ტრიგონომეტრიის კალკულატორი

სინუსების, კოსინუსების, ტანგენტების კანონი

ტრიგონომეტრია არის მათემატიკის ფილიალი, რომელიც ეძღვნება სამკუთხედებს, რომელიც საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ მათი უცნობი კუთხეები და სახეები ცნობილი მნიშვნელობებიდან. მაგალითად, კუთხე ფეხისა და ჰიპოტენუზის სიგრძის გასწვრივ, ან ჰიპოტენუზის სიგრძე ცნობილი კუთხისა და ფეხის მიხედვით.

ტრიგონომეტრიაში გამოთვლებისთვის უნიკალური ფუნქციებია: სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი, კოტანგენსი, სეკანტი და კოსეკანტი. ისინი ხშირად გამოიყენება დაკავშირებულ მეცნიერებებში და დისციპლინებში, მაგალითად, ასტრონომიაში, გეოდეზიაში და არქიტექტურაში.

ტრიგონომეტრია ჩვენს გარშემო

ტრიგონომეტრია შედის ზოგადსაგანმანათლებლო კურიკულუმში და წარმოადგენს მათემატიკის ერთ-ერთ ფუნდამენტურ განყოფილებას. დღეს მისი დახმარებით პოულობენ გეოგრაფიულ კოორდინატებს, ადგენენ გემების მარშრუტებს, გამოთვლიან ციური სხეულების ტრაექტორიებს, ადგენენ პროგრამებსა და სტატისტიკურ ანგარიშებს. ეს მათემატიკური განყოფილება ყველაზე მოთხოვნადია:

ასტრონომიაში;
გეოგრაფიაში;
ნავიგაციაში;
არქიტექტურაში;
ოპტიკაში;
აკუსტიკაში;
ეკონომიკაში (ფინანსური ბაზრების ანალიზისთვის);
ალბათობის თეორიაში;
ბიოლოგიასა და მედიცინაში;
ელექტრონიკასა და პროგრამირებაში.

დღეს ისეთი ერთი შეხედვით აბსტრაქტული დარგებიც კი, როგორიცაა ფარმაკოლოგია, კრიპტოლოგია, სეისმოლოგია, ფონეტიკა და კრისტალოგრაფია, არ შეუძლიათ ტრიგონომეტრიის გარეშე. ტრიგონომეტრიული ფუნქციები გამოიყენება კომპიუტერულ ტომოგრაფიასა და ულტრაბგერაში, სინათლისა და ხმის ტალღების აღსაწერად, შენობებისა და ნაგებობების მშენებლობაში.

ტრიგონომეტრიის ისტორია

პირველი ტრიგონომეტრიული ცხრილები გამოიყენა თავის თხზულებებში ძველი ბერძენი მეცნიერი ჰიპარქე ნიკეელი 180-125 წწ. შემდეგ ისინი წმინდად გამოიყენებოდა ბუნებაში და გამოიყენებოდა მხოლოდ ასტრონომიული გამოთვლებისთვის. ჰიპარქეს ცხრილებში არ იყო ტრიგონომეტრიული ფუნქციები (სინუსი, კოსინუსი და ა. მაგალითად, თანამედროვე სინუსს მაშინ ეწოდებოდა "ნახევარი აკორდი", რომელზედაც პერპენდიკულარი იყო გამოყვანილი წრის ცენტრიდან.

100 წელს ძველი ბერძენი მათემატიკოსი მენელაუს ალექსანდრიელი თავის სამტომიან „სფეროში“ (Sphaericorum) წარმოადგინა რამდენიმე თეორემა, რომლებიც დღეს შეიძლება სრულად „ტრიგონომეტრიულად“ მივიჩნიოთ. პირველი აღწერს ორი სფერული სამკუთხედის კონგრუნაციას, მეორეში მათი კუთხეების ჯამს (რომელიც ყოველთვის 180 გრადუსზე მეტია), ხოლო მესამეში "ექვსი სიდიდის" წესი, უფრო ცნობილი როგორც მენელაუსის თეორემა.

დაახლოებით ამავე დროს, ჩვენი წელთაღრიცხვით 90-დან 160 წლამდე, ასტრონომმა კლავდიუს პტოლემეოსმა გამოაქვეყნა ანტიკურობის ყველაზე მნიშვნელოვანი ტრიგონომეტრიული ტრაქტატი, ალმაგესტი, რომელიც 13 წიგნისგან შედგებოდა. მისი გასაღები იყო თეორემა, რომელიც აღწერდა წრეში ჩაწერილი ამოზნექილი ოთხკუთხედის დიაგონალების და მოპირდაპირე გვერდების თანაფარდობას. პტოლემეოსის თეორემის მიხედვით, მეორის ნამრავლი ყოველთვის უდრის პირველის ნამრავლების ჯამს. მასზე დაყრდნობით, შემდგომში შემუშავდა სინუსსა და კოსინუსზე განსხვავებების 4 ფორმულა, ისევე როგორც ნახევარკუთხის ფორმულა α / 2.

ინდური კვლევები

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების აღწერის „აკორდული“ ფორმა, რომელიც წარმოიშვა ძველ საბერძნეთში ჩვენს წელთაღრიცხვამდე, გავრცელებული იყო ევროპასა და აზიაში შუა საუკუნეებამდე. და მხოლოდ მე -16 საუკუნეში ინდოეთში ისინი შეიცვალა თანამედროვე სინუსით და კოსინუსით: ლათინური აღნიშვნებით, შესაბამისად, sin და cos. სწორედ ინდოეთში შეიქმნა ფუნდამენტური ტრიგონომეტრიული თანაფარდობები: sin²α + cos²α = 1, sinα = cos(90° − α), sin(α + β) = sinα ⋅ cosβ + cosα ⋅ sinβ და სხვა.

შუა საუკუნეების ინდოეთში ტრიგონომეტრიის მთავარი მიზანი იყო ულტრა ზუსტი რიცხვების პოვნა, ძირითადად ასტრონომიული კვლევისთვის. ეს შეიძლება ვიმსჯელოთ ბჰასკარას და არიაბჰატას სამეცნიერო ტრაქტატებიდან, მათ შორის სამეცნიერო ნაშრომიდან Surya Siddhanta. ინდოელმა ასტრონომმა ნილაკანტა სომაიაჯიმ ისტორიაში პირველად დაშალა არქტანგენსი უსასრულო სიმძლავრის სერიად და შემდგომში სინუსი და კოსინუსი დაიშალა სერიებად.

ევროპაში იგივე შედეგები მოვიდა მხოლოდ მომდევნო, XVII საუკუნეში. ცოდვისა და cos-ის სერია მიღებული იქნა ისააკ ნიუტონის მიერ 1666 წელს, ხოლო რკალის ტანგენტის 1671 წელს გოტფრიდ ვილჰელმ ლაიბნიცის მიერ. მე-18 საუკუნეში მეცნიერები დაკავებულნი იყვნენ ტრიგონომეტრიული კვლევებით როგორც ევროპაში, ასევე ახლო / ახლო აღმოსავლეთის ქვეყნებში. მას შემდეგ, რაც მე-19 საუკუნეში მუსლიმური სამეცნიერო ნაშრომები ლათინურად და ინგლისურად ითარგმნა, ისინი ჯერ ევროპული, შემდეგ კი მსოფლიო მეცნიერების საკუთრება გახდა, რამაც შესაძლებელი გახადა ტრიგონომეტრიასთან დაკავშირებული ყველა ცოდნის გაერთიანება და სისტემატიზაცია.

შეჯამებით შეგვიძლია ვთქვათ, რომ დღეს ტრიგონომეტრია შეუცვლელი დისციპლინაა არა მხოლოდ საბუნებისმეტყველო მეცნიერებებისთვის, არამედ საინფორმაციო ტექნოლოგიებისთვისაც. იგი დიდი ხანია აღარ იყო მათემატიკის გამოყენებითი ფილიალი და შედგება რამდენიმე დიდი ქვეგანყოფილებისგან, მათ შორის სფერული ტრიგონომეტრიისა და გონიომეტრიისგან. პირველი განიხილავს სფეროს დიდ წრეებს შორის კუთხეების თვისებებს, ხოლო მეორე ეხება კუთხეების გაზომვის მეთოდებს და ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ერთმანეთთან შეფარდებას.

ტრიგონომეტრია უპირველეს ყოვლისა ეხება კუთხეების და კიდეების პოვნას მართკუთხა სამკუთხედებში, ასევე უფრო რთულ, მრავალწახნაგა ფორმებში. ორი სიდიდის (კუთხის და პირის ან ორი სახის) ცოდნით, თითქმის ყოველთვის შეგიძლიათ იპოვოთ მესამე, სპეციალური ტრიგონომეტრიული ფუნქციებისა და ფორმულების გამოყენებით.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციები

ტრიგონომეტრიაში მხოლოდ ორი პირდაპირი ფუნქციაა: სინუსი (sin) და კოსინუსი (cos). პირველი უდრის მოპირდაპირე ფეხის შეფარდებას ჰიპოტენუზასთან, ხოლო მეორე ტოლია მიმდებარედ. ორივე შემთხვევაში ვგულისხმობთ მართკუთხა სამკუთხედის მახვილ კუთხეს, რომელიც ყოველთვის 90 გრადუსზე ნაკლებია. უმაღლეს მათემატიკაში sin და cos ასევე შეიძლება გამოყენებულ იქნას რთულ და რეალურ რიცხვებზე.

ყველა სხვა ტრიგონომეტრიული ფუნქცია არის სინუსის და კოსინუსის წარმოებულები. მათგან მხოლოდ ოთხია:

ტანგენსი (tg) - მოპირდაპირე ფეხის შეფარდება მიმდებარე ფეხის მიმართ - tgx = sinx / cosx.
კოტანგენსი (ctg) - მიმდებარე ფეხის შეფარდება მოპირდაპირესთან - ctgx = cosx / sinx.
მეორე (წმ) - ჰიპოტენუზის თანაფარდობა მიმდებარე ფეხთან - secx = 1 / cosx.
Cosecant (cosec) - ჰიპოტენუზის თანაფარდობა მოპირდაპირე ფეხთან - cosecx = 1 / sinx.

ინგლისურენოვან ქვეყნებში გამოყენებული ალტერნატიული აღნიშვნა შემდეგია: tangent - tan, cotangent - cot, cosecant - csc. ისინი მითითებულია სამეცნიერო ლიტერატურაში, საინჟინრო კალკულატორებზე, ელექტრონულ აპლიკაციებში.

ტრიგონომეტრიული ფორმულები

ევროპის და აზიის ქვეყნების მათემატიკოსები მრავალი საუკუნის განმავლობაში იკვლევდნენ და აუმჯობესებდნენ ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს და გამოავლინეს მათში თანდაყოლილი რამდენიმე ნიმუში, გარდა ამისა, გამოკლება, გამრავლება და სხვა მათემატიკური ოპერაციები. დღეს, ტრიგონომეტრიის მთელი ძირითადი კურსი, რომელიც სასკოლო სასწავლო გეგმის ნაწილია, ეფუძნება ამაზე, კერძოდ, ფუნქციების შემცირებისა და გარდაქმნის უნარს არსებული აქსიომებისა და თეორემების გამოყენებით.

მარტივი იდენტობები

შუა საუკუნეების ინდოეთშიც კი გამოვლინდა პირდაპირი და წარმოებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების უმარტივესი იდენტობები. დასრულებული (თანამედროვე) ფორმით ისინი ასე გამოიყურება:

sin²α + cos²α = 1.
1 + tg²α = sec²α.
1 + ctg²α = cosec²α.
tgα ⋅ ctgα = 1.

ზემოხსენებული ფორმულები მოქმედებს არგუმენტის (α) ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის. თუ შემოვიტანთ შეზღუდვას, რომ α არის 0-ზე მეტი და ნაკლები π/2, ფორმულების სია რამდენჯერმე იზრდება. ძირითადი მოიცავს შემდეგს:

sinα = √(1 − cos²α).
cosα = √(1 − sin²α).
tgα = sinα / √(1 − sin²α).
ctg = cosα / √(1 − cos²α).
წმ = 1 / cosα.
cosec = 1 / sinα.

არსებობს 5 მოქმედი იდენტობა 6 ფუნქციიდან (სულ 30). ყველა მათგანი ჩამოთვლილია ცხრილში და შეიძლება გამოყენებულ იქნას ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოსახსნელად და გასამარტივებლად ერთი უცნობით (α).

შეკრება და გამოკლება

ორი კუთხის ჯამს და განსხვავებას (α და β) ასევე აქვს საკუთარი ნიმუშები. ტრიგონომეტრიული ფორმულების გამოყენებით, ისინი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგნაირად:

sin(α + β) = sinα ⋅ cosβ + sinβ ⋅ cosα.
cos(α + β) = cosα ⋅ cosβ + sinα ⋅ sinβ.
tg(α + β) = (tgα + tgβ) / (1 − tgα ⋅ tgβ).
ctg(α + β) = (ctgα ⋅ ctgβ − 1) / (ctgα + ctgβ).

ეს ფორმულები ვრცელდება გამოკლებაზეც. თუ ტოლობის ნიშნის მარჯვენა მხარეს ნიშნები იცვლება, მაშინ ისინი ასევე იცვლება მარცხენა მხარეს. ტანგენტის შემთხვევაში ის ასე გამოიყურება: tg(α − β) = (tgα − tgβ) / (1 + tgα ⋅ tgβ).

გამრავლება

ორი კუთხის (α და β) ტრიგონომეტრიული ფუნქციები ასევე შეიძლება გამრავლდეს ერთად არსებული ფორმულების გამოყენებით:

sinα ⋅ sinβ = (cos(α − β) − cos(α + β)) / 2.
sinα ⋅ cosβ = (sin(α - β) + sin(α + β)) / 2.
cosα ⋅ cosβ = (cos(α - β) + cos(α + β)) / 2.
tgα ⋅ tgβ = (cos(α − β) − cos(α + β)) / (cos(α − β) + cos(α + β)).
tgα ⋅ ctgβ = (sin(α - β) + sin(α + β)) / (sin(α + β) - sin(α - β)).
ctgα ⋅ ctgβ = (cos(α - β) + cos(α + β)) / (cos(α - β) − cos(α + β)).

ასევე არსებობს ფორმულები ტრიგონომეტრიული ფუნქციების სიმძლავრემდე აყვანისთვის, უნივერსალური ჩანაცვლებისთვის, უსასრულო ნაწარმოებებად გაფართოებისთვის, წარმოებულებისა და ანტიწარმოებულების მისაღებად. ფორმულების სიგრძე შეიძლება განსხვავდებოდეს 2-3-დან ათეულ სიმბოლომდე ინტეგრალების, მრავალწევრების პროდუქტების, ჰიპერბოლური ფუნქციების გამოყენებით. მათი გამოთვლა არ არის ადვილი, თუნდაც α და β მარტივი მნიშვნელობებით, და თუ ისინი რთული წილადური მნიშვნელობებია მრავალი ათწილადით, გამოთვლები დიდ დროს და ძალისხმევას მოითხოვს.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების (და მათთან მოქმედებების) გამოთვლების გასამარტივებლად დღეს გამოიყენება სპეციალური ონლაინ კალკულატორები. მათში შედის რიცხვითი მნიშვნელობები, რის შემდეგაც პროგრამა ითვლის წამის ფრაქციაში. ასეთი აპლიკაციების გამოყენება კიდევ უფრო მოსახერხებელია, ვიდრე საინჟინრო კალკულატორები და ისინი ხელმისაწვდომია სრულიად უფასოდ.

{$ subpageListHide ? ('Show' | translate) : ('Hide' | translate) $}