Trigonometrická kalkulačka

Trigonometria je časť matematiky venovaná trojuholníkom, ktorá vám umožňuje nájsť ich neznáme uhly a plochy zo známych hodnôt. Napríklad uhol pozdĺž dĺžky nohy a prepony alebo dĺžku prepony podľa známeho uhla a prepony.

Existujú jedinečné funkcie pre výpočty v trigonometrii: sínus, kosínus, tangens, kotangens, sekans a kosekans. Často sa používajú v príbuzných vedách a disciplínach, napríklad v astronómii, geodézii a architektúre.

Trigonometria okolo nás

Trigonometria je zahrnutá vo všeobecných vzdelávacích osnovách a je jednou zo základných častí matematiky. Dnes s jeho pomocou zisťujú geografické súradnice, stanovujú trasy lodí, počítajú trajektórie nebeských telies, zostavujú programy a štatistické správy. Táto matematická sekcia je najžiadanejšia:

v astronómii;
v geografii;
v navigácii;
v architektúre;
v optike;
v akustike;
v ekonómii (na analýzu finančných trhov);
v teórii pravdepodobnosti;
v biológii a medicíne;
v elektronike a programovaní.

Bez trigonometrie sa dnes nezaobídu ani také zdanlivo abstraktné odvetvia ako farmakológia, kryptológia, seizmológia, fonetika a kryštalografia. Trigonometrické funkcie sa používajú v počítačovej tomografii a ultrazvuku, na popis svetelných a zvukových vĺn, pri stavbe budov a stavieb.

História trigonometrie

Prvé trigonometrické tabuľky použil vo svojich spisoch staroveký grécky vedec Hipparchos z Nicaea v rokoch 180-125 pred Kristom. Potom boli čisto aplikované v prírode a používali sa len na astronomické výpočty. V Hipparchových tabuľkách neboli žiadne trigonometrické funkcie (sínus, kosínus atď.), Ale existovalo rozdelenie kruhu na 360 stupňov a meranie jeho oblúkov pomocou tetiv. Napríklad moderný sínus bol vtedy známy ako „polovica akordu“, ku ktorému bola zo stredu kruhu nakreslená kolmica.

V roku 100 nášho letopočtu starogrécky matematik Menelaos z Alexandrie vo svojom trojzväzkovom diele „Sphere“ (Sphaericorum) predstavil niekoľko teorémov, ktoré dnes možno plne považovať za „trigonometrické“. Prvý popisoval zhodu dvoch sférických trojuholníkov, druhý súčet ich uhlov (ktorý je vždy väčší ako 180 stupňov) a tretí pravidlo „šiestich magnitúd“, známejšie ako Menelaova veta.

Približne v rovnakom čase, od roku 90 do roku 160 nášho letopočtu, astronóm Claudius Ptolemaios publikoval najvýznamnejšie trigonometrické pojednanie staroveku, Almagest, pozostávajúce z 13 kníh. Kľúčom k nemu bola teoréma popisujúca pomer uhlopriečok a protiľahlých strán konvexného štvoruholníka vpísaného do kruhu. Podľa Ptolemaiovej vety sa súčin druhého vždy rovná súčtu súčinov prvého. Na jeho základe boli následne vyvinuté 4 rozdielové vzorce pre sínus a kosínus, ako aj vzorec polovičného uhla α / 2.

Indické štúdiá

Akordálna forma opisu goniometrických funkcií, ktorá vznikla v starovekom Grécku pred naším letopočtom, bola bežná v Európe a Ázii až do stredoveku. A až v 16. storočí v Indii boli nahradené moderným sínusom a kosínusom: s latinskými označeniami sin a cos, resp. V Indii boli vyvinuté základné trigonometrické pomery: sin²α + cos²α = 1, sinα = cos(90° − α), sin(α + β) = sinα ⋅ cosβ + cosα ⋅ sinβ a ďalšie.

Hlavným účelom trigonometrie v stredovekej Indii bolo nájsť mimoriadne presné čísla, predovšetkým pre astronomický výskum. To možno posúdiť z vedeckých pojednaní Bhaskaru a Aryabhata, vrátane vedeckej práce Surya Siddhanta. Indický astronóm Nilakanta Somayaji prvýkrát v histórii rozložil arktangens na nekonečný mocninový rad a následne sínus a kosínus rozložili na série.

V Európe sa rovnaké výsledky dostavili až v nasledujúcom, XVII. storočí. Séria pre hriech a cos odvodil Isaac Newton v roku 1666 a pre arkus tangens v roku 1671 Gottfried Wilhelm Leibniz. V 18. storočí sa vedci zaoberali trigonometrickými štúdiami v Európe aj v krajinách Blízkeho a Stredného východu. Po tom, čo boli v 19. storočí moslimské vedecké diela preložené do latinčiny a angličtiny, stali sa majetkom najprv európskej a potom svetovej vedy, umožnili kombinovať a systematizovať všetky poznatky súvisiace s trigonometriou.

V súhrne môžeme povedať, že dnes je trigonometria nepostrádateľnou disciplínou nielen pre prírodné vedy, ale aj pre informačné technológie. Už dávno prestal byť aplikovaným odvetvím matematiky a pozostáva z niekoľkých veľkých podsekcií vrátane sférickej trigonometrie a goniometrie. Prvý sa zaoberá vlastnosťami uhlov medzi veľkými kružnicami na gule a druhý sa zaoberá metódami merania uhlov a pomeru goniometrických funkcií navzájom.

Trigonometria je primárne o hľadaní rohov a hrán v pravouhlých trojuholníkoch, ako aj v zložitejších mnohostenných tvaroch. Keď poznáte dve veličiny (uhol a plochu alebo dve plochy), môžete takmer vždy nájsť tretiu pomocou špeciálnych goniometrických funkcií a vzorcov.

Trigonometrické funkcie

V trigonometrii existujú iba dve priame funkcie: sínus (sin) a kosínus (cos). Prvá sa rovná pomeru opačnej nohy k prepone a druhá sa rovná susednej. V oboch prípadoch máme na mysli ostrý uhol pravouhlého trojuholníka, ktorý je vždy menší ako 90 stupňov. Vo vyššej matematike možno sin a cos použiť aj na komplexné a reálne čísla.

Všetky ostatné goniometrické funkcie sú deriváty sínusov a kosínusov. Sú len štyri z nich:

Tangenta (tg) – pomer protiľahlej k susednej vetve – tgx = sinx / cosx.
Kotangens (ctg) – pomer susednej vetvy k opačnej vetve – ctgx = cosx / sinx.
Second (sec) – pomer prepony k susednej vetve – sekx = 1 / cosx.
Kosekant (cosec) – pomer prepony k opačnej vetve – cosecx = 1 / sinx.

Alternatívna notácia používaná v anglicky hovoriacich krajinách je nasledovná: tangens – tan, cotangens – cot, cosecant – csc. Sú uvedené vo vedeckej literatúre, na tlačidlových inžinierskych kalkulačkách, v elektronických aplikáciách.

Trigonometrické vzorce

Matematici európskych a ázijských krajín skúmali a zdokonaľovali goniometrické funkcie po mnoho storočí a identifikovali množstvo vzorov, ktoré sú im vlastné, okrem odčítania, násobenia a iných matematických operácií. Dnes je na tom založený celý základný kurz trigonometrie, ktorý je súčasťou školských osnov, a to schopnosť redukovať a transformovať funkcie pomocou existujúcich axióm a teorémov.

Jednoduché identity

Dokonca aj v stredovekej Indii boli odhalené najjednoduchšie identity použiteľné pre priame a odvodené trigonometrické funkcie. Vo svojej hotovej (modernej) podobe vyzerajú takto:

sin²α + cos²α = 1.
1 + tg²α = sek²α.
1 + ctg²α = cosec²α.
tgα ⋅ ctgα = 1.

Vyššie uvedené vzorce sú platné pre všetky hodnoty argumentu (α). Ak zavedieme obmedzenie, že α je väčšie ako 0 a menšie ako π/2, zoznam vzorcov sa niekoľkonásobne zväčší. Medzi hlavné patria:

sinα = √(1 − cos²α).
cosα = √(1 − sin²α).
tgα = sinα / √(1 − sin²α).
ctg = cosα / √(1 − cos²α).
s = 1 / cosα.
kosec = 1 / sinα.

Pre každú zo 6 funkcií existuje 5 platných identít (spolu 30). Všetky sú uvedené v tabuľke a možno ich použiť na riešenie a zjednodušenie goniometrických rovníc s jednou neznámou (α).

Sčítanie a odčítanie

Súčty a rozdiely dvoch uhlov (α a β) majú tiež svoje vlastné vzory. Pomocou goniometrických vzorcov ich možno znázorniť takto:

sin(α + β) = sinα ⋅ cosβ + sinβ ⋅ cosα.
cos(α + β) = cosα ⋅ cosβ + sinα ⋅ sinβ.
tg(α + β) = (tgα + tgβ) / (1 − tgα ⋅ tgβ).
ctg(α + β) = (ctgα ⋅ ctgβ − 1) / (ctgα + ctgβ).

Tieto vzorce platia aj pre odčítanie. Ak sa zmenia znamienka na pravej strane znamienka rovnosti, zmenia sa aj na ľavej strane. V prípade dotyčnice to bude vyzerať takto: tg(α − β) = (tgα − tgβ) / (1 + tgα ⋅ tgβ).

Násobenie

Gigonometrické funkcie dvoch uhlov (α a β) možno tiež násobiť pomocou existujúcich vzorcov:

sinα ⋅ sinβ = (cos(α − β) − cos(α + β)) / 2.
sinα ⋅ cosβ = (sin(α − β) + sin(α + β)) / 2.
cosα ⋅ cosβ = (cos(α − β) + cos(α + β)) / 2.
tgα ⋅ tgβ = (cos(α − β) − cos(α + β)) / (cos(α − β) + cos(α + β)).
tgα ⋅ ctgβ = (sin(α − β) + sin(α + β)) / (sin(α + β) − sin(α − β)).
ctgα ⋅ ctgβ = (cos(α − β) + cos(α + β)) / (cos(α − β) − cos(α + β)).

Existujú aj vzorce na zvýšenie goniometrických funkcií na mocninu, na univerzálnu substitúciu, na rozšírenie do nekonečných súčinov, na získanie derivácií a primitív. Dĺžka vzorcov sa môže meniť od 2-3 do desiatok znakov, pomocou integrálov, súčinov polynómov, hyperbolických funkcií. Nie je ľahké ich vypočítať ani s jednoduchými hodnotami α a β, a ak ide o zložité zlomkové hodnoty s mnohými desatinnými miestami, výpočty budú vyžadovať veľa času a úsilia.

Na zjednodušenie výpočtov goniometrických funkcií (a operácií s nimi) sa dnes používajú špeciálne online kalkulačky. Do nich sa zadávajú číselné hodnoty, po ktorých program vypočíta za zlomok sekundy. Používanie takýchto aplikácií je ešte pohodlnejšie ako technické kalkulačky a sú k dispozícii úplne zadarmo.

{$ subpageListHide ? ('Show' | translate) : ('Hide' | translate) $}