Trigonometriai kalkulátor

A trigonometria a matematikának a háromszögekkel foglalkozó ága, amely lehetővé teszi, hogy ismert értékek alapján megtalálja azok ismeretlen szögeit és lapjait. Például a lábszár és a befogó hossza mentén beállított szög, vagy az ismert szög és láb szerint a befogó hossza.

A trigonometriai számításokhoz egyedi függvények állnak rendelkezésre: szinusz, koszinusz, érintő, kotangens, szekáns és koszekáns. Gyakran használják a kapcsolódó tudományokban és tudományágakban, például a csillagászatban, a geodéziában és az építészetben.

Trigonometria körülöttünk

A trigonometria az általános oktatási tantervben szerepel, és a matematika egyik alapvető része. Ma már a segítségével földrajzi koordinátákat találnak, hajók útvonalát határozzák meg, égitestek röppályáit számítják ki, programokat, statisztikai jelentéseket állítanak össze. Ez a matematikai rész a legkeresettebb:

a csillagászatban;
földrajzban;
navigációban;
az építészetben;
optikában;
az akusztikában;
közgazdaságtanban (pénzügyi piacok elemzéséhez);
a valószínűségszámításban;
biológiában és orvostudományban;
elektronikában és programozásban.

Ma még az olyan absztraktnak tűnő ágak sem nélkülözhetik a trigonometriát, mint a farmakológia, kriptológia, szeizmológia, fonetika és krisztallográfia. A trigonometrikus függvényeket a számítógépes tomográfiában és az ultrahangban, a fény- és hanghullámok leírására, valamint épületek és építmények építésénél használják.

A trigonometria története

Az első trigonometrikus táblázatokat az ókori görög tudós, Nikaiai Hipparkhosz használta írásaiban ie 180-125-ben. Ezután tisztán a természetben alkalmazták őket, és csak csillagászati számításokhoz használták őket. Hipparkhosz táblázataiban nem voltak trigonometrikus függvények (szinusz, koszinusz stb.), de volt a kör 360 fokos felosztása és íveinek mérése akkordokkal. Például a modern szinusz akkoriban "fél akkordként" volt ismert, amelyhez a kör közepéből merőlegest húztak.

Az i.sz. 100. évben az ókori görög matematikus, az alexandriai Menelaosz háromkötetes "Gömb" (Sphaericorum) című művében számos olyan tételt mutatott be, amelyek ma teljes mértékben "trigonometrikusnak" tekinthetők. Az első két gömbháromszög egybevágóságát írta le, a második a szögeik összegét (ami mindig nagyobb 180 foknál), a harmadik pedig a „hat magnitúdó” szabályt, ismertebb nevén Menelaus-tételt.

Körülbelül ugyanebben az időben, Kr. u. 90-től 160-ig a csillagász, Claudius Ptolemaiosz kiadta az ókor legjelentősebb trigonometrikus értekezését, az Almagestet, amely 13 könyvből állt. Ennek kulcsa egy körbe írt konvex négyszög átlóinak és szemközti oldalainak arányát leíró tétel volt. Ptolemaiosz tétele szerint a második szorzata mindig egyenlő az első szorzatainak összegével. Ennek alapján utólag 4 különbségi képletet fejlesztettek ki szinuszra és koszinuszra, valamint az α / 2 félszög képletet.

Indiasztika

A trigonometrikus függvények leírásának „akkordos” formája, amely az ókori Görögországban korunk előtt keletkezett, Európában és Ázsiában egészen a középkorig elterjedt volt. És csak a 16. században Indiában váltották fel őket a modern szinusz és koszinusz: a latin sin és cos megjelöléssel. Indiában fejlesztették ki az alapvető trigonometrikus arányokat: sin²α + cos²α = 1, sinα = cos(90° − α), sin(α + β) = sinα ⋅ cosβ + cosα ⋅ sinβ és mások.

A trigonometria fő célja a középkori Indiában az volt, hogy rendkívül pontos számokat találjon, elsősorban csillagászati kutatások céljából. Ez Bhaskara és Aryabhata tudományos értekezéseiből ítélhető meg, beleértve a Surya Siddhanta tudományos munkát is. Nilakanta Somayaji indiai csillagász a történelem során először bontotta fel az arctangenst egy végtelen hatványsorra, majd a szinusz és a koszinusz sorozatokra bontott.

Európában ugyanezek az eredmények csak a következő, XVII. században születtek. A bűn és cos sorozatot Isaac Newton 1666-ban, az arctangenst 1671-ben Gottfried Wilhelm Leibniz vezette le. A 18. században a tudósok mind Európában, mind a Közel-Kelet országaiban trigonometrikus vizsgálatokkal foglalkoztak. Miután a 19. században a muszlim tudományos munkákat latinra és angolra is lefordították, előbb az európai, majd a világtudomány tulajdonába kerültek, lehetővé tették a trigonometriával kapcsolatos összes tudás egyesítését és rendszerezését.

Összefoglalva azt mondhatjuk, hogy a trigonometria ma már nemcsak a természettudományok, hanem az informatika számára is nélkülözhetetlen tudományág. Már régóta nem a matematika alkalmazott ága, és több nagy alszakaszból áll, beleértve a gömbi trigonometriát és a goniometriát. Az első a gömbön lévő nagykörök közötti szögek tulajdonságait veszi figyelembe, a második pedig a szögmérési módszereket és a trigonometrikus függvények egymáshoz viszonyított arányát.

A trigonometria elsősorban a derékszögű háromszögek, valamint az összetettebb poliéder alakzatok sarkainak és éleinek megtalálásáról szól. Két mennyiség (egy szög és egy lap vagy két lap) ismeretében szinte mindig megtalálhatja a harmadikat speciális trigonometrikus függvények és képletek segítségével.

Trigonometrikus függvények

Csak két közvetlen függvény van a trigonometriában: a szinusz (sin) és a koszinusz (cos). Az első egyenlő az ellenkező láb és a hypotenus arányával, a második pedig a szomszédos. Mindkét esetben egy derékszögű háromszög hegyesszögét értjük, amely mindig kisebb, mint 90 fok. A magasabb matematikában a sin és cos is alkalmazható komplex és valós számokra.

Az összes többi trigonometrikus függvény a szinusz és a koszinusz deriváltja. Csak négy van belőlük:

Tangens (tg) – az ellenkező láb és a szomszédos láb aránya – tgx = sinx / cosx.
Kotangens (ctg) – a szomszédos láb és az ellenkező szár aránya – ctgx = cosx / sinx.
Másodperc (sec) – a hipotenusz és a szomszédos láb aránya – secx = 1 / cosx.
Cosecant (cosec) – a hypotenus és az ellenkező láb aránya – cosecx = 1 / sinx.

Az angol nyelvű országokban használt alternatív jelölés a következő: tangent - tan, cotangens - cot, cosecant - csc. A tudományos irodalomban, nyomógombos mérnöki számológépeken, elektronikus alkalmazásokban feltüntetik.

Trigonometrikus képletek

Európai és ázsiai országok matematikusai évszázadok óta kutatják és fejlesztik a trigonometrikus függvényeket, és az összeadáson, kivonáson, szorzáson és egyéb matematikai műveleteken kívül számos bennük rejlő mintát azonosítottak. Ma már az iskolai tananyag részét képező trigonometria teljes alaptanfolyama is erre épül, mégpedig a meglévő axiómák és tételek segítségével a függvények redukálására és átalakítására.

Egyszerű identitások

Még a középkori Indiában is feltárták a direkt és származékos trigonometrikus függvényekre alkalmazható legegyszerűbb azonosságokat. Kész (modern) formájukban így néznek ki:

sin²α + cos²α = 1.
1 + tg²α = sec²α.
1 + ctg²α = cosec²α.
tgα ⋅ ctgα = 1.

A fenti képletek az argumentum (α) bármely értékére érvényesek. Ha bevezetjük azt a korlátot, hogy α nagyobb, mint 0 és kisebb, mint π/2, a képletek listája többszörösére nő. A főbbek a következők:

sinα = √(1 − cos²α).
cosα = √(1 − sin²α).
tgα = sinα / √(1 − sin²α).
ctg = cosα / √(1 − cos²α).
sec = 1 / cosα.
cosec = 1 / sinα.

Mind a 6 funkcióhoz 5 érvényes azonosító tartozik (összesen 30). Mindegyiket felsoroljuk a táblázatban, és felhasználhatók egy ismeretlen (α) trigonometrikus egyenletek megoldására és egyszerűsítésére.

Összeadás és kivonás

Két szög (α és β) összegének és különbségének is megvan a saját mintázata. Trigonometrikus képletek segítségével a következőképpen ábrázolhatók:

sin(α + β) = sinα ⋅ cosβ + sinβ ⋅ cosα.
cos(α + β) = cosα ⋅ cosβ + sinα ⋅ sinβ.
tg(α + β) = (tgα + tgβ) / (1 − tgα ⋅ tgβ).
ctg(α + β) = (ctgα ⋅ ctgβ − 1) / (ctgα + ctgβ).

Ezek a képletek a kivonásra is vonatkoznak. Ha az egyenlőségjel jobb oldalán lévő jelek változnak, akkor a bal oldalon is változnak. Az érintő esetében ez így fog kinézni: tg(α − β) = (tgα − tgβ) / (1 + tgα ⋅ tgβ).

Szorzás

Két szög (α és β) trigonometrikus függvényei a meglévő képletekkel is szorozhatók:

sinα ⋅ sinβ = (cos(α − β) − cos(α + β)) / 2.
sinα ⋅ cosβ = (sin(α − β) + sin(α + β)) / 2.
cosα ⋅ cosβ = (cos(α − β) + cos(α + β)) / 2.
tgα ⋅ tgβ = (cos(α − β) − cos(α + β)) / (cos(α − β) + cos(α + β)).
tgα ⋅ ctgβ = (sin(α − β) + sin(α + β)) / (sin(α + β) − sin(α − β)).
ctgα ⋅ ctgβ = (cos(α − β) + cos(α + β)) / (cos(α − β) − cos(α + β)).

Léteznek képletek a trigonometrikus függvények hatványra emelésére, univerzális helyettesítésre, végtelen szorzatokká való kiterjesztésre, származékok és antideriválták előállítására. A képletek hossza 2-3 karaktertől tíz karakterig változhat, integrálok, polinomok szorzatai, hiperbolikus függvények használatával. Még egyszerű α és β értékekkel sem könnyű kiszámítani őket, és ha összetett törtértékekről van szó, sok tizedesjegygel, akkor a számítások sok időt és erőfeszítést igényelnek.

A trigonometrikus függvények (és a velük végzett műveletek) számításának egyszerűsítésére manapság speciális online számológépeket használnak. Számértékek kerülnek beléjük, ami után a program a másodperc törtrésze alatt számol. Az ilyen alkalmazások használata még kényelmesebb, mint a mérnöki számológépek, és teljesen ingyenesen elérhetők.

{$ subpageListHide ? ('Show' | translate) : ('Hide' | translate) $}