Тригонометрические формулы
Тригонометрия — раздел математики, посвящённый треугольникам, позволяющий находить их неизвестные углы и грани по известным величинам. Например — угол по длине катета и гипотенузы, или длину гипотенузы по известному углу и катету.
Для вычислений в тригонометрии существуют свои, уникальные функции: синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс. Они часто применяются в смежных науках и дисциплинах, например — в астрономии, в геодезии, в архитектуре.
Тригонометрия вокруг нас
Тригонометрия входит в общеобразовательную программу обучения и является одним из фундаментальных разделов математики. Сегодня с её помощью находят географические координаты, прокладывают маршруты судов, вычисляют траектории небесных тел, составляют программы и статистические отчёты. Наиболее востребован этот математический раздел:
- в астрономии;
- в географии;
- в навигации;
- в архитектуре;
- в оптике;
- в акустике;
- в экономике (для анализа финансовых рынков);
- в теории вероятностей;
- в биологии и медицине;
- в электронике и программировании.
Без тригонометрии сегодня не обходятся даже такие, на первый взгляд, отвлечённые отрасли, как фармакология, криптология, сейсмология, фонетика и кристаллография. Тригонометрические функции применяют в компьютерной томографии и УЗИ, для описания световых и звуковых волн, в строительстве зданий и сооружений.
Многие современные инженерные расчёты и формулы невозможно представить без тригонометрических функций, которые (в упрощённом виде) начали применять ещё до нашей эры!
История тригонометрии
Первые тригонометрические таблицы использовал в своих трудах древнегреческий учёный Гиппарх Никейский (Ἵππαρχος) в 180–125 годах до нашей эры. Тогда они носили чисто прикладной характер и применялись только для астрономических вычислений. Тригонометрических функций (синуса, косинуса и так далее) в таблицах Гиппарха ещё не было, а было деление окружности на 360 градусов и измерение её дуг с помощью хорд. Например, современный синус тогда был известен как «половина хорды», к которой был проведён перпендикуляр от центра круга.
В 100 году нашей эры древнегреческий математик Менелай Александрийский (Μενέλαος ὁ Αλεξανδρεύς) в своей трёхтомной «Сферике» (Sphaericorum libri tres) представил несколько теорем, которые сегодня можно в полной мере считать «тригонометрическими». Первая описывала конгруэнтность двух сферических треугольников, вторая — сумму их углов (которая всегда больше 180 градусов), а третья — правило «шести величин», более известное как теорема Менелая.
Примерно в то же время — с 90 по 160-е годы нашей эры астроном Клавдий Птолемей (Κλαύδιος Πτολεμαῖος) издал самый значимый тригонометрический трактат античности «Альмагест» (Almagest), состоящий из 13 книг. Ключевой в нём была теорема, описывающая соотношение диагоналей и противоположных сторон выпуклого четырёхугольника, вписанного в окружность. Согласно теореме Птолемея, произведение вторых всегда равно сумме произведений первых. На её основе впоследствии были разработаны 4 формулы разности для синуса и косинуса, а также формула половинного угла α / 2.
Индийские исследования
«Хордовая» форма описания тригонометрических функций, возникшая в Древней Греции ещё до нашей эры, была распространена в Европе и Азии до самого Средневековья. И лишь в XVI веке в Индии они были заменены современными синусом и косинусом: с латинскими обозначениями sin и cos соответственно. Именно в Индии были разработаны основополагающие тригонометрические соотношения: sin²α + cos²α = 1, sinα = cos(90° − α), sin(α + β) = sinα × cosβ + cosα × sinβ и другие.
Основным назначением тригонометрии в средневековой Индии было нахождение сверхточных чисел, в первую очередь — для астрономических исследований. Об этом можно судить по научным трактатам Бхаскары (भास्कर) и Ариабхаты (आर्यभट), в том числе — по научному труду «Сурья-сиддханта» (सूर्यसिद्धान्त). Индийский астроном Нилаканта Сомаяджи (नीलकण्ठ सोमयाजि) впервые в истории разложил арктангенс на бесконечный степенной ряд, а впоследствии на ряды были разложены синус и косинус.
В Европе к тем же результатам пришли только в следующем, XVII веке. Ряды для sin и cos были выведены Исааком Ньютоном (Isaac Newton) в 1666 году, а для арктангенса — в 1671 году — Готфридом Вильгельмом Лейбницем (Gottfried Wilhelm Leibniz). В XVIII веке тригонометрическими исследованиями занимались учёные и в Европе, и в странах Ближнего/Среднего Востока. После того как мусульманские научные труды в XIX веке были переведены на латынь и английский язык, они стали достоянием сначала европейской, а затем и мировой науки, позволили объединить и систематизировать все знания, касающиеся тригонометрии.
Подводя итог, можно сказать, что сегодня тригонометрия — незаменимая дисциплина не только для естественных наук, но и для информационных технологий. Она давно перестала быть прикладным разделом математики, и состоит из нескольких крупных подразделов, в том числе — из сферической тригонометрии и гониометрии. Первая рассматривает свойства углов между большими кругами на сфере, а вторая — способы измерения углов и соотношение тригонометрических функций между собой.
