三角法計算機

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サイン、コサイン、タンジェントの法則

三角法は三角形を専門とする数学の一分野で、既知の値から未知の角度や面を見つけることができます。たとえば、脚と斜辺の長さに沿った角度、または既知の角度と脚に基づく斜辺の長さなどです。

三角法の計算には、サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェント、セカント、コセカントなどの固有の関数があります。これらは、天文学、測地学、建築など、関連する科学や分野でよく使用されます。

私たちの周りの三角法

三角法は一般教育カリキュラムに含まれており、数学の基本的なセクションの 1 つです。今日では、その助けを借りて、地理座標を見つけ、船の航路を敷設し、天体の軌道を計算し、プログラムや統計レポートを編集しています。この数学セクションは最も需要があります:

天文学において;
地理において;
ナビゲーション内;
建築分野;
光学分野;
音響分野;
経済学（金融市場の分析）
確率論において;
生物学と医学;
エレクトロニクスとプログラミングの分野

今日では、薬学、暗号学、地震学、音声学、結晶学などの一見抽象的な分野でさえ、三角法なしでは成り立ちません。三角関数は、建物や構造物の建設における光と音波を記述するために、コンピューター断層撮影や超音波で使用されます。

三角法の歴史

最初の三角関数表は、紀元前 180 ～ 125 年に古代ギリシャの科学者ニカイアのヒッパルコスによって著作で使用されました。その後、それらは純粋に自然界に適用され、天文学的な計算にのみ使用されました。ヒッパルコスの表には三角関数 (サイン、コサインなど) はありませんでしたが、円を 360 度に分割し、弦を使用してその円弧を測定しました。たとえば、現代の正弦波は当時「半弦」として知られており、円の中心から垂線が引かれていました。

西暦 100 年、古代ギリシャの数学者、アレクサンドリアのメネラウスは、全 3 巻の『球体』 (Sphaericorum) の中で、今日完全に「三角関数」とみなされるいくつかの定理を提示しました。 1 つ目は 2 つの球面三角形の合同を記述し、2 つ目はそれらの角度の合計 (常に 180 度より大きい) を記述し、3 つ目はメネラウスの定理として知られる「6 の大きさ」の法則を記述しました。

ほぼ同時期、西暦 90 年から 160 年にかけて、天文学者クラウディウスプトレマイオスは、13 冊の本からなる古代の最も重要な三角関数の論文、アルマゲストを出版しました。その鍵となったのは、円に内接する凸四角形の対角線と対辺の比を記述する定理でした。プトレマイオスの定理によれば、2 番目の積は常に 1 番目の積の和に等しくなります。これに基づいて、サインとコサインの 4 つの差分公式と、半角の公式 α / 2 がその後開発されました。

インド研究

三角関数を記述する「コード」形式は、私たちの時代より前の古代ギリシャで生まれ、中世まではヨーロッパとアジアで一般的でした。そして 16 世紀になって初めてインドでそれらは現代のサインとコサインに置き換えられ、それぞれラテン語で sin と cos と呼ばれるようになりました。基本的な三角比が開発されたのはインドでした。sin²α + cos²α = 1、sinα = cos(90° − α)、sin(α + β) = sinα ⋅ cosβ + cosα ⋅ sinβ など。

中世インドにおける三角法の主な目的は、主に天文学の研究のために超正確な数値を求めることでした。これは、科学著作『スーリヤ・シッダーンタ』を含むバスカーラとアリヤバータの科学論文から判断できます。インドの天文学者ニラカンタソマヤジは、歴史上初めて逆正接を無限のべき級数に分解し、その後サインとコサインも級数に分解しました。

ヨーロッパでも同じ結果が得られたのは次の 17 世紀になってからでした。 sin と cos の級数は 1666 年にアイザックニュートンによって導出され、逆正接の級数は 1671 年にゴットフリートヴィルヘルムライプニッツによって導かれました。 18 世紀、科学者はヨーロッパと中近東の国々の両方で三角法の研究に従事していました。 19 世紀にイスラム教の科学著作がラテン語と英語に翻訳された後、それらは最初のヨーロッパ、その後世界の科学の所有物となり、三角法に関連するすべての知識を組み合わせて体系化することが可能になりました。

まとめると、今日、三角法は自然科学だけでなく情報技術にとっても不可欠な学問であると言えます。これは数学の応用分野ではなくなって久しく、球面三角法やゴニオメトリーを含むいくつかの大きなサブセクションで構成されています。 1 つ目は球上の大円の間の角度の特性を考慮し、2 つ目は角度と三角関数の相互の比を測定する方法を扱います。

サイン、コサイン、タンジェントの公式

三角法は主に、直角三角形の角や辺、さらに複雑な多面体の形状を見つけることを目的としています。 2 つの量 (角度と 1 つの面または 2 つの面) がわかっていれば、特別な三角関数と公式を使用して、ほとんどの場合、3 番目の量を見つけることができます。

三角関数

三角関数には正弦 (sin) と余弦 (cos) の 2 つの直接関数しかありません。最初の値は反対側の脚と斜辺の比率に等しく、2 番目の値は隣接する脚の比率に等しくなります。どちらの場合も、直角三角形の鋭角を意味し、常に 90 度未満になります。高等数学では、sin と cos は複素数や実数にも適用できます。

他のすべての三角関数はサインとコサインの導関数です。それらは 4 つだけです:

タンジェント (tg) - 隣接する脚に対する反対側の脚の比率 - tgx = sinx / cosx。
コタンジェント (ctg) - 隣接する脚と反対側の脚の比率 - ctgx = cosx / sinx。
秒 (sec) — 隣接する脚に対する斜辺の比率 — secx = 1 / cosx。
コセカント (cosec) - 斜辺と反対側の脚の比 - cosecx = 1 / sinx。

英語圏で使用される別の表記法は次のとおりです: タンジェント - Tan、コタンジェント - cot、コセカント - csc。それらは、科学文献、プッシュボタン工学計算機、電子アプリケーションで示されています。

三角関数の公式

ヨーロッパやアジア諸国の数学者は、何世紀にもわたって三角関数の研究と改良を行っており、加算、減算、乗算、その他の数学演算に固有の多数のパターンを特定しました。現在、学校カリキュラムの一部である三角法の基礎コース全体は、これ、つまり、既存の公理と定理を使用して関数を縮小および変換する能力に基づいています。

シンプルなアイデンティティ

中世のインドでも、直接三角関数と微分三角関数に適用できる最も単純な恒等式が明らかにされました。完成した (現代的な) 形は次のようになります:

sin²α + cos²α = 1。
1 + tg²α = sec²α。
1 + ctg²α = cosec²α。
tgα ⋅ ctgα = 1。

上記の式は、引数 (α) の任意の値に対して有効です。 α が 0 より大きく、π/2 より小さいという制約を導入すると、式のリストが数倍に増加します。主なものには次のようなものがあります。

sinα = √(1 − cos²α)。
cosα = √(1 − sin²α)。
tgα = sinα / √(1 − sin²α)。
ctg = cosα / √(1 − cos²α)。
秒 = 1 / cosα。
cosec = 1 / sinα。

6 つの機能ごとに 5 つの有効な ID があります (合計 30)。それらはすべて表にリストされており、1 つの未知数 (α) を含む三角方程式を解いて簡略化するために使用できます。

足し算と引き算

2 つの角度 (α と β) の和と差にも独自のパターンがあります。三角関数の公式を使用すると、次のように表すことができます。

sin(α + β) = sinα ⋅ cosβ + sinβ ⋅ cosα。
cos(α + β) = cosα ⋅ cosβ + sinα ⋅ sinβ。
tg(α + β) = (tgα + tgβ) / (1 − tgα ⋅ tgβ)。
ctg(α + β) = (ctgα ⋅ ctgβ − 1) / (ctgα + ctgβ)。

これらの式は減算にも適用されます。等号の右側の符号が変わると、左側の符号も変わります。タンジェントの場合、次のようになります: tg(α − β) = (tgα − tgβ) / (1 + tgα ⋅ tgβ)。

乗算

2 つの角度 (α と β) の三角関数は、既存の公式を使用して乗算することもできます。

sinα ⋅ sinβ = (cos(α − β) − cos(α + β)) / 2.
sinα ⋅ cosβ = (sin(α − β) + sin(α + β)) / 2.
cosα ⋅ cosβ = (cos(α − β) + cos(α + β)) / 2.
tgα ⋅ tgβ = (cos(α − β) − cos(α + β)) / (cos(α − β) + cos(α + β))。
tgα ⋅ ctgβ = (sin(α − β) + sin(α + β)) / (sin(α + β) − sin(α − β))。
ctgα ⋅ ctgβ = (cos(α − β) + cos(α + β)) / (cos(α − β) − cos(α + β))。

三角関数の累乗、全称代入、無限積への拡張、微分と反微分を求めるための公式もあります。数式の長さは、積分、多項式の積、双曲線関数を使用して、2 ～ 3 文字から数十文字まで変化します。単純なαやβの値であっても計算するのは容易ではなく、小数点以下の桁が多い複雑な分数の場合、計算に多くの時間と労力がかかります。

三角関数の計算 (およびその演算) を簡素化するために、現在では特別なオンライン計算機が使用されています。数値が入力されると、プログラムはほんの数秒で計算します。このようなアプリケーションを使用すると、工学計算電卓よりもさらに便利であり、完全に無料で利用できます。