Llogaritësi i trigonometrisë

Ligji i sineve, kosinove, dhe tangenteve

Trigonometria është një degë e matematikës kushtuar trekëndëshave, e cila ju lejon të gjeni këndet dhe faqet e tyre të panjohura nga vlerat e njohura. Për shembull, këndi përgjatë gjatësisë së këmbës dhe hipotenuzës, ose gjatësia e hipotenuzës sipas këndit dhe këmbës së njohur.

Ka funksione unike për llogaritjet në trigonometri: sinus, kosinus, tangent, kotangjent, sekant dhe kosekant. Ato përdoren shpesh në shkenca dhe disiplina të ngjashme, për shembull, në astronomi, gjeodezi dhe arkitekturë.

Trigonometria rreth nesh

Trigonometria përfshihet në kurrikulën e arsimit të përgjithshëm dhe është një nga seksionet themelore të matematikës. Sot, me ndihmën e saj, ata gjejnë koordinatat gjeografike, shtrojnë rrugët e anijeve, llogaritin trajektoret e trupave qiellorë, përpilojnë programe dhe raporte statistikore. Ky seksion matematikor është më i kërkuari:

në astronomi;
në gjeografi;
në navigim;
në arkitekturë;
në optikë;
në akustikë;
në ekonomi (për analizën e tregjeve financiare);
në teorinë e probabilitetit;
në biologji dhe mjekësi;
në elektronikë dhe programim.

Sot edhe degë të tilla në dukje abstrakte si farmakologjia, kriptologjia, sizmologjia, fonetika dhe kristalografia nuk mund të bëjnë pa trigonometri. Funksionet trigonometrike përdoren në tomografinë e kompjuterizuar dhe ultratinguj, për të përshkruar valët e dritës dhe zërit, në ndërtimin e ndërtesave dhe strukturave.

Historia e trigonometrisë

Tabelat e para trigonometrike u përdorën në shkrimet e tij nga shkencëtari i lashtë grek Hipparchus i Nikesë në 180-125 pes. Pastaj ato u aplikuan thjesht në natyrë dhe u përdorën vetëm për llogaritjet astronomike. Në tabelat e Hiparkut nuk kishte funksione trigonometrike (sinus, kosinus e kështu me radhë), por kishte një ndarje të rrethit në 360 gradë dhe matje të harqeve të tij duke përdorur korda. Për shembull, sinusi modern atëherë njihej si "gjysma e kordës", ndaj së cilës ishte tërhequr një pingul nga qendra e rrethit.

Në vitin 100 pas Krishtit, matematikani i lashtë grek Menelaus i Aleksandrisë, në tre vëllimet e tij "Sfera" (Sphaericorum), paraqiti disa teorema që sot mund të konsiderohen plotësisht "trigonometrike". I pari përshkruan kongruencën e dy trekëndëshave sferikë, i dyti shumën e këndeve të tyre (që është gjithmonë më i madh se 180 gradë) dhe i treti rregullin "gjashtë madhësive", i njohur më mirë si teorema e Menelaut.

Përafërsisht në të njëjtën kohë, nga viti 90 deri në vitin 160 pas Krishtit, astronomi Klaudi Ptolemeu botoi traktatin trigonometrik më domethënës të antikitetit, Almagest, i përbërë nga 13 libra. Çelësi për të ishte një teoremë që përshkruan raportin e diagonaleve dhe anëve të kundërta të një katërkëndëshi konveks të gdhendur në një rreth. Sipas teoremës së Ptolemeut, prodhimi i të dytit është gjithmonë i barabartë me shumën e prodhimeve të të parit. Bazuar në të, u zhvilluan më pas 4 formula diferenciale për sinusin dhe kosinusin, si dhe formula e gjysmëkëndit α / 2.

Studime Indiane

Forma "akordale" e përshkrimit të funksioneve trigonometrike, e cila u ngrit në Greqinë e lashtë para erës sonë, ishte e zakonshme në Evropë dhe Azi deri në Mesjetë. Dhe vetëm në shekullin e 16-të në Indi ata u zëvendësuan nga sinusi dhe kosinusi modern: përkatësisht me emërtimet latine sin dhe cos. Pikërisht në Indi u zhvilluan raportet themelore trigonometrike: sin²α + cos²α = 1, sinα = cos(90° − α), sin(α + β) = sinα ⋅ cosβ + cosα ⋅ sinβ dhe të tjera.

Qëllimi kryesor i trigonometrisë në Indinë mesjetare ishte gjetja e numrave ultra të saktë, kryesisht për kërkime astronomike. Kjo mund të gjykohet nga traktatet shkencore të Bhaskara dhe Aryabhata, duke përfshirë veprën shkencore Surya Siddhanta. Astronomi indian Nilakanta Somayaji për herë të parë në histori e zbërtheu arktangjentën në një seri fuqie të pafundme dhe më pas sinusi dhe kosinusi u zbërthyen në seri.

Në Evropë, të njëjtat rezultate erdhën vetëm në shekullin e ardhshëm, XVII. Seritë për sin dhe cos u përftuan nga Isaac Newton në 1666, dhe për harkun tangjent në 1671 nga Gottfried Wilhelm Leibniz. Në shekullin e 18-të, shkencëtarët u angazhuan në studime trigonometrike si në Evropë ashtu edhe në vendet e Lindjes së Afërt / të Mesme. Pasi veprat shkencore myslimane u përkthyen në latinisht dhe anglisht në shekullin e 19-të, ato u bënë pronë e shkencës fillimisht evropiane dhe më pas botërore, duke bërë të mundur kombinimin dhe sistemimin e të gjitha njohurive që lidhen me trigonometrinë.

Duke përmbledhur, mund të themi se sot trigonometria është një disiplinë e domosdoshme jo vetëm për shkencat natyrore, por edhe për teknologjinë e informacionit. Prej kohësh ka pushuar së qeni një degë e aplikuar e matematikës dhe përbëhet nga disa nënseksione të mëdha, duke përfshirë trigonometrinë sferike dhe gonometrinë. E para merr në konsideratë vetitë e këndeve ndërmjet rrathëve të mëdhenj në një sferë dhe e dyta merret me metodat për matjen e këndeve dhe raportin e funksioneve trigonometrike me njëri-tjetrin.

Formulat e sinit, kosinit dhe tangjentit

Trigonometria ka të bëjë kryesisht me gjetjen e qosheve dhe skajeve në trekëndëshat kënddrejtë, si dhe në forma më komplekse, poliedrike. Duke ditur dy sasi (një kënd dhe një fytyrë ose dy faqe), pothuajse gjithmonë mund ta gjesh të tretën duke përdorur funksione dhe formula speciale trigonometrike.

Funksionet trigonometrike

Ka vetëm dy funksione të drejtpërdrejta në trigonometri: sinus (sin) dhe kosinus (cos). E para është e barabartë me raportin e këmbës së kundërt me hipotenuzën, dhe e dyta është e barabartë me ngjitjen. Në të dyja rastet, nënkuptojmë këndin akut të një trekëndëshi kënddrejtë, i cili është gjithmonë më pak se 90 gradë. Në matematikën e lartë, sin dhe cos mund të zbatohen gjithashtu për numrat kompleks dhe real.

Të gjitha funksionet e tjera trigonometrike janë derivate të sinusit dhe kosinusit. Janë vetëm katër prej tyre:

Tangjenta (tg) - raporti i këmbës së kundërt me atë ngjitur - tgx = sinx / cosx.
Kotangjent (ctg) - raporti i këmbës ngjitur me atë të kundërt - ctgx = cosx / sinx.
E dyta (sek) — raporti i hipotenuzës me këmbën ngjitur — secx = 1 / cosx.
Cosecant (cosec) - raporti i hipotenuzës me këmbën e kundërt - cosecx = 1 / sinx.

Një shënim alternativ i përdorur në vendet anglishtfolëse është si më poshtë: tangent - tan, cotangent - cot, cosecant - csc. Ato tregohen në literaturën shkencore, në llogaritëset inxhinierike me butona, në aplikacionet elektronike.

Formulat trigonometrike

Matematikanët e vendeve evropiane dhe aziatike kanë hulumtuar dhe përmirësuar funksionet trigonometrike për shumë shekuj dhe kanë identifikuar një sërë modelesh të qenësishme në to, si shtesë, zbritje, shumëzim dhe operacione të tjera matematikore. Sot, i gjithë kursi bazë i trigonometrisë, i cili është pjesë e kurrikulës shkollore, bazohet në këtë, përkatësisht, aftësia për të reduktuar dhe transformuar funksionet duke përdorur aksiomat dhe teoremat ekzistuese.

Identitete të thjeshta

Edhe në Indinë mesjetare, u zbuluan identitetet më të thjeshta të zbatueshme për funksionet trigonometrike të drejtpërdrejta dhe derivatore. Në formën e tyre të përfunduar (moderne), ato duken kështu:

sin²α + cos²α = 1.
1 + tg²α = sec²α.
1 + ctg²α = cosec²α.
tgα ⋅ ctgα = 1.

Formulat e mësipërme janë të vlefshme për çdo vlerë të argumentit (α). Nëse vendosim kufizimin që α është më i madh se 0 dhe më i vogël se π/2, lista e formulave rritet disa herë. Ato kryesore përfshijnë sa vijon:

sinα = √(1 − cos²α).
cosα = √(1 − sin²α).
tgα = sinα / √(1 − sin²α).
ctg = cosα / √(1 − cos²α).
sek = 1 / cosα.
cosec = 1 / sinα.

Ka 5 identitete të vlefshme për secilin nga 6 funksionet (30 në total). Të gjitha janë renditur në tabelë dhe mund të përdoren për të zgjidhur dhe thjeshtuar ekuacionet trigonometrike me një të panjohur (α).

Mbledhja dhe zbritja

Shumat dhe dallimet e dy këndeve (α dhe β) kanë gjithashtu modelet e tyre. Duke përdorur formulat trigonometrike, ato mund të përfaqësohen si më poshtë:

sin(α + β) = sinα ⋅ cosβ + sinβ ⋅ cosα.
cos(α + β) = cosα ⋅ cosβ + sinα ⋅ sinβ.
tg(α + β) = (tgα + tgβ) / (1 − tgα ⋅ tgβ).
ctg(α + β) = (ctgα ⋅ ctgβ − 1) / (ctgα + ctgβ).

Këto formula zbatohen edhe për zbritjen. Nëse shenjat në anën e djathtë të shenjës së barabartë ndryshojnë, atëherë ato ndryshojnë edhe në anën e majtë. Në rastin e tangjentes, do të duket kështu: tg(α - β) = (tgα - tgβ) / (1 + tgα ⋅ tgβ).

Shumëzimi

Funksionet trigonometrike të dy këndeve (α dhe β) gjithashtu mund të shumëzohen së bashku duke përdorur formulat ekzistuese:

sinα ⋅ sinβ = (cos(α − β) − cos(α + β)) / 2.
sinα ⋅ cosβ = (sin(α - β) + sin(α + β)) / 2.
cosα ⋅ cosβ = (cos(α - β) + cos(α + β)) / 2.
tgα ⋅ tgβ = (cos(α − β) − cos(α + β)) / (cos(α − β) + cos(α + β)).
tgα ⋅ ctgβ = (sin(α - β) + sin(α + β)) / (sin(α + β) − sin(α - β)).
ctgα ⋅ ctgβ = (cos(α - β) + cos(α + β)) / (cos(α - β) − cos(α + β)).

Ka edhe formula për ngritjen e funksioneve trigonometrike në një fuqi, për zëvendësimin universal, për zgjerimin në produkte të pafundme, për marrjen e derivateve dhe antiderivativëve. Gjatësia e formulave mund të ndryshojë nga 2-3 në dhjetëra karaktere, duke përdorur integrale, produkte të polinomeve, funksione hiperbolike. Ato nuk janë të lehta për t'u llogaritur edhe me vlera të thjeshta të α dhe β, dhe nëse janë vlera komplekse thyesore me shumë dhjetore, llogaritjet do të kërkojnë shumë kohë dhe përpjekje.

Për të thjeshtuar llogaritjet e funksioneve trigonometrike (dhe veprimet me to), sot përdoren kalkulatorë specialë në internet. Vlerat numerike futen në to, pas së cilës programi llogarit në një pjesë të sekondës. Përdorimi i aplikacioneve të tilla është edhe më i përshtatshëm se kalkulatorët inxhinierikë dhe ato ofrohen plotësisht pa pagesë.

{$ subpageListHide ? ('Show' | translate) : ('Hide' | translate) $}