uvijek možete pronaći treću pomoću posebnih trigonometrijskih funkcija i formula.

Trigonometrijske funkcije

U trigonometriji postoje samo dvije izravne funkcije: sinus (sin) i kosinus (cos). Prva je jednaka omjeru suprotne katete i hipotenuze, a druga je jednaka susjednoj. U oba slučaja mislimo na oštar kut pravokutnog trokuta koji je uvijek manji od 90 stupnjeva. U višoj matematici sin i cos također se mogu primijeniti na kompleksne i realne brojeve.

Sve druge trigonometrijske funkcije su derivacije sinusa i kosinusa. Ima ih samo četiri:

Tangens (tg) - omjer suprotnog kraka u odnosu na susjedni - tgx = sinx / cosx.
Kotangens (ctg) - omjer susjednog i suprotnog kraka - ctgx = cosx / sinx.
Sekunda (sec) — omjer hipotenuze i susjednog kraka — secx = 1 / cosx.
Kosekant (cosec) - omjer hipotenuze i suprotnog kraka - cosecx = 1 / sinx.

Alternativni zapis koji se koristi u zemljama engleskog govornog područja je sljedeći: tangens - tan, kotangens - cot, cosecant - csc. Navedeni su u znanstvenoj literaturi, na tipkalnim inženjerskim kalkulatorima, u elektroničkim aplikacijama.

Trigonometrijske formule

Matematičari europskih i azijskih zemalja stoljećima istražuju i poboljšavaju trigonometrijske funkcije i identificirali su niz obrazaca koji su im svojstveni u zbrajanju, oduzimanju, množenju i drugim matematičkim operacijama. Danas se cijeli osnovni tečaj trigonometrije, koji je dio školskog kurikuluma, temelji na tome, naime, sposobnosti redukcije i transformacije funkcija pomoću postojećih aksioma i teorema.

Jednostavni identiteti

Čak su iu srednjovjekovnoj Indiji otkriveni najjednostavniji identiteti primjenjivi na izravne i izvedene trigonometrijske funkcije. U svom gotovom (modernom) obliku izgledaju ovako:

sin²α + cos²α = 1.
1 + tg²α = sec²α.
1 + ctg²α = cosec²α.
tgα ⋅ ctgα = 1.

Gore navedene formule vrijede za sve vrijednosti argumenta (α). Ako uvedemo ograničenje da je α veće od 0 i manje od π/2, popis formula se povećava nekoliko puta. Glavne uključuju sljedeće:

sinα = √(1 − cos²α).
cosα = √(1 − sin²α).
tgα = sinα / √(1 − sin²α).
ctg = cosα / √(1 − cos²α).
sec = 1 / cosα.
cosec = 1 / sinα.

Postoji 5 valjanih identiteta za svaku od 6 funkcija (ukupno 30). Svi su navedeni u tablici i mogu se koristiti za rješavanje i pojednostavljenje trigonometrijskih jednadžbi s jednom nepoznanicom (α).

Zbrajanje i oduzimanje

Zbrojevi i razlike dvaju kutova (α i β) također imaju svoje obrasce. Koristeći trigonometrijske formule, mogu se predstaviti na sljedeći način:

sin(α + β) = sinα ⋅ cosβ + sinβ ⋅ cosα.
cos(α + β) = cosα ⋅ cosβ + sinα ⋅ sinβ.
tg(α + β) = (tgα + tgβ) / (1 − tgα ⋅ tgβ).
ctg(α + β) = (ctgα ⋅ ctgβ − 1) / (ctgα + ctgβ).

Ove se formule primjenjuju i na oduzimanje. Ako se predznaci s desne strane znaka jednakosti mijenjaju, mijenjaju se i s lijeve strane. U slučaju tangente to će izgledati ovako: tg(α − β) = (tgα − tgβ) / (1 + tgα ⋅ tgβ).

Množenje

Trigonometrijske funkcije dvaju kutova (α i β) također se mogu pomnožiti pomoću postojećih formula:

sinα ⋅ sinβ = (cos(α − β) − cos(α + β)) / 2.
sinα ⋅ cosβ = (sin(α − β) + sin(α + β)) / 2.
cosα ⋅ cosβ = (cos(α − β) + cos(α + β)) / 2.
tgα ⋅ tgβ = (cos(α − β) − cos(α + β)) / (cos(α − β) + cos(α + β)).
tgα ⋅ ctgβ = (sin(α − β) + sin(α + β)) / (sin(α + β) − sin(α − β)).
ctgα ⋅ ctgβ = (cos(α − β) + cos(α + β)) / (cos(α − β) − cos(α + β)).

Također postoje formule za dizanje trigonometrijskih funkcija na potenciju, za univerzalnu supstituciju, za proširenje u beskonačne produkte, za dobivanje derivacija i antiderivacija. Duljina formula može varirati od 2-3 do desetaka znakova, koristeći integrale, produkte polinoma, hiperboličke funkcije. Nije ih lako izračunati ni s jednostavnim vrijednostima α i β, a ako se radi o složenim razlomačkim vrijednostima s mnogo decimala, izračuni će zahtijevati puno vremena i truda.

Da bi se pojednostavili izračuni trigonometrijskih funkcija (i operacija s njima), danas se koriste posebni online kalkulatori. U njih se unose numeričke vrijednosti, nakon čega program izračunava u djeliću sekunde. Korištenje takvih aplikacija još je praktičnije od inženjerskih kalkulatora, a dostupne su potpuno besplatno.

{$ subpageListHide ? ('Show' | translate) : ('Hide' | translate) $}