삼각법 계산기

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사인, 코사인, 탄젠트 법칙

삼각법은 삼각형에 전념하는 수학의 한 분야로, 알려진 값에서 삼각형의 알 수 없는 각도와 면을 찾을 수 있습니다. 예를 들어 다리와 빗변의 길이에 따른 각도 또는 알려진 각도와 다리에 따른 빗변의 길이입니다.

사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트, 시컨트 및 코시컨트와 같은 삼각법 계산을 위한 고유한 함수가 있습니다. 예를 들어 천문학, 측지학, 건축과 같은 관련 과학 및 분야에서 자주 사용됩니다.

우리 주변의 삼각법

삼각법은 일반 교육 커리큘럼에 포함되어 있으며 수학의 기본 섹션 중 하나입니다. 오늘날 도움을 받아 지리적 좌표를 찾고 선박 경로를 정하고 천체의 궤적을 계산하고 프로그램 및 통계 보고서를 작성합니다. 이 수학 섹션이 가장 수요가 많습니다.

천문학에서
지리학,
탐색 중
건축에서
광학 분야
음향;
경제학(금융 시장 분석용)
확률 이론에서
생물학 및 의학 분야
전자 및 프로그래밍.

오늘날에는 약리학, 암호학, 지진학, 음성학 및 결정학과 같은 겉보기에 추상적인 분야도 삼각법 없이는 할 수 없습니다. 삼각 함수는 컴퓨터 단층 촬영 및 초음파에서 건물 및 구조물 건설 시 빛과 음파를 설명하는 데 사용됩니다.

삼각법의 역사

최초의 삼각함수표는 기원전 180-125년 고대 그리스 과학자 니케아의 히파르코스가 쓴 저서에서 사용되었습니다. 그런 다음 그들은 순전히 자연에 적용되었으며 천문학적 계산에만 사용되었습니다. Hipparchus의 표에는 삼각 함수(사인, 코사인 등)가 없었지만 원을 360도로 나누고 코드를 사용하여 호를 측정했습니다. 예를 들어 당시 현대 사인은 '하프 현'으로 알려졌으며 원의 중심에서 수직선이 그려졌습니다.

서기 100년, 고대 그리스 수학자 알렉산드리아의 메넬라오스는 3권으로 된 "Sphere"(Sphaericorum)에서 오늘날 완전히 "삼각법"으로 간주될 수 있는 몇 가지 정리를 제시했습니다. 첫 번째는 두 구면 삼각형의 합동을 설명했고, 두 번째는 각도의 합(항상 180도보다 큼)을 설명했으며, 세 번째는 메넬라오스 정리로 더 잘 알려진 '6등분' 규칙을 설명했습니다.

거의 동시에, 서기 90년부터 160년까지 천문학자 클라우디우스 프톨레마이오스는 13권의 책으로 구성된 가장 중요한 고대 삼각법 논문인 알마게스트를 출판했습니다. 그 핵심은 원에 내접하는 볼록한 사변형의 대각선과 대변의 비율을 설명하는 정리였습니다. 프톨레마이오스의 정리에 따르면 두 번째의 곱은 항상 첫 번째의 곱의 합과 같습니다. 이를 바탕으로 사인과 코사인에 대한 4가지 차이 공식과 반각 공식 α/2가 개발되었습니다.

인도 연구

우리 시대 이전 고대 그리스에서 발생한 삼각 함수를 설명하는 "화음" 형태는 중세까지 유럽과 아시아에서 일반적이었습니다. 그리고 인도에서는 16세기에야 현대 사인과 코사인으로 대체되었습니다. 각각 라틴어 명칭 sin과 cos를 사용했습니다. sin²α + cos²α = 1, sinα = cos(90° − α), sin(α + β) = sinα ⋅ cosβ + cosα ⋅ sinβ 등 기본 삼각법 비율이 개발된 곳은 인도에서였습니다.

중세 인도에서 삼각법의 주요 목적은 주로 천문학 연구를 위한 초정밀 숫자를 찾는 것이었습니다. 이것은 과학적 작업 Surya Siddhanta를 포함하여 Bhaskara와 Aryabhata의 과학 논문에서 판단할 수 있습니다. 인도의 천문학자 Nilakanta Somayaji는 역사상 처음으로 아크탄젠트를 무한한 멱급수로 분해했고, 이어서 사인과 코사인을 급수로 분해했습니다.

유럽에서는 다음 XVII 세기에만 동일한 결과가 나타났습니다. sin과 cos에 대한 급수는 1666년에 Isaac Newton에 의해, 그리고 아크 탄젠트에 대한 급수는 Gottfried Wilhelm Leibniz에 의해 1671년에 도출되었습니다. 18세기에 과학자들은 유럽과 근동/중동 국가에서 삼각법 연구에 참여했습니다. 19세기에 이슬람교의 과학 저작물이 라틴어와 영어로 번역된 후 처음으로 유럽 과학의 재산이 되었고 그 다음에는 세계 과학의 재산이 되었으며 삼각법과 관련된 모든 지식을 결합하고 체계화할 수 있게 되었습니다.

요약하자면, 오늘날 삼각법은 자연과학뿐만 아니라 정보 기술에도 없어서는 안 될 학문이라고 할 수 있습니다. 그것은 오랫동안 수학의 응용 분야가 아니었고 구형 삼각법 및 각도 측정법을 포함한 여러 개의 큰 하위 섹션으로 구성됩니다. 첫 번째는 구의 대원 사이의 각도 특성을 고려하고 두 번째는 각도를 측정하는 방법과 삼각 함수 간의 비율을 다룹니다.

사인, 코사인, 탄젠트 공식

삼각법은 주로 직각 삼각형과 더 복잡한 다면체 모양에서 모서리와 가장자리를 찾는 것입니다. 두 가지 수량(각도와 면 또는 두 면)을 알면 거의 항상 특수 삼각 함수와 공식을 사용하여 세 번째 수량을 찾을 수 있습니다.

삼각 함수

삼각법에는 사인(sin)과 코사인(cos)의 두 가지 직접 함수만 있습니다. 첫 번째는 빗변에 대한 반대쪽 다리의 비율과 같고 두 번째는 인접한 것과 같습니다. 두 경우 모두 직각 삼각형의 예각을 의미하며 항상 90도 미만입니다. 고등 수학에서는 sin과 cos를 복소수와 실수에도 적용할 수 있습니다.

다른 모든 삼각 함수는 사인과 코사인의 도함수입니다. 4개만 있습니다:

접선(tg) - 반대쪽 다리와 인접한 다리의 비율 - tgx = sinx / cosx.
코탄젠트(ctg) - 반대쪽 다리에 대한 인접한 다리의 비율 - ctgx = cosx / sinx.
두 번째(초) — 인접한 다리에 대한 빗변의 비율 — secx = 1 / cosx.
코시컨트(cosec) - 반대쪽 다리에 대한 빗변의 비율 - cosecx = 1 / sinx.

영어권 국가에서 사용되는 대체 표기법은 tangent - tan, cotangent - cot, cosecant - csc입니다. 과학 문헌, 누름 버튼 공학 계산기, 전자 응용 프로그램에 표시되어 있습니다.

삼각 공식

유럽과 아시아 국가의 수학자들은 수세기 동안 삼각함수를 연구하고 개선해 왔으며, 더하기, 빼기, 곱하기 및 기타 수학 연산 외에도 삼각함수에 내재된 많은 패턴을 확인했습니다. 오늘날 학교 커리큘럼의 일부인 삼각법의 전체 기본 과정은 이를 기반으로 합니다. 즉, 기존의 공리와 정리를 사용하여 함수를 축소하고 변환하는 능력입니다.

간단한 ID

중세 인도에서도 직접삼각함수와 미분삼각함수에 적용할 수 있는 가장 단순한 항등식이 밝혀졌다. 완성된(현대적인) 형태는 다음과 같습니다.

sin²α + cos²α = 1.
1 + tg²α = 초²α.
1 + ctg²α = cosec²α.
tgα ⋅ ctgα = 1.

위 수식은 인수(α)의 모든 값에 대해 유효합니다. α가 0보다 크고 π/2보다 작다는 제약 조건을 도입하면 공식 목록이 몇 배로 늘어납니다. 주요 내용은 다음과 같습니다.

죄α = √(1 − cos²α).
cosα = √(1 - sin²α).
tgα = sinα / √(1 - sin²α).
ctg = cosα / √(1 − cos²α).
초 = 1 / cosα.
cosec = 1 / sinα.

6개의 기능 각각에 대해 5개의 유효한 ID가 있습니다(총 30개). 모두 표에 나열되어 있으며 하나의 미지수(α)로 삼각 방정식을 풀고 단순화하는 데 사용할 수 있습니다.

더하기와 빼기

두 각도(α와 β)의 합과 차에도 고유한 패턴이 있습니다. 삼각법 공식을 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

sin(α + β) = sinα ⋅ cosβ + sinβ ⋅ cosα.
cos(α + β) = cosα ⋅ cosβ + sinα ⋅ sinβ.
tg(α + β) = (tgα + tgβ) / (1 − tgα ⋅ tgβ).
ctg(α + β) = (ctgα ⋅ ctgβ − 1) / (ctgα + ctgβ).

이 공식은 빼기에도 적용됩니다. 등호 오른쪽의 기호가 변경되면 왼쪽의 기호도 변경됩니다. 탄젠트의 경우 tg(α − β) = (tgα − tgβ) / (1 + tgα ⋅ tgβ)입니다.

곱하기

두 각도(α 및 β)의 삼각 함수는 기존 공식을 사용하여 함께 곱할 수도 있습니다.

sinα ⋅ sinβ = (cos(α − β) − cos(α + β)) / 2.
sinα ⋅ cosβ = (sin(α − β) + sin(α + β)) / 2.
cosα ⋅ cosβ = (cos(α − β) + cos(α + β)) / 2.
tgα ⋅ tgβ = (cos(α − β) − cos(α + β)) / (cos(α − β) + cos(α + β)).
tgα ⋅ ctgβ = (sin(α − β) + sin(α + β)) / (sin(α + β) − sin(α − β)).
ctgα ⋅ ctgβ = (cos(α − β) + cos(α + β)) / (cos(α − β) − cos(α + β)).

삼각 함수를 거듭제곱하는 공식, 보편적인 대체 공식, 무한 곱으로 확장하는 공식, 도함수와 역도함수를 얻는 공식도 있습니다. 수식의 길이는 적분, 다항식 곱, 쌍곡선 함수를 사용하여 2-3자에서 수십 자까지 다양할 수 있습니다. α와 β라는 단순한 값으로도 계산하기 쉽지 않고, 소수점 이하 자릿수가 많은 복잡한 분수 값이라면 계산에 많은 시간과 노력이 필요할 것이다.

삼각 함수의 계산(및 연산)을 단순화하기 위해 오늘날 특수 온라인 계산기가 사용됩니다. 숫자 값이 입력되면 프로그램이 몇 초 안에 계산합니다. 이러한 애플리케이션을 사용하는 것은 공학 계산기보다 훨씬 편리하며 완전히 무료로 사용할 수 있습니다.