Kalkulator trigonometri

Alat lainnya

Kalkulator luas{$ ',' | translate $}
Kalkulator keliling{$ ',' | translate $}
Kalkulator volume{$ ',' | translate $}
Tabel perkalian{$ ',' | translate $}
Tabel periodik{$ ',' | translate $}
Kalkulator matriks{$ ',' | translate $}
Kalkulator KPK{$ ',' | translate $}
Kalkulator FPB

Hukum sinus, cosinus, tangen

Trigonometri adalah cabang matematika yang dikhususkan untuk segitiga, yang memungkinkan Anda menemukan sudut dan wajahnya yang tidak diketahui dari nilai yang diketahui. Misalnya, sudut sepanjang kaki dan sisi miring, atau panjang sisi miring menurut sudut dan kaki yang diketahui.

Ada fungsi unik untuk perhitungan dalam trigonometri: sinus, cosinus, tangen, cotangen, secan, dan cosecan. Mereka sering digunakan dalam ilmu dan disiplin terkait, misalnya, dalam astronomi, geodesi, dan arsitektur.

Trigonometri di sekitar kita

Trigonometri termasuk dalam kurikulum pendidikan umum dan merupakan salah satu bagian dasar matematika. Saat ini, dengan bantuannya, koordinat geografis ditemukan, rute kapal diletakkan, lintasan benda langit dihitung, program dan laporan statistik disusun. Bagian matematika ini paling diminati:

dalam astronomi;
dalam geografi;
dalam navigasi;
dalam arsitektur;
dalam optik;
dalam akustik;
dalam ilmu ekonomi (untuk analisis pasar keuangan);
dalam teori probabilitas;
dalam biologi dan kedokteran;
dalam elektronik dan pemrograman.

Saat ini bahkan cabang yang tampaknya abstrak seperti farmakologi, kriptologi, seismologi, fonetik, dan kristalografi tidak dapat dilakukan tanpa trigonometri. Fungsi trigonometri digunakan dalam computed tomography dan ultrasound, untuk mendeskripsikan gelombang cahaya dan suara, dalam konstruksi bangunan dan struktur.

Sejarah trigonometri

Tabel trigonometri pertama digunakan dalam tulisannya oleh ilmuwan Yunani kuno Hipparchus dari Nicea pada 180-125 SM. Kemudian mereka murni diterapkan di alam dan hanya digunakan untuk perhitungan astronomi. Tidak ada fungsi trigonometri (sinus, cosinus, dan sebagainya) dalam tabel Hipparchus, tetapi ada pembagian lingkaran menjadi 360 derajat dan pengukuran busurnya menggunakan akord. Misalnya, sinus modern kemudian dikenal sebagai "setengah akord", yang garis tegak lurusnya ditarik dari pusat lingkaran.

Pada tahun 100 M, matematikawan Yunani kuno Menelaus dari Aleksandria, dalam "Sphere" (Sphaericorum) tiga jilidnya, menyajikan beberapa teorema yang saat ini dapat sepenuhnya dianggap sebagai "trigonometri". Yang pertama menggambarkan kongruensi dua segitiga bola, yang kedua jumlah sudutnya (yang selalu lebih besar dari 180 derajat), dan yang ketiga aturan "enam besaran", lebih dikenal sebagai teorema Menelaus.

Kira-kira pada waktu yang sama, dari tahun 90 hingga 160 M, astronom Claudius Ptolemy menerbitkan risalah trigonometri kuno yang paling signifikan, Almagest, yang terdiri dari 13 buku. Kuncinya adalah teorema yang menjelaskan rasio diagonal dan sisi berlawanan dari segiempat cembung bertuliskan lingkaran. Menurut teorema Ptolemy, hasil kali kedua selalu sama dengan jumlah hasil kali pertama. Berdasarkan itu, 4 rumus selisih untuk sinus dan kosinus kemudian dikembangkan, serta rumus setengah sudut α / 2.

Studi India

Bentuk "akordal" untuk mendeskripsikan fungsi trigonometri, yang muncul di Yunani kuno sebelum era kita, umum di Eropa dan Asia hingga Abad Pertengahan. Dan hanya pada abad ke-16 di India mereka digantikan oleh sinus dan cosinus modern: masing-masing dengan sebutan Latin sin dan cos. Di India rasio trigonometri fundamental dikembangkan: sin²α + cos²α = 1, sinα = cos(90° − α), sin(α + β) = sinα ⋅ cosβ + cosα ⋅ sinβ dan lain-lain.

Tujuan utama trigonometri di India abad pertengahan adalah untuk menemukan angka yang sangat presisi, terutama untuk penelitian astronomi. Hal ini dapat dilihat dari risalah ilmiah Bhaskara dan Aryabhata, termasuk karya ilmiah Surya Siddhanta. Astronom India Nilakanta Somayaji untuk pertama kalinya dalam sejarah mendekomposisi arctangent menjadi deret daya tak terhingga, dan kemudian sinus dan kosinus didekomposisi menjadi deret.

Di Eropa, hasil yang sama baru muncul di abad XVII berikutnya. Deret untuk sin dan cos diturunkan oleh Isaac Newton pada tahun 1666, dan untuk garis singgung busur pada tahun 1671 oleh Gottfried Wilhelm Leibniz. Pada abad ke-18, para ilmuwan terlibat dalam studi trigonometri baik di Eropa maupun di negara-negara Dekat / Timur Tengah. Setelah karya ilmiah Muslim diterjemahkan ke dalam bahasa Latin dan Inggris pada abad ke-19, karya tersebut menjadi milik sains Eropa pertama dan kemudian dunia, memungkinkan untuk menggabungkan dan mensistematisasikan semua pengetahuan yang berkaitan dengan trigonometri.

Sebagai kesimpulan, kita dapat mengatakan bahwa saat ini trigonometri adalah disiplin yang sangat diperlukan tidak hanya untuk ilmu alam, tetapi juga untuk teknologi informasi. Ini telah lama berhenti menjadi cabang matematika terapan, dan terdiri dari beberapa subbagian besar, termasuk trigonometri bola dan goniometri. Yang pertama mempertimbangkan sifat sudut antara lingkaran besar pada bola, dan yang kedua membahas metode untuk mengukur sudut dan rasio fungsi trigonometri satu sama lain.

Formula sinus, kosinus, tangen

Trigonometri terutama tentang menemukan sudut dan sisi dalam segitiga siku-siku, serta dalam bentuk polihedral yang lebih kompleks. Mengetahui dua besaran (satu sudut dan satu atau dua sisi), Anda hampir selalu dapat menemukan besaran ketiga menggunakan fungsi dan rumus trigonometri khusus.

Fungsi trigonometri

Hanya ada dua fungsi langsung dalam trigonometri: sinus (sin) dan cosinus (cos). Yang pertama sama dengan rasio kaki yang berlawanan dengan sisi miring, dan yang kedua sama dengan yang berdekatan. Dalam kedua kasus, yang kami maksud adalah sudut lancip dari segitiga siku-siku, yang selalu kurang dari 90 derajat. Dalam matematika yang lebih tinggi, sin dan cos juga dapat diterapkan pada bilangan kompleks dan bilangan real.

Semua fungsi trigonometri lainnya merupakan turunan dari sinus dan cosinus. Hanya ada empat di antaranya:

Tangen (tg) - rasio kaki yang berlawanan dengan kaki yang berdekatan - tgx = sinx / cosx.
Cotangent (ctg) - rasio kaki yang berdekatan dengan kaki yang berlawanan - ctgx = cosx / sinx.
Second (sec) — rasio hipotenusa dengan kaki yang berdekatan — secx = 1 / cosx.
Cosecant (cosec) - rasio hipotenusa dengan kaki yang berlawanan - cosecx = 1 / sinx.

Notasi alternatif yang digunakan di negara-negara berbahasa Inggris adalah sebagai berikut: tangen - tan, kotangen - cot, cosecant - csc. Mereka ditunjukkan dalam literatur ilmiah, pada kalkulator teknik tombol tekan, dalam aplikasi elektronik.

Rumus trigonometri

Matematika negara-negara Eropa dan Asia telah meneliti dan menyempurnakan fungsi trigonometri selama berabad-abad, dan telah mengidentifikasi sejumlah pola yang melekat di dalamnya sebagai tambahan, pengurangan, perkalian, dan operasi matematika lainnya. Saat ini, seluruh kursus dasar trigonometri, yang merupakan bagian dari kurikulum sekolah, didasarkan pada hal ini, yaitu kemampuan untuk mengurangi dan mengubah fungsi menggunakan aksioma dan teorema yang ada.

Identitas sederhana

Bahkan di India abad pertengahan, identitas paling sederhana yang berlaku untuk fungsi trigonometri langsung dan turunan terungkap. Dalam bentuk jadi (modern), mereka terlihat seperti ini:

sin²α + cos²α = 1.
1 + tg²α = dtk²α.
1 + ctg²α = cosec²α.
tgα ⋅ ctgα = 1.

Rumus di atas berlaku untuk semua nilai argumen (α). Jika kita memperkenalkan batasan bahwa α lebih besar dari 0 dan lebih kecil dari π/2, daftar rumus bertambah beberapa kali. Yang utama meliputi yang berikut:

sinα = √(1 − cos²α).
cosα = √(1 − sin²α).
tgα = sinα / √(1 − sin²α).
ctg = cosα / √(1 − cos²α).
detik = 1 / cosα.
cosec = 1 / sinα.

Ada 5 identitas yang valid untuk masing-masing dari 6 fungsi (total 30). Semuanya tercantum dalam tabel dan dapat digunakan untuk menyelesaikan dan menyederhanakan persamaan trigonometri dengan satu yang tidak diketahui (α).

Penjumlahan dan pengurangan

Jumlah dan selisih dua sudut (α dan β) juga memiliki polanya masing-masing. Menggunakan rumus trigonometri, mereka dapat direpresentasikan sebagai berikut:

sin(α + β) = sinα ⋅ cosβ + sinβ ⋅ cosα.
cos(α + β) = cosα ⋅ cosβ + sinα ⋅ sinβ.
tg(α + β) = (tgα + tgβ) / (1 − tgα ⋅ tgβ).
ctg(α + β) = (ctgα ⋅ ctgβ − 1) / (ctgα + ctgβ).

Rumus ini juga berlaku untuk pengurangan. Jika tanda di sisi kanan tanda sama dengan berubah, maka tanda di sisi kiri juga berubah. Dalam kasus garis singgung, akan terlihat seperti ini: tg(α − β) = (tgα − tgβ) / (1 + tgα ⋅ tgβ).

Perkalian

Fungsi trigonometri dari dua sudut (α dan β) juga dapat dikalikan menggunakan rumus yang ada:

sinα ⋅ sinβ = (cos(α − β) − cos(α + β)) / 2.
sinα ⋅ cosβ = (sin(α − β) + sin(α + β)) / 2.
cosα ⋅ cosβ = (cos(α − β) + cos(α + β)) / 2.
tgα ⋅ tgβ = (cos(α − β) − cos(α + β)) / (cos(α − β) + cos(α + β)).
tgα ⋅ ctgβ = (sin(α − β) + sin(α + β)) / (sin(α + β) − sin(α − β)).
ctgα ⋅ ctgβ = (cos(α − β) + cos(α + β)) / (cos(α − β) − cos(α + β)).

Ada juga rumus untuk menaikkan fungsi trigonometri menjadi pangkat, untuk substitusi universal, untuk memperluas menjadi hasil kali tak terhingga, untuk memperoleh turunan dan antiturunan. Panjang rumus dapat bervariasi dari 2-3 hingga puluhan karakter, menggunakan integral, perkalian polinomial, fungsi hiperbolik. Mereka tidak mudah dihitung bahkan dengan nilai sederhana α dan β, dan jika itu adalah nilai pecahan kompleks dengan banyak desimal, perhitungannya akan membutuhkan banyak waktu dan usaha.

Untuk menyederhanakan perhitungan fungsi trigonometri (dan operasi dengannya), kalkulator online khusus saat ini digunakan. Nilai numerik dimasukkan ke dalamnya, setelah itu program menghitung dalam sepersekian detik. Menggunakan aplikasi semacam itu bahkan lebih nyaman daripada kalkulator teknik, dan tersedia sepenuhnya gratis.