Calculator de trigonometrie

Teorema sinusurilor, teorema cosinusurilor, teorema tangentelor

Trigonometria este o ramură a matematicii dedicată triunghiurilor, care vă permite să găsiți unghiurile și fețele lor necunoscute din valori cunoscute. De exemplu, unghiul de-a lungul lungimii catetei și ipotenuzei sau lungimea ipotenuzei conform unghiului și catetei cunoscute.

Există funcții unice pentru calcule în trigonometrie: sinus, cosinus, tangent, cotangent, secant și cosecant. Ele sunt adesea folosite în științe și discipline conexe, de exemplu, în astronomie, geodezie și arhitectură.

Trigonometrie în jurul nostru

Trigonometria este inclusă în programa de învățământ general și este una dintre secțiunile fundamentale ale matematicii. Astăzi, cu ajutorul lui, ei găsesc coordonatele geografice, stabilesc rutele navelor, calculează traiectoriile corpurilor cerești, alcătuiesc programe și rapoarte statistice. Această secțiune matematică este cea mai solicitată:

în astronomie;
în geografie;
în navigare;
în arhitectură;
în optică;
în acustică;
în economie (pentru analiza piețelor financiare);
în teoria probabilității;
în biologie și medicină;
în electronică și programare.

Astăzi, chiar și ramuri aparent abstracte precum farmacologia, criptologia, seismologia, fonetica și cristalografia nu se pot lipsi de trigonometrie. Funcțiile trigonometrice sunt utilizate în tomografia computerizată și ultrasunetele, pentru a descrie undele luminoase și sonore, în construcția clădirilor și a structurilor.

Istoria trigonometriei

Primele tabele trigonometrice au fost folosite în scrierile sale de către omul de știință grec antic Hipparchus din Niceea în anii 180-125 î.Hr. Apoi au fost aplicate pur în natură și au fost folosite doar pentru calcule astronomice. Nu existau funcții trigonometrice (sinus, cosinus și așa mai departe) în tabelele lui Hipparchus, dar a existat o împărțire a cercului în 360 de grade și măsurarea arcelor sale folosind acorduri. De exemplu, sinusul modern era cunoscut atunci sub numele de „jumătate de coardă”, la care era trasată o perpendiculară din centrul cercului.

În anul 100 d.Hr., matematicianul grec antic Menelau din Alexandria, în „Sfera” în trei volume (Sphaericorum), a prezentat mai multe teoreme care astăzi pot fi considerate pe deplin „trigonometrice”. Primul descria congruența a două triunghiuri sferice, al doilea suma unghiurilor lor (care este întotdeauna mai mare de 180 de grade), iar al treilea regula „șase magnitudini”, mai cunoscută sub numele de teorema Menelaus.

Aproximativ în același timp, între 90 și 160 d.Hr., astronomul Claudius Ptolemeu a publicat cel mai important tratat trigonometric al antichității, Almagest, format din 13 cărți. Cheia a fost o teoremă care descrie raportul dintre diagonale și laturile opuse ale unui patrulater convex înscris într-un cerc. Conform teoremei lui Ptolemeu, produsul celui de-al doilea este întotdeauna egal cu suma produselor primului. Pe baza acestuia, au fost dezvoltate ulterior 4 formule de diferență pentru sinus și cosinus, precum și formula semiunghiului α / 2.

Studii indiene

Forma „cordală” de descriere a funcțiilor trigonometrice, care a apărut în Grecia antică înainte de epoca noastră, a fost comună în Europa și Asia până în Evul Mediu. Și abia în secolul al XVI-lea în India au fost înlocuite cu sinusul și cosinusul modern: cu denumirile latine sin și, respectiv, cos. În India au fost dezvoltate rapoartele trigonometrice fundamentale: sin²α + cos²α = 1, sinα = cos(90° − α), sin(α + β) = sinα ⋅ cosβ + cosα ⋅ sinβ și altele.

Scopul principal al trigonometriei în India medievală a fost acela de a găsi numere ultra-precise, în primul rând pentru cercetarea astronomică. Acest lucru poate fi judecat din tratatele științifice ale lui Bhaskara și Aryabhata, inclusiv lucrarea științifică Surya Siddhanta. Astronomul indian Nilakanta Somayaji a descompus, pentru prima dată în istorie, arctangenta într-o serie de puteri infinite, iar ulterior sinusul și cosinusul au fost descompuse în serie.

În Europa, aceleași rezultate au venit abia în următorul secol al XVII-lea. Serii pentru sin și cos au fost derivate de Isaac Newton în 1666, iar pentru arc tangente în 1671 de Gottfried Wilhelm Leibniz. În secolul al XVIII-lea, oamenii de știință au fost implicați în studii trigonometrice atât în Europa, cât și în țările din Orientul Apropiat / Mijlociu. După ce lucrările științifice musulmane au fost traduse în latină și engleză în secolul al XIX-lea, ele au devenit proprietatea științei mai întâi europene și apoi mondiale, făcând posibilă combinarea și sistematizarea tuturor cunoștințelor legate de trigonometrie.

Rezumând, putem spune că astăzi trigonometria este o disciplină indispensabilă nu numai pentru științele naturii, ci și pentru tehnologia informației. Ea a încetat de mult să fie o ramură aplicată a matematicii și constă din mai multe subsecțiuni mari, inclusiv trigonometrie sferică și goniometrie. Primul ia în considerare proprietățile unghiurilor dintre cercuri mari de pe o sferă, iar al doilea tratează metodele de măsurare a unghiurilor și raportul funcțiilor trigonometrice între ele.

Formulele pentru sinus, cosinus și tangentă

Trigonometria se referă în primul rând la găsirea colțurilor și marginilor în triunghiuri dreptunghiulare, precum și în forme poliedrice mai complexe. Cunoscând două mărimi (un unghi și o față sau două fețe), aproape întotdeauna o poți găsi pe a treia folosind funcții și formule trigonometrice speciale.

Funcții trigonometrice

Există doar două funcții directe în trigonometrie: sinus (sin) și cosinus (cos). Primul este egal cu raportul catetului opus față de ipotenuză, iar al doilea este egal cu cel adiacent. În ambele cazuri, ne referim la unghiul ascuțit al unui triunghi dreptunghic, care este întotdeauna mai mic de 90 de grade. În matematica superioară, sin și cos pot fi aplicate și numerelor complexe și reale.

Toate celelalte funcții trigonometrice sunt derivate ale sinusului și cosinusului. Sunt doar patru dintre ele:

Tangentă (tg) - raportul dintre piciorul opus față de cel adiacent - tgx = sinx / cosx.
Cotangent (ctg) - raportul dintre piciorul adiacent și cel opus - ctgx = cosx / sinx.
Secunda (sec) — raportul dintre ipotenuză și catetul adiacent — secx = 1 / cosx.
Cosecant (cosec) - raportul dintre ipotenuza și catetul opus - cosecx = 1 / sinx.

O notație alternativă folosită în țările vorbitoare de limbă engleză este următoarea: tangent - tan, cotangent - cot, cosecant - csc. Sunt indicate în literatura științifică, pe calculatoarele de inginerie cu buton, în aplicații electronice.

Formule trigonometrice

Matematicienii din țările europene și asiatice au cercetat și îmbunătățit funcțiile trigonometrice de multe secole și au identificat o serie de modele inerente acestora, în plus, scăderea, înmulțirea și alte operații matematice. Astăzi, întregul curs de bază de trigonometrie, care face parte din programa școlară, se bazează pe aceasta, și anume, capacitatea de a reduce și transforma funcții folosind axiomele și teoremele existente.

Identități simple

Chiar și în India medievală, au fost dezvăluite cele mai simple identități aplicabile funcțiilor trigonometrice directe și derivate. În forma lor finită (modernă), ele arată astfel:

sin²α + cos²α = 1.
1 + tg²α = sec²α.
1 + ctg²α = cosec²α.
tgα ⋅ ctgα = 1.

Formulele de mai sus sunt valabile pentru orice valoare a argumentului (α). Dacă introducem constrângerea că α este mai mare decât 0 și mai mică decât π/2, lista de formule crește de câteva ori. Principalele includ următoarele:

sinα = √(1 − cos²α).
cosα = √(1 − sin²α).
tgα = sinα / √(1 − sin²α).
ctg = cosα / √(1 − cos²α).
sec = 1 / cosα.
cosec = 1 / sinα.

Există 5 identități valide pentru fiecare dintre cele 6 funcții (30 în total). Toate sunt enumerate în tabel și pot fi folosite pentru a rezolva și simplifica ecuații trigonometrice cu o necunoscută (α).

Adunarea și scăderea

Sumele și diferențele dintre două unghiuri (α și β) au și ele propriile lor modele. Folosind formule trigonometrice, acestea pot fi reprezentate astfel:

sin(α + β) = sinα ⋅ cosβ + sinβ ⋅ cosα.
cos(α + β) = cosα ⋅ cosβ + sinα ⋅ sinβ.
tg(α + β) = (tgα + tgβ) / (1 − tgα ⋅ tgβ).
ctg(α + β) = (ctgα ⋅ ctgβ − 1) / (ctgα + ctgβ).

Aceste formule se aplică și scăderii. Dacă semnele din partea dreaptă a semnului egal se schimbă, atunci se schimbă și în partea stângă. În cazul tangentei, va arăta astfel: tg(α − β) = (tgα − tgβ) / (1 + tgα ⋅ tgβ).

Înmulțirea

Funcțiile trigonometrice ale două unghiuri (α și β) pot fi, de asemenea, înmulțite împreună folosind formulele existente:

sinα ⋅ sinβ = (cos(α − β) − cos(α + β)) / 2.
sinα ⋅ cosβ = (sin(α − β) + sin(α + β)) / 2.
cosα ⋅ cosβ = (cos(α − β) + cos(α + β)) / 2.
tgα ⋅ tgβ = (cos(α − β) − cos(α + β)) / (cos(α − β) + cos(α + β)).
tgα ⋅ ctgβ = (sin(α − β) + sin(α + β)) / (sin(α + β) − sin(α − β)).
ctgα ⋅ ctgβ = (cos(α − β) + cos(α + β)) / (cos(α − β) − cos(α + β)).

Există și formule pentru ridicarea funcțiilor trigonometrice la putere, pentru substituție universală, pentru extinderea în produse infinite, pentru obținerea de derivate și antiderivate. Lungimea formulelor poate varia de la 2-3 la zeci de caractere, folosind integrale, produse de polinoame, funcții hiperbolice. Nu sunt ușor de calculat chiar și cu valori simple ale α și β, iar dacă sunt valori fracționale complexe cu multe zecimale, calculele vor necesita mult timp și efort.

Pentru a simplifica calculele funcțiilor trigonometrice (și operațiunile cu acestea), astăzi se folosesc calculatoare online speciale. În ele sunt introduse valori numerice, după care programul calculează într-o fracțiune de secundă. Utilizarea unor astfel de aplicații este chiar mai convenabilă decât calculatoarele de inginerie și sunt disponibile complet gratuit.

{$ subpageListHide ? ('Show' | translate) : ('Hide' | translate) $}