Prawa sinusów, cosinusów, tangensów
Trygonometria to dział matematyki poświęcony trójkątom, który pozwala na znalezienie nieznanych kątów i ścian ze znanych wartości. Na przykład kąt wzdłuż długości nogi i przeciwprostokątnej lub długość przeciwprostokątnej zgodnie ze znanym kątem i nogą.
Istnieją unikalne funkcje do obliczeń w trygonometrii: sinus, cosinus, tangens, cotangens, sieczny i cosecans. Są często używane w naukach i dyscyplinach pokrewnych, na przykład w astronomii, geodezji i architekturze.
Trygonometria wokół nas
Trygonometria jest częścią programu nauczania ogólnego i jest jednym z podstawowych działów matematyki. Dziś z jego pomocą znajdują współrzędne geograficzne, wyznaczają trasy statków, obliczają trajektorie ciał niebieskich, opracowują programy i raporty statystyczne. Ta sekcja matematyczna jest najbardziej poszukiwana:
- w astronomii;
- w geografii;
- w nawigacji;
- w architekturze;
- w optyce;
- w akustyce;
- w ekonomii (do analizy rynków finansowych);
- w teorii prawdopodobieństwa;
- w biologii i medycynie;
- w elektronice i programowaniu.
Dzisiaj nawet tak pozornie abstrakcyjne dziedziny jak farmakologia, kryptologia, sejsmologia, fonetyka czy krystalografia nie mogą obejść się bez trygonometrii. Funkcje trygonometryczne są wykorzystywane w tomografii komputerowej i ultradźwiękach, do opisu fal świetlnych i dźwiękowych, przy budowie budynków i budowli.
Historia trygonometrii
Pierwszych tablic trygonometrycznych użył w swoich pismach starożytny grecki naukowiec Hipparch z Nicei w latach 180-125 pne. Następnie były one stosowane wyłącznie w przyrodzie i były używane tylko do obliczeń astronomicznych. W tablicach Hipparcha nie było funkcji trygonometrycznych (sinus, cosinus itd.), ale był podział koła na 360 stopni i mierzenie jego łuków za pomocą cięciw. Na przykład współczesny sinus był wtedy znany jako „pół cięciwy”, do której prostopadła została poprowadzona ze środka koła.
W roku 100 ne starożytny grecki matematyk Menelaos z Aleksandrii w swojej trzytomowej „Sferze” (Sphaericorum) przedstawił kilka twierdzeń, które dziś można w pełni uznać za „trygonometryczne”. Pierwszy opisywał przystawanie dwóch trójkątów sferycznych, drugi sumę ich kątów (która jest zawsze większa niż 180 stopni), a trzeci regułę „sześciu wielkości”, lepiej znaną jako twierdzenie Menelaosa.
Mniej więcej w tym samym czasie, od 90 do 160 rne, astronom Klaudiusz Ptolemeusz opublikował najważniejszy trygonometryczny traktat starożytności, Almagest, składający się z 13 ksiąg. Kluczem do tego było twierdzenie opisujące stosunek przekątnych i przeciwległych boków wypukłego czworoboku wpisanego w okrąg. Zgodnie z twierdzeniem Ptolemeusza iloczyn drugiego jest zawsze równy sumie iloczynów pierwszego. Na tej podstawie opracowano następnie 4 wzory różnicowe dla sinusa i cosinusa, a także wzór na półkąta α / 2.
Indianistyka
„Akordowa” forma opisu funkcji trygonometrycznych, która powstała w starożytnej Grecji przed naszą erą, była powszechna w Europie i Azji aż do średniowiecza. I dopiero w XVI wieku w Indiach zostały one zastąpione nowoczesnym sinusem i cosinusem: z łacińskimi oznaczeniami odpowiednio sin i cos. To właśnie w Indiach opracowano podstawowe stosunki trygonometryczne: sin²α + cos²α = 1, sinα = cos(90° − α), sin(α + β) = sinα ⋅ cosβ + cosα ⋅ sinβ i inne.
Głównym celem trygonometrii w średniowiecznych Indiach było znajdowanie ultraprecyzyjnych liczb, głównie do badań astronomicznych. Można to ocenić na podstawie traktatów naukowych Bhaskary i Aryabhaty, w tym pracy naukowej Surya Siddhanta. Indyjski astronom Nilakanta Somayaji po raz pierwszy w historii rozłożył arcus tangens na nieskończony szereg potęgowy, a następnie sinus i cosinus zostały rozłożone na szeregi.
W Europie takie same wyniki przyszły dopiero w następnym, XVII wieku. Szeregi dla sin i cos zostały wyprowadzone przez Izaaka Newtona w 1666 r., A dla łuku stycznego w 1671 r. Przez Gottfrieda Wilhelma Leibniza. W XVIII wieku naukowcy zajmowali się badaniami trygonometrycznymi zarówno w Europie, jak iw krajach Bliskiego/Środkowego Wschodu. Po przetłumaczeniu w XIX wieku muzułmańskich dzieł naukowych na łacinę i angielski, stały się one własnością najpierw europejskiej, a potem światowej nauki, umożliwiły połączenie i usystematyzowanie wszelkiej wiedzy związanej z trygonometrią.
Reasumując, można powiedzieć, że dziś trygonometria jest nieodzowną dyscypliną nie tylko dla nauk przyrodniczych, ale także dla informatyki. Od dawna przestała być stosowaną gałęzią matematyki i składa się z kilku dużych podsekcji, w tym trygonometrii sferycznej i goniometrii. Pierwsza dotyczy właściwości kątów między kołami wielkimi na kuli, a druga dotyczy metod pomiaru kątów i stosunku funkcji trygonometrycznych do siebie.
