Calcolatrice trigonometrica

La trigonometria è una branca della matematica dedicata ai triangoli, che ti consente di trovare i loro angoli e facce sconosciuti a partire da valori noti. Ad esempio, l'angolo lungo la lunghezza della gamba e dell'ipotenusa, o la lunghezza dell'ipotenusa secondo l'angolo e la gamba noti.

Esistono funzioni uniche per i calcoli in trigonometria: seno, coseno, tangente, cotangente, secante e cosecante. Sono spesso utilizzati nelle scienze e nelle discipline correlate, ad esempio in astronomia, geodesia e architettura.

Trigonometria intorno a noi

La trigonometria è inclusa nel curriculum di istruzione generale ed è una delle sezioni fondamentali della matematica. Oggi, con il suo aiuto, trovano le coordinate geografiche, tracciano le rotte delle navi, calcolano le traiettorie dei corpi celesti, compilano programmi e rapporti statistici. Questa sezione matematica è la più richiesta:

in astronomia;
in geografia;
nella navigazione;
in architettura;
in ottica;
in acustica;
in economia (per l'analisi dei mercati finanziari);
nella teoria della probabilità;
in biologia e medicina;
nell'elettronica e nella programmazione.

Oggi anche branche apparentemente astratte come la farmacologia, la crittologia, la sismologia, la fonetica e la cristallografia non possono fare a meno della trigonometria. Le funzioni trigonometriche sono utilizzate nella tomografia computerizzata e negli ultrasuoni, per descrivere le onde luminose e sonore, nella costruzione di edifici e strutture.

Storia della trigonometria

Le prime tavole trigonometriche furono utilizzate nei suoi scritti dall'antico scienziato greco Ipparco di Nicea nel 180-125 a.C. Quindi sono stati applicati puramente in natura e sono stati utilizzati solo per calcoli astronomici. Non c'erano funzioni trigonometriche (seno, coseno e così via) nelle tavole di Ipparco, ma c'era una divisione del cerchio in 360 gradi e la misurazione dei suoi archi mediante corde. Ad esempio, il seno moderno era allora noto come "mezzo accordo", al quale veniva disegnata una perpendicolare dal centro del cerchio.

Nell'anno 100 d.C., l'antico matematico greco Menelao di Alessandria, nella sua "Sfera" (Sphaericorum) in tre volumi, presentò diversi teoremi che oggi possono essere considerati a pieno titolo "trigonometrici". La prima descriveva la congruenza di due triangoli sferici, la seconda la somma dei loro angoli (che è sempre maggiore di 180 gradi), e la terza la regola delle "sei magnitudini", meglio nota come teorema di Menelao.

Più o meno nello stesso periodo, dal 90 al 160 d.C., l'astronomo Claudio Tolomeo pubblicò il trattato trigonometrico più significativo dell'antichità, l'Almagesto, composto da 13 libri. La chiave era un teorema che descriveva il rapporto tra diagonali e lati opposti di un quadrilatero convesso inscritto in un cerchio. Secondo il teorema di Tolomeo, il prodotto del secondo è sempre uguale alla somma dei prodotti del primo. Sulla base di ciò, sono state successivamente sviluppate 4 formule di differenza per seno e coseno, nonché la formula del semiangolo α / 2.

Studi indiani

La forma "cordale" per descrivere le funzioni trigonometriche, nata nell'antica Grecia prima della nostra era, era comune in Europa e in Asia fino al Medioevo. E solo nel XVI secolo in India furono sostituiti dai moderni seno e coseno: rispettivamente con le denominazioni latine sin e cos. Fu in India che furono sviluppati i rapporti trigonometrici fondamentali: sin²α + cos²α = 1, sinα = cos(90° − α), sin(α + β) = sinα ⋅ cosβ + cosα ⋅ sinβ e altri.

Lo scopo principale della trigonometria nell'India medievale era trovare numeri ultraprecisi, principalmente per la ricerca astronomica. Questo può essere giudicato dai trattati scientifici di Bhaskara e Aryabhata, incluso il lavoro scientifico Surya Siddhanta. L'astronomo indiano Nilakanta Somayaji per la prima volta nella storia ha scomposto l'arcotangente in una serie infinita di potenze, e successivamente il seno e il coseno sono stati scomposti in serie.

In Europa, gli stessi risultati arrivarono solo nel successivo XVII secolo. Le serie per sin e cos furono derivate da Isaac Newton nel 1666 e per l'arcotangente nel 1671 da Gottfried Wilhelm Leibniz. Nel XVIII secolo, gli scienziati erano impegnati in studi trigonometrici sia in Europa che nei paesi del Vicino / Medio Oriente. Dopo che le opere scientifiche musulmane furono tradotte in latino e in inglese nel XIX secolo, divennero proprietà della scienza prima europea e poi mondiale, permettendo di combinare e sistematizzare tutte le conoscenze relative alla trigonometria.

Riassumendo, possiamo dire che oggi la trigonometria è una disciplina indispensabile non solo per le scienze naturali, ma anche per l'informatica. Ha cessato da tempo di essere un ramo applicato della matematica e consiste in diverse grandi sottosezioni, tra cui la trigonometria sferica e la goniometria. Il primo considera le proprietà degli angoli tra grandi cerchi su una sfera, e il secondo si occupa dei metodi per misurare gli angoli e il rapporto tra le funzioni trigonometriche.

La trigonometria riguarda principalmente la ricerca di angoli e spigoli nei triangoli rettangoli, nonché in forme poliedriche più complesse. Conoscendo due quantità (un angolo e una faccia o due facce), puoi quasi sempre trovare la terza usando speciali funzioni e formule trigonometriche.

Funzioni trigonometriche

Ci sono solo due funzioni dirette in trigonometria: seno (sin) e coseno (cos). Il primo è uguale al rapporto tra la gamba opposta e l'ipotenusa e il secondo è uguale all'adiacente. In entrambi i casi si intende l'angolo acuto di un triangolo rettangolo, che è sempre minore di 90 gradi. Nella matematica superiore, sin e cos possono essere applicati anche a numeri complessi e reali.

Tutte le altre funzioni trigonometriche sono derivate di seno e coseno. Ce ne sono solo quattro:

Tangente (tg) - il rapporto tra la gamba opposta e quella adiacente - tgx = sinx / cosx.
Cotangente (ctg) - il rapporto tra la gamba adiacente e quella opposta - ctgx = cosx / sinx.
Secondo (sec) — il rapporto tra l'ipotenusa e il cateto adiacente — secx = 1 / cosx.
Cosecant (cosec) - il rapporto tra l'ipotenusa e la gamba opposta - cosecx = 1 / sinx.

Una notazione alternativa utilizzata nei paesi di lingua inglese è la seguente: tangente - tan, cotangente - cot, cosecante - csc. Sono indicati nella letteratura scientifica, sui calcolatori ingegneristici a pulsante, nelle applicazioni elettroniche.

Formule trigonometriche

I matematici dei paesi europei e asiatici hanno ricercato e migliorato le funzioni trigonometriche per molti secoli e hanno identificato una serie di modelli inerenti ad esse in aggiunta, sottrazione, moltiplicazione e altre operazioni matematiche. Oggi l'intero corso base di trigonometria, che fa parte del curriculum scolastico, si basa su questo, ovvero sulla capacità di ridurre e trasformare funzioni utilizzando assiomi e teoremi esistenti.

Identità semplici

Anche nell'India medievale sono state rivelate le identità più semplici applicabili alle funzioni trigonometriche dirette e derivate. Nella loro forma finita (moderna), hanno questo aspetto:

sin²α + cos²α = 1.
1 + tg²α = sec²α.
1 + ctg²α = cosec²α.
tgα ⋅ ctgα = 1.

Le formule precedenti sono valide per qualsiasi valore dell'argomento (α). Se introduciamo il vincolo che α sia maggiore di 0 e minore di π/2, l'elenco delle formule aumenta più volte. I principali includono quanto segue:

sinα = √(1 − cos²α).
cosα = √(1 − sin²α).
tgα = sinα / √(1 − sin²α).
ctg = cosα / √(1 − cos²α).
sec = 1 / cosα.
cosec = 1 / sinα.

Ci sono 5 identità valide per ciascuna delle 6 funzioni (30 in totale). Tutti sono elencati nella tabella e possono essere utilizzati per risolvere e semplificare equazioni trigonometriche con un'incognita (α).

Addizione e sottrazione

Anche le somme e le differenze di due angoli (α e β) hanno i propri schemi. Utilizzando formule trigonometriche, possono essere rappresentati come segue:

sin(α + β) = sinα ⋅ cosβ + sinβ ⋅ cosα.
cos(α + β) = cosα ⋅ cosβ + sinα ⋅ sinβ.
tg(α + β) = (tgα + tgβ) / (1 − tgα ⋅ tgβ).
ctg(α + β) = (ctgα ⋅ ctgβ − 1) / (ctgα + ctgβ).

Queste formule si applicano anche alla sottrazione. Se i segni sul lato destro del segno di uguale cambiano, cambiano anche sul lato sinistro. Nel caso della tangente, sarà così: tg(α − β) = (tgα − tgβ) / (1 + tgα ⋅ tgβ).

Moltiplicazione

Le funzioni trigonometriche di due angoli (α e β) possono anche essere moltiplicate insieme utilizzando le formule esistenti:

sinα ⋅ sinβ = (cos(α − β) − cos(α + β)) / 2.
sinα ⋅ cosβ = (sin(α − β) + sin(α + β)) / 2.
cosα ⋅ cosβ = (cos(α − β) + cos(α + β)) / 2.
tgα ⋅ tgβ = (cos(α − β) − cos(α + β)) / (cos(α − β) + cos(α + β)).
tgα ⋅ ctgβ = (sin(α − β) + sin(α + β)) / (sin(α + β) − sin(α − β)).
ctgα ⋅ ctgβ = (cos(α − β) + cos(α + β)) / (cos(α − β) − cos(α + β)).

Esistono anche formule per elevare a potenza le funzioni trigonometriche, per la sostituzione universale, per espandersi in prodotti infiniti, per ottenere derivate e antiderivate. La lunghezza delle formule può variare da 2-3 a decine di caratteri, utilizzando integrali, prodotti di polinomi, funzioni iperboliche. Non sono facili da calcolare anche con valori semplici di α e β, e se sono valori frazionari complessi con molti decimali, i calcoli richiederanno molto tempo e impegno.

Per semplificare i calcoli delle funzioni trigonometriche (e le operazioni con esse), oggi vengono utilizzati speciali calcolatori online. In essi vengono inseriti valori numerici, dopodiché il programma calcola in una frazione di secondo. L'utilizzo di tali applicazioni è ancora più conveniente rispetto ai calcolatori tecnici e sono disponibili in modo completamente gratuito.

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