Trigonometriskais kalkulators

Trigonometrija ir matemātikas nozare, kas veltīta trijstūriem, kas ļauj atrast to nezināmos leņķus un skaldnes pēc zināmām vērtībām. Piemēram, leņķis gar kājas un hipotenūzas garumu vai hipotenūzas garums saskaņā ar zināmo leņķi un kāju.

Trigonometrijā ir unikālas funkcijas aprēķiniem: sinuss, kosinuss, tangenss, kotangenss, sekants un kosekants. Tos bieži izmanto saistītās zinātnēs un disciplīnās, piemēram, astronomijā, ģeodēzijā un arhitektūrā.

Trigonometrija mums apkārt

Trigonometrija ir iekļauta vispārējās izglītības programmā un ir viena no matemātikas pamatnodaļām. Mūsdienās ar tās palīdzību tiek atrastas ģeogrāfiskās koordinātas, sastādīti kuģu maršruti, aprēķinātas debess ķermeņu trajektorijas, sastādītas programmas un statistikas atskaites. Šī matemātiskā sadaļa ir vispieprasītākā:

astronomijā;
ģeogrāfijā;
navigācijā;
arhitektūrā;
optikā;
akustikā;
ekonomikā (finanšu tirgu analīzei);
varbūtību teorijā;
bioloģijā un medicīnā;
elektronikā un programmēšanā.

Mūsdienās pat tādas šķietami abstraktas nozares kā farmakoloģija, kriptoloģija, seismoloģija, fonētika un kristalogrāfija nevar iztikt bez trigonometrijas. Trigonometriskās funkcijas izmanto datortomogrāfijā un ultraskaņā, lai aprakstītu gaismas un skaņas viļņus, ēku un būvju celtniecībā.

Trigonometrijas vēsture

Pirmās trigonometriskās tabulas savos rakstos izmantoja sengrieķu zinātnieks Hiparhs no Nikejas 180.–125. gadā pirms mūsu ēras. Tad tos tīri izmantoja dabā un izmantoja tikai astronomiskiem aprēķiniem. Hiparha tabulās nebija trigonometrisku funkciju (sinuss, kosinuss un tā tālāk), bet bija riņķa sadalījums 360 grādos un tā loku mērīšana, izmantojot akordus. Piemēram, mūsdienu sinusu toreiz sauca par "pusakordu", kuram no apļa centra tika novilkts perpendikuls.

M.ē. 100. gadā sengrieķu matemātiķis Menelauss no Aleksandrijas savā trīs sējumos "Sfēra" (Sphaericorum) izklāstīja vairākas teorēmas, kuras mūsdienās var pilnībā uzskatīt par "trigonometriskām". Pirmajā aprakstīta divu sfērisku trīsstūru sakritība, otrajā — to leņķu summa (kas vienmēr ir lielāka par 180 grādiem), bet trešajā — noteikums "seši lielumi", kas labāk pazīstams kā Menelaus teorēma.

Aptuveni tajā pašā laikā no 90. līdz 160. gadam astronoms Klaudijs Ptolemajs publicēja nozīmīgāko senatnes trigonometrisko traktātu Almagest, kas sastāv no 13 grāmatām. Tās atslēga bija teorēma, kas apraksta aplī ierakstīta izliekta četrstūra diagonāļu un pretējo malu attiecību. Saskaņā ar Ptolemaja teorēmu otrās reizinājums vienmēr ir vienāds ar pirmās reizinājumu summu. Pamatojoties uz to, vēlāk tika izstrādātas 4 atšķirības formulas sinusam un kosinusam, kā arī pusleņķa formula α / 2.

Indijas studijas

Trigonometrisko funkciju aprakstīšanas "hordālā" forma, kas radās Senajā Grieķijā pirms mūsu ēras, Eiropā un Āzijā bija izplatīta līdz viduslaikiem. Un tikai 16. gadsimtā Indijā tos nomainīja mūsdienu sinuss un kosinuss: attiecīgi ar latīņu apzīmējumiem sin un cos. Tieši Indijā tika izstrādātas pamata trigonometriskās attiecības: sin²α + cos²α = 1, sinα = cos(90° − α), sin(α + β) = sinα ⋅ cosβ + cosα ⋅ sinβ un citi.

Viduslaiku Indijas trigonometrijas galvenais mērķis bija atrast īpaši precīzus skaitļus, galvenokārt astronomiskajiem pētījumiem. To var spriest no Bhaskaras un Arjabhatas zinātniskajiem traktātiem, tostarp zinātniskā darba Surya Siddhanta. Indijas astronoms Nilakanta Somayaji pirmo reizi vēsturē sadalīja arktangensu bezgalīgā pakāpju virknē, un pēc tam sinuss un kosinuss tika sadalīti virknēs.

Eiropā tādi paši rezultāti tika sasniegti tikai nākamajā, XVII gadsimtā. Sēriju grēkam un cos atvasināja Īzaks Ņūtons 1666. gadā, bet loka tangensu 1671. gadā — Gotfrīds Vilhelms Leibnics. 18. gadsimtā zinātnieki nodarbojās ar trigonometriskajiem pētījumiem gan Eiropā, gan Tuvo / Tuvo Austrumu valstīs. Pēc tam, kad 19. gadsimtā musulmaņu zinātniskie darbi tika tulkoti latīņu un angļu valodā, tie kļuva par vispirms Eiropas un pēc tam pasaules zinātnes īpašumu, ļāva apvienot un sistematizēt visas ar trigonometriju saistītās zināšanas.

Rezumējot, varam teikt, ka mūsdienās trigonometrija ir neaizstājama disciplīna ne tikai dabaszinātnēs, bet arī informācijas tehnoloģijās. Tā jau sen vairs nav lietišķa matemātikas nozare un sastāv no vairākām lielām apakšnodaļām, tostarp sfēriskās trigonometrijas un goniometrijas. Pirmajā aplūkotas leņķu īpašības starp lielajiem apļiem uz sfēras, bet otrais attiecas uz leņķu mērīšanas metodēm un trigonometrisko funkciju savstarpējo attiecību.

Trigonometrija galvenokārt ir vērsta uz stūru un malu atrašanu taisnleņķa trijstūriem, kā arī sarežģītākām daudzskaldņu formām. Zinot divus lielumus (leņķi un seju vai divas skaldnes), gandrīz vienmēr varat atrast trešo, izmantojot īpašas trigonometriskās funkcijas un formulas.

Trigonometriskās funkcijas

Trigonometrijā ir tikai divas tiešās funkcijas: sinuss (sin) un kosinuss (cos). Pirmais ir vienāds ar pretējās kājas attiecību pret hipotenūzu, bet otrais ir vienāds ar blakus esošo. Abos gadījumos mēs domājam taisnleņķa trijstūra akūto leņķi, kas vienmēr ir mazāks par 90 grādiem. Augstākajā matemātikā sin un cos var attiecināt arī uz kompleksiem un reāliem skaitļiem.

Visas pārējās trigonometriskās funkcijas ir sinusa un kosinusa atvasinājumi. Ir tikai četri no tiem:

Tangenss (tg) — pretējās kājas attiecība pret blakus esošo — tgx = sinx/cosx.
Kotangenss (ctg) — blakus esošās kājas attiecība pret pretējo — ctgx = cosx / sinx.
Otrā (sec) — hipotenūzas un blakus esošās kājas attiecība — secx = 1/cosx.
Kosekants (cosec) — hipotenūzas un pretējās kājas attiecība — cosecx = 1/sinx.

Angļu valodā runājošajās valstīs tiek izmantots alternatīvs apzīmējums: tangent — iedegums, kotangents — bērnu gultiņa, kosekants — csc. Tie ir norādīti zinātniskajā literatūrā, uz spiedpogu inženierijas kalkulatoriem, elektroniskajās lietojumprogrammās.

Trigonometriskās formulas

Eiropas un Āzijas valstu matemātiķi daudzus gadsimtus ir pētījuši un pilnveidojuši trigonometriskās funkcijas un ir identificējuši vairākas tām raksturīgās shēmas papildus saskaitīšanas, atņemšanas, reizināšanas un citām matemātiskām darbībām. Mūsdienās viss trigonometrijas pamatkurss, kas ir daļa no skolas mācību programmas, ir balstīts uz to, proti, spēju reducēt un pārveidot funkcijas, izmantojot esošās aksiomas un teorēmas.

Vienkāršas identitātes

Pat viduslaiku Indijā tika atklātas vienkāršākās identitātes, kas piemērojamas tiešajām un atvasinātajām trigonometriskajām funkcijām. Gatavā (mūsdienu) formā tie izskatās šādi:

sin²α + cos²α = 1.
1 + tg²α = sek²α.
1 + ctg²α = cosec²α.
tgα ⋅ ctgα = 1.

Iepriekš minētās formulas ir derīgas jebkurai argumenta (α) vērtībām. Ja mēs ieviešam ierobežojumu, ka α ir lielāks par 0 un mazāks par π/2, formulu saraksts palielinās vairākas reizes. Galvenie ir šādi:

sinα = √(1 − cos²α).
cosα = √(1 − sin²α).
tgα = sinα / √(1 − sin²α).
ctg = cosα / √(1 − cos²α).
sek = 1 / cosα.
cosec = 1 / sinα.

Katrai no 6 funkcijām (kopā 30) ir 5 derīgas identitātes. Tie visi ir uzskaitīti tabulā, un tos var izmantot, lai atrisinātu un vienkāršotu trigonometriskos vienādojumus ar vienu nezināmu (α).

Saskaitīšana un atņemšana

Arī divu leņķu (α un β) summām un atšķirībām ir savi modeļi. Izmantojot trigonometriskās formulas, tās var attēlot šādi:

sin(α + β) = sinα ⋅ cosβ + sinβ ⋅ cosα.
cos(α + β) = cosα ⋅ cosβ + sinα ⋅ sinβ.
tg(α + β) = (tgα + tgβ) / (1 − tgα ⋅ tgβ).
ctg(α + β) = (ctgα ⋅ ctgβ − 1) / (ctgα + ctgβ).

Šīs formulas attiecas arī uz atņemšanu. Ja mainās zīmes vienādības zīmes labajā pusē, tad tās mainās arī kreisajā pusē. Pieskares gadījumā tas izskatīsies šādi: tg(α − β) = (tgα − tgβ) / (1 + tgα ⋅ tgβ).

Reizināšana

Divu leņķu (α un β) trigonometriskās funkcijas var arī reizināt kopā, izmantojot esošās formulas:

sinα ⋅ sinβ = (cos(α − β) − cos(α + β)) / 2.
sinα ⋅ cosβ = (sin(α − β) + sin(α + β)) / 2.
cosα ⋅ cosβ = (cos(α − β) + cos(α + β)) / 2.
tgα ⋅ tgβ = (cos(α − β) − cos(α + β)) / (cos(α − β) + cos(α + β)).
tgα ⋅ ctgβ = (sin(α − β) + sin(α + β)) / (sin(α + β) − sin(α − β)).
ctgα ⋅ ctgβ = (cos(α − β) + cos(α + β)) / (cos(α − β) − cos(α + β)).

Ir arī formulas trigonometrisko funkciju paaugstināšanai līdz pakāpēm, universālai aizstāšanai, izvēršanai bezgalīgos produktos, atvasinājumu un antiatvasinājumu iegūšanai. Formulu garums var svārstīties no 2-3 līdz desmitiem rakstzīmju, izmantojot integrāļus, polinomu reizinājumus, hiperboliskās funkcijas. Tos nav viegli aprēķināt pat ar vienkāršām α un β vērtībām, un, ja tās ir sarežģītas daļskaitļu vērtības ar daudzām decimāldaļām, aprēķini prasīs daudz laika un pūļu.

Lai vienkāršotu trigonometrisko funkciju aprēķinus (un darbības ar tām), mūsdienās tiek izmantoti īpaši tiešsaistes kalkulatori. Tajos tiek ievadītas skaitliskās vērtības, pēc kurām programma aprēķina sekundes daļā. Šādu lietojumprogrammu izmantošana ir vēl ērtāka nekā inženiertehniskie kalkulatori, turklāt tie ir pieejami pilnīgi bez maksas.

{$ subpageListHide ? ('Show' | translate) : ('Hide' | translate) $}