Trigonometrikalkulator

Andre verktøy

Arealkalkulator{$ ',' | translate $}
Omkretskalkulator{$ ',' | translate $}
Volumkalkulator{$ ',' | translate $}
Multiplikasjonstabell{$ ',' | translate $}
Periodesystemet{$ ',' | translate $}
Matrisekalkulator{$ ',' | translate $}
MFM kalkulator{$ ',' | translate $}
SFD kalkulator

Loven om sinus, cosinus og tangens

Trigonometri er en gren av matematikken viet til trekanter, som lar deg finne deres ukjente vinkler og ansikter fra kjente verdier. For eksempel vinkelen langs lengden av benet og hypotenusen, eller lengden på hypotenusen i henhold til den kjente vinkelen og benet.

Det er unike funksjoner for beregninger i trigonometri: sinus, cosinus, tangens, cotangens, sekant og cosekant. De brukes ofte i relaterte vitenskaper og disipliner, for eksempel innen astronomi, geodesi og arkitektur.

Trigonometri rundt oss

Trigonometri er inkludert i den generelle læreplanen og er en av de grunnleggende delene av matematikk. I dag finner de med dens hjelp geografiske koordinater, legger rutene til skip, beregner banene til himmellegemer, sammenstiller programmer og statistiske rapporter. Denne matematiske delen er mest etterspurt:

i astronomi;
i geografi;
i navigasjon;
i arkitektur;
i optikk;
i akustikk;
i økonomi (for analyse av finansmarkeder);
i sannsynlighetsteori;
i biologi og medisin;
i elektronikk og programmering.

I dag kan selv slike tilsynelatende abstrakte grener som farmakologi, kryptologi, seismologi, fonetikk og krystallografi ikke klare seg uten trigonometri. Trigonometriske funksjoner brukes i datatomografi og ultralyd, for å beskrive lys- og lydbølger, i konstruksjonen av bygninger og konstruksjoner.

Historie for trigonometri

De første trigonometriske tabellene ble brukt i hans skrifter av den antikke greske vitenskapsmannen Hipparchus fra Nicaea i 180-125 f.Kr. Da ble de rent brukt i naturen og ble kun brukt til astronomiske beregninger. Det var ingen trigonometriske funksjoner (sinus, cosinus og så videre) i tabellene til Hipparchus, men det var en inndeling av sirkelen i 360 grader og måling av dens buer ved hjelp av akkorder. For eksempel ble den moderne sinus da kjent som "en halv akkord", som en vinkelrett ble trukket til fra midten av sirkelen.

I år 100 e.Kr. presenterte den antikke greske matematikeren Menelaos av Alexandria, i sitt tre-binds "Sfære" (Sphaericorum), flere teoremer som i dag fullt ut kan betraktes som "trigonometriske". Den første beskrev kongruensen til to sfæriske trekanter, den andre summen av vinklene deres (som alltid er større enn 180 grader), og den tredje regelen "seks størrelser", bedre kjent som Menelaos-teoremet.

Omtrent samtidig, fra 90 til 160 e.Kr., publiserte astronomen Claudius Ptolemaios antikkens mest betydningsfulle trigonometriske avhandling, Almagest, bestående av 13 bøker. Nøkkelen til det var et teorem som beskrev forholdet mellom diagonaler og motsatte sider av en konveks firkant innskrevet i en sirkel. I følge Ptolemaios teorem er produktet av den andre alltid lik summen av produktene til den første. Basert på den ble det deretter utviklet 4 forskjellsformler for sinus og cosinus, samt halvvinkelformelen α / 2.

Indiskstudier

Den "akkordale" formen for å beskrive trigonometriske funksjoner, som oppsto i antikkens Hellas før vår tidsregning, var vanlig i Europa og Asia frem til middelalderen. Og først på 1500-tallet i India ble de erstattet av moderne sinus og cosinus: med henholdsvis de latinske betegnelsene sin og cos. Det var i India de grunnleggende trigonometriske forholdstallene ble utviklet: sin²α + cos²α = 1, sinα = cos(90° − α), sin(α + β) = sinα ⋅ cosβ + cosα ⋅ sinβ og andre.

Hovedformålet med trigonometri i middelalderens India var å finne ultranøyaktige tall, først og fremst for astronomisk forskning. Dette kan bedømmes fra de vitenskapelige avhandlingene til Bhaskara og Aryabhata, inkludert det vitenskapelige verket Surya Siddhanta. Den indiske astronomen Nilakanta Somayaji dekomponerte for første gang i historien arctangensen til en uendelig potensserie, og deretter ble sinus og cosinus dekomponert i serier.

I Europa kom de samme resultatene først i det neste XVII århundre. Seriene for synd og cos ble utledet av Isaac Newton i 1666, og for buetangens i 1671 av Gottfried Wilhelm Leibniz. På 1700-tallet var forskere engasjert i trigonometriske studier både i Europa og i landene i det nære / Midtøsten. Etter at muslimske vitenskapelige arbeider ble oversatt til latin og engelsk på 1800-tallet, ble de eiendommen til først europeisk og deretter verdensvitenskap, og gjorde det mulig å kombinere og systematisere all kunnskap knyttet til trigonometri.

Opsummert kan vi si at i dag er trigonometri en uunnværlig disiplin ikke bare for naturvitenskap, men også for informasjonsteknologi. Det har lenge sluttet å være en anvendt gren av matematikk, og består av flere store underseksjoner, inkludert sfærisk trigonometri og goniometri. Den første tar for seg egenskapene til vinkler mellom store sirkler på en kule, og den andre tar for seg metoder for å måle vinkler og forholdet mellom trigonometriske funksjoner og hverandre.

Formler for sinus, cosinus og tangent

Trigonometri handler først og fremst om å finne hjørner og kanter i rette trekanter, så vel som i mer komplekse, polyedriske former. Når du kjenner to størrelser (en vinkel og en flate eller to flater), kan du nesten alltid finne den tredje ved å bruke spesielle trigonometriske funksjoner og formler.

Trigonometriske funksjoner

Det er bare to direkte funksjoner i trigonometri: sinus (sin) og cosinus (cos). Den første er lik forholdet mellom det motsatte benet og hypotenusen, og den andre er lik den tilstøtende. I begge tilfeller mener vi den spisse vinkelen til en rettvinklet trekant, som alltid er mindre enn 90 grader. I høyere matematikk kan sin og cos også brukes på komplekse og reelle tall.

Alle andre trigonometriske funksjoner er derivater av sinus og cosinus. Det er bare fire av dem:

Tangent (tg) - forholdet mellom det motsatte benet og det tilstøtende - tgx = sinx / cosx.
Cotangent (ctg) - forholdet mellom det tilstøtende benet og det motsatte - ctgx = cosx / sinx.
Sekund (sek) — forholdet mellom hypotenusen og det tilstøtende benet — sekx = 1 / cosx.
Cosecant (cosec) - forholdet mellom hypotenusen og motsatt ben - cosecx = 1 / sinx.

En alternativ notasjon som brukes i engelsktalende land er som følger: tangent - tan, cotangent - cot, cosecant - csc. De er angitt i den vitenskapelige litteraturen, på trykkknapptekniske kalkulatorer, i elektroniske applikasjoner.

Trigonometriske formler

Matematikere fra europeiske og asiatiske land har forsket på og forbedret trigonometriske funksjoner i mange århundrer, og har identifisert en rekke mønstre som er iboende i dem i tillegg, subtraksjon, multiplikasjon og andre matematiske operasjoner. I dag er hele grunnkurset i trigonometri, som er en del av skolens læreplan, basert på dette, nemlig evnen til å redusere og transformere funksjoner ved hjelp av eksisterende aksiomer og teoremer.

Enkle identiteter

Selv i middelalderens India ble de enkleste identitetene for direkte og avledede trigonometriske funksjoner avslørt. I sin ferdige (moderne) form ser de slik ut:

sin²α + cos²α = 1.
1 + tg²α = sek²α.
1 + ctg²α = cosec²α.
tgα ⋅ ctgα = 1.

Formlene ovenfor er gyldige for alle verdier av argumentet (α). Hvis vi introduserer begrensningen om at α er større enn 0 og mindre enn π/2, øker listen over formler flere ganger. De viktigste inkluderer følgende:

sinα = √(1 − cos²α).
cosα = √(1 − sin²α).
tgα = sinα / √(1 − sin²α).
ctg = cosα / √(1 − cos²α).
sek = 1 / cosα.
cosec = 1 / sinα.

Det er 5 gyldige identiteter for hver av de 6 funksjonene (30 totalt). Alle er oppført i tabellen og kan brukes til å løse og forenkle trigonometriske ligninger med én ukjent (α).

Addisjon og subtraksjon

Summer og forskjeller av to vinkler (α og β) har også sine egne mønstre. Ved å bruke trigonometriske formler kan de representeres som følger:

sin(α + β) = sinα ⋅ cosβ + sinβ ⋅ cosα.
cos(α + β) = cosα ⋅ cosβ + sinα ⋅ sinβ.
tg(α + β) = (tgα + tgβ) / (1 − tgα ⋅ tgβ).
ctg(α + β) = (ctgα ⋅ ctgβ − 1) / (ctgα + ctgβ).

Disse formlene gjelder også for subtraksjon. Hvis tegnene på høyre side av likhetstegnet endres, så endres de også på venstre side. Når det gjelder tangenten, vil det se slik ut: tg(α − β) = (tgα − tgβ) / (1 + tgα ⋅ tgβ).

Multiplikasjon

De trigonometriske funksjonene til to vinkler (α og β) kan også multipliseres med de eksisterende formlene:

sinα ⋅ sinβ = (cos(α − β) − cos(α + β)) / 2.
sinα ⋅ cosβ = (sin(α − β) + sin(α + β)) / 2.
cosα ⋅ cosβ = (cos(α − β) + cos(α + β)) / 2.
tgα ⋅ tgβ = (cos(α − β) − cos(α + β)) / (cos(α − β) + cos(α + β)).
tgα ⋅ ctgβ = (sin(α − β) + sin(α + β)) / (sin(α + β) − sin(α − β)).
ctgα ⋅ ctgβ = (cos(α − β) + cos(α + β)) / (cos(α − β) − cos(α + β)).

Det finnes også formler for å heve trigonometriske funksjoner til en potens, for universell substitusjon, for å utvide til uendelige produkter, for å oppnå derivater og antiderivater. Lengden på formler kan variere fra 2-3 til titalls tegn, ved bruk av integraler, produkter av polynomer, hyperbolske funksjoner. De er ikke enkle å beregne selv med enkle verdier av α og β, og hvis de er komplekse brøkverdier med mange desimaler, vil beregningene kreve mye tid og krefter.

For å forenkle beregningene av trigonometriske funksjoner (og operasjoner med dem), brukes i dag spesielle online kalkulatorer. Tallverdier legges inn i dem, hvoretter programmet beregner på en brøkdel av et sekund. Å bruke slike applikasjoner er enda mer praktisk enn tekniske kalkulatorer, og de er tilgjengelige helt gratis.