Trigonometriecalculator

Trigonometrie is een tak van de wiskunde gewijd aan driehoeken, waarmee u hun onbekende hoeken en vlakken kunt vinden op basis van bekende waarden. Bijvoorbeeld de hoek langs de lengte van het been en hypotenusa, of de lengte van de hypotenusa volgens de bekende hoek en been.

Er zijn unieke functies voor berekeningen in trigonometrie: sinus, cosinus, tangens, cotangens, secans en cosecans. Ze worden vaak gebruikt in aanverwante wetenschappen en disciplines, bijvoorbeeld in de astronomie, geodesie en architectuur.

Driehoeksmeting om ons heen

Trigonometrie maakt deel uit van het algemene onderwijscurriculum en is een van de fundamentele onderdelen van de wiskunde. Tegenwoordig vinden ze met zijn hulp geografische coördinaten, leggen ze de routes van schepen, berekenen ze de trajecten van hemellichamen, stellen ze programma's en statistische rapporten samen. Dit wiskundige gedeelte is het meest gevraagd:

in de astronomie;
in geografie;
in navigatie;
in architectuur;
in optica;
in akoestiek;
in economie (voor de analyse van financiële markten);
in kansrekening;
in biologie en geneeskunde;
in elektronica en programmeren.

Tegenwoordig kunnen zelfs ogenschijnlijk abstracte takken als farmacologie, cryptologie, seismologie, fonetiek en kristallografie niet zonder trigonometrie. Trigonometrische functies worden gebruikt in computertomografie en echografie, om licht- en geluidsgolven te beschrijven, bij de constructie van gebouwen en constructies.

Geschiedenis van trigonometrie

De eerste trigonometrische tabellen werden in zijn geschriften gebruikt door de oude Griekse wetenschapper Hipparchus van Nicea in 180-125 v.Chr. Toen werden ze puur toegepast in de natuur en werden ze alleen gebruikt voor astronomische berekeningen. Er waren geen trigonometrische functies (sinus, cosinus, enzovoort) in de tabellen van Hipparchus, maar er was een verdeling van de cirkel in 360 graden en de meting van de bogen met behulp van akkoorden. De moderne sinus stond toen bijvoorbeeld bekend als "halve akkoord", waarnaar een loodlijn werd getrokken vanuit het middelpunt van de cirkel.

In het jaar 100 na Christus presenteerde de oude Griekse wiskundige Menelaus van Alexandrië in zijn driedelige "Sphere" (Sphaericorum) verschillende stellingen die tegenwoordig volledig als "trigonometrisch" kunnen worden beschouwd. De eerste beschreef de congruentie van twee bolvormige driehoeken, de tweede de som van hun hoeken (die altijd groter is dan 180 graden), en de derde de "zes grootheden"-regel, beter bekend als de stelling van Menelaus.

Ongeveer tegelijkertijd, van 90 tot 160 na Christus, publiceerde de astronoom Claudius Ptolemaeus de belangrijkste trigonometrische verhandeling uit de oudheid, Almagest, bestaande uit 13 boeken. De sleutel daartoe was een stelling die de verhouding beschrijft van diagonalen en tegenoverliggende zijden van een convexe vierhoek ingeschreven in een cirkel. Volgens de stelling van Ptolemaeus is het product van de tweede altijd gelijk aan de som van de producten van de eerste. Op basis daarvan zijn vervolgens 4 verschilformules voor sinus en cosinus ontwikkeld, evenals de halve-hoekformule α / 2.

Indiase Studies

De "chordale" vorm van het beschrijven van trigonometrische functies, die vóór onze jaartelling in het oude Griekenland ontstond, was tot de middeleeuwen gebruikelijk in Europa en Azië. En pas in de 16e eeuw werden ze in India vervangen door de moderne sinus en cosinus: met respectievelijk de Latijnse aanduidingen sin en cos. In India werden de fundamentele trigonometrische verhoudingen ontwikkeld: sin²α + cos²α = 1, sinα = cos(90° − α), sin(α + β) = sinα ⋅ cosβ + cosα ⋅ sinβ en andere.

Het belangrijkste doel van trigonometrie in het middeleeuwse India was het vinden van ultraprecieze getallen, voornamelijk voor astronomisch onderzoek. Dit kan worden beoordeeld aan de hand van de wetenschappelijke verhandelingen van Bhaskara en Aryabhata, waaronder het wetenschappelijke werk Surya Siddhanta. De Indiase astronoom Nilakanta Somayaji ontleedde voor het eerst in de geschiedenis de arctangens in een oneindige machtreeks, en vervolgens werden de sinus en cosinus ontleed in reeksen.

In Europa kwamen dezelfde resultaten pas in de volgende, XVII eeuw. De reeksen voor sin en cos zijn afgeleid door Isaac Newton in 1666, en voor de boogtangens in 1671 door Gottfried Wilhelm Leibniz. In de 18e eeuw waren wetenschappers bezig met trigonometrische studies, zowel in Europa als in de landen van het Nabije / Midden-Oosten. Nadat islamitische wetenschappelijke werken in de 19e eeuw in het Latijn en Engels waren vertaald, werden ze eigendom van eerst de Europese en vervolgens de wereldwetenschap, waardoor het mogelijk werd om alle kennis met betrekking tot trigonometrie te combineren en te systematiseren.

Samenvattend kunnen we zeggen dat trigonometrie tegenwoordig een onmisbare discipline is, niet alleen voor de natuurwetenschappen, maar ook voor de informatietechnologie. Het is al lang geen toegepaste tak van de wiskunde meer en bestaat uit verschillende grote onderafdelingen, waaronder sferische trigonometrie en goniometrie. De eerste behandelt de eigenschappen van hoeken tussen grote cirkels op een bol, en de tweede behandelt methoden voor het meten van hoeken en de verhouding van trigonometrische functies tot elkaar.

Trigonometrie gaat in de eerste plaats over het vinden van hoeken en randen in rechthoekige driehoeken, maar ook in meer complexe, veelvlakkige vormen. Als u twee grootheden kent (een hoek en een vlak of twee vlakken), kunt u bijna altijd de derde vinden met behulp van speciale trigonometrische functies en formules.

Trigonometrische functies

Er zijn slechts twee directe functies in trigonometrie: sinus (sin) en cosinus (cos). De eerste is gelijk aan de verhouding van het tegenovergestelde been tot de hypotenusa, en de tweede is gelijk aan de aangrenzende. In beide gevallen bedoelen we de scherpe hoek van een rechthoekige driehoek, die altijd kleiner is dan 90 graden. In de hogere wiskunde kunnen sin en cos ook worden toegepast op complexe en reële getallen.

Alle andere goniometrische functies zijn afgeleiden van sinus en cosinus. Er zijn er maar vier:

Tangens (tg) - de verhouding van het tegenovergestelde been tot het aangrenzende been - tgx = sinx / cosx.
Cotangens (ctg) - de verhouding van het aangrenzende been tot het tegenovergestelde - ctgx = cosx / sinx.
Seconde (sec) — de verhouding van de hypotenusa tot het aangrenzende been — secx = 1 / cosx.
Cosecant (cosec) - de verhouding van de hypotenusa tot het andere been - cosecx = 1 / sinx.

Een alternatieve notatie die in Engelssprekende landen wordt gebruikt, is als volgt: tangens - tan, cotangens - cot, cosecans - csc. Ze worden aangegeven in de wetenschappelijke literatuur, op rekenmachines met drukknoppen, in elektronische toepassingen.

Trigonometrische formules

Wiskundigen uit Europese en Aziatische landen onderzoeken en verbeteren al vele eeuwen trigonometrische functies en hebben een aantal patronen geïdentificeerd die inherent zijn aan deze functies, naast optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en andere wiskundige bewerkingen. Tegenwoordig is de hele basiscursus trigonometrie, die deel uitmaakt van het schoolcurriculum, hierop gebaseerd, namelijk het vermogen om functies te reduceren en te transformeren met behulp van bestaande axioma's en stellingen.

Eenvoudige identiteiten

Zelfs in het middeleeuwse India werden de eenvoudigste identiteiten onthuld die van toepassing zijn op directe en afgeleide trigonometrische functies. In hun afgewerkte (moderne) vorm zien ze er zo uit:

sin²α + cos²α = 1.
1 + tg²α = sec²α.
1 + ctg²α = cosec²α.
tgα ⋅ ctgα = 1.

De bovenstaande formules zijn geldig voor alle waarden van het argument (α). Als we de beperking invoeren dat α groter is dan 0 en kleiner dan π/2, wordt de lijst met formules verschillende keren groter. De belangrijkste zijn de volgende:

sinα = √(1 − cos²α).
cosα = √(1 − sin²α).
tgα = sinα / √(1 − sin²α).
ctg = cosα / √(1 − cos²α).
sec = 1 / cosα.
cosec = 1 / sinα.

Er zijn 5 geldige identiteiten voor elk van de 6 functies (30 in totaal). Ze staan allemaal in de tabel en kunnen worden gebruikt om trigonometrische vergelijkingen met één onbekende (α) op te lossen en te vereenvoudigen.

Optellen en aftrekken

De sommen en verschillen van twee hoeken (α en β) hebben ook hun eigen patronen. Met trigonometrische formules kunnen ze als volgt worden weergegeven:

sin(α + β) = sinα ⋅ cosβ + sinβ ⋅ cosα.
cos(α + β) = cosα ⋅ cosβ + sinα ⋅ sinβ.
tg(α + β) = (tgα + tgβ) / (1 − tgα ⋅ tgβ).
ctg(α + β) = (ctgα ⋅ ctgβ − 1) / (ctgα + ctgβ).

Deze formules zijn ook van toepassing op aftrekken. Als de tekens aan de rechterkant van het gelijkteken veranderen, veranderen ze ook aan de linkerkant. In het geval van de raaklijn ziet het er als volgt uit: tg(α − β) = (tgα − tgβ) / (1 + tgα ⋅ tgβ).

Vermenigvuldiging

De trigonometrische functies van twee hoeken (α en β) kunnen ook met de bestaande formules worden vermenigvuldigd:

sinα ⋅ sinβ = (cos(α − β) − cos(α + β)) / 2.
sinα ⋅ cosβ = (sin(α − β) + sin(α + β)) / 2.
cosα ⋅ cosβ = (cos(α − β) + cos(α + β)) / 2.
tgα ⋅ tgβ = (cos(α − β) − cos(α + β)) / (cos(α − β) + cos(α + β)).
tgα ⋅ ctgβ = (sin(α − β) + sin(α + β)) / (sin(α + β) − sin(α − β)).
ctgα ⋅ ctgβ = (cos(α − β) + cos(α + β)) / (cos(α − β) − cos(α + β)).

Er zijn ook formules om trigonometrische functies tot een macht te verheffen, voor universele substitutie, voor uitbreiding naar oneindige producten, voor het verkrijgen van afgeleiden en primitieven. De lengte van formules kan variëren van 2-3 tot tientallen karakters, met behulp van integralen, producten van polynomen, hyperbolische functies. Ze zijn niet eenvoudig te berekenen, zelfs niet met eenvoudige waarden van α en β, en als het complexe breukwaarden zijn met veel decimalen, zullen de berekeningen veel tijd en moeite vergen.

Om de berekeningen van trigonometrische functies (en bewerkingen daarmee) te vereenvoudigen, worden tegenwoordig speciale online rekenmachines gebruikt. Daarin worden numerieke waarden ingevoerd, waarna het programma in een fractie van een seconde rekent. Het gebruik van dergelijke applicaties is nog handiger dan technische rekenmachines, en ze zijn volledig gratis beschikbaar.

{$ subpageListHide ? ('Show' | translate) : ('Hide' | translate) $}