Trigonometrijski kalkulator

Drugi alati

Kalkulator površine{$ ',' | translate $}
Kalkulator perimetra{$ ',' | translate $}
Kalkulator zapremine{$ ',' | translate $}
Tablica množenja{$ ',' | translate $}
Periodni sistem{$ ',' | translate $}
Kalkulator matrica{$ ',' | translate $}
NZS kalkulator{$ ',' | translate $}
NZD kalkulator

Zakon sinusa, kosinusa, tangenti

Trigonometrija je grana matematike posvećena trouglovima, koja vam omogućava da pronađete njihove nepoznate uglove i lica iz poznatih vrednosti. Na primer, ugao duž dužine kraka i hipotenuze, ili dužina hipotenuze prema poznatom uglu i kraku.

Postoje jedinstvene funkcije za proračune u trigonometriji: sinus, kosinus, tangenta, kotangens, sekansa i kosekans. Često se koriste u srodnim naukama i disciplinama, na primer, u astronomiji, geodeziji i arhitekturi.

Trigonometrija oko nas

Trigonometrija je uključena u nastavni plan i program opšteg obrazovanja i jedan je od osnovnih odeljaka matematike. Danas uz njegovu pomoć pronalaze geografske koordinate, postavljaju rute brodova, izračunavaju putanje nebeskih tela, sastavljaju programe i statističke izveštaje. Ovaj matematički odeljak je najtraženiji:

u astronomiji;
u geografiji;
u navigaciji;
u arhitekturi;
u optici;
u akustici;
u ekonomiji (za analizu finansijskih tržišta);
u teoriji verovatnoće;
u biologiji i medicini;
u elektronici i programiranju.

Danas čak i takve naizgled apstraktne grane kao što su farmakologija, kriptologija, seizmologija, fonetika i kristalografija ne mogu bez trigonometrije. Trigonometrijske funkcije se koriste u kompjuterskoj tomografiji i ultrazvuku, za opisivanje svetlosnih i zvučnih talasa, u izgradnji zgrada i objekata.

Istorija trigonometrije

Prve trigonometrijske tabele koristio je u svojim spisima starogrčki naučnik Hiparh iz Nikeje 180-125. godine pre nove ere. Tada su se isključivo primenjivali u prirodi i korišćeni su samo za astronomske proračune. U Hiparhovim tabelama nije bilo trigonometrijskih funkcija (sinus, kosinus i tako dalje), ali je postojala podela kruga na 360 stepeni i merenje njegovih lukova pomoću tetiva. Na primer, savremeni sinus je tada bio poznat kao „pola tetiva“, na koju je povučena upravnica iz centra kruga.

U 100. godini nove ere, starogrčki matematičar Menelaj Aleksandrijski, u svojoj trotomnoj „Sferi“ (Sphaericorum), izneo je nekoliko teorema koje se danas mogu u potpunosti smatrati „trigonometrijskim“. Prvi opisuje podudarnost dva sferna trougla, drugi zbir njihovih uglova (koji je uvek veći od 180 stepeni), a treći pravilo „šest magnituda“, poznatije kao Menelajeva teorema.

Približno u isto vreme, od 90. do 160. godine nove ere, astronom Klaudije Ptolomej objavio je najznačajniju trigonometrijsku raspravu antike, Almagest, koja se sastoji od 13 knjiga. Ključ za to bila je teorema koja opisuje odnos dijagonala i suprotnih strana konveksnog četvorougla upisanog u krug. Prema Ptolomejevoj teoremi, proizvod drugog je uvek jednak zbiru proizvoda prvog. Na osnovu nje su naknadno razvijene 4 formule razlike za sinus i kosinus, kao i formula poluugla a / 2.

Indijanske studije

"Tordni" oblik opisivanja trigonometrijskih funkcija, koji je nastao u staroj Grčkoj pre naše ere, bio je uobičajen u Evropi i Aziji sve do srednjeg veka. I tek u 16. veku u Indiji su zamenjeni modernim sinusom i kosinusom: sa latinskim oznakama sin i cos, respektivno. U Indiji su razvijeni osnovni trigonometrijski odnosi: sin²a + cos²a = 1, sina = cos(90° − a), sin(a + b) = sina ⋅ cosb + cosa ⋅ sinb i drugi.

Glavna svrha trigonometrije u srednjovekovnoj Indiji bila je pronalaženje ultra-preciznih brojeva, prvenstveno za astronomska istraživanja. O tome se može suditi iz naučnih rasprava Bhaskare i Ariabhata, uključujući naučni rad Suria Siddhanta. Indijski astronom Nilakanta Somaiaji po prvi put u istoriji razložio je arktangens u beskonačan niz stepena, a potom su sinus i kosinus razloženi u niz.

U Evropi su isti rezultati došli tek u sledećem, KSVII veku. Niz za sin i cos izveo je Isak Njutn 1666. godine, a za arc tangentu 1671. godine Gotfrid Vilhelm Lajbnic. U 18. veku, naučnici su se bavili trigonometrijskim studijama kako u Evropi, tako iu zemljama Bliskog / Srednjeg Istoka. Nakon što su muslimanski naučni radovi u 19. veku prevedeni na latinski i engleski, postali su vlasništvo najpre evropske, a zatim i svetske nauke, omogućili su kombinovanje i sistematizaciju svih znanja vezanih za trigonometriju.

Rezimirajući, možemo reći da je danas trigonometrija nezaobilazna disciplina ne samo za prirodne nauke, već i za informacione tehnologije. Odavno je prestala da bude primenjena grana matematike i sastoji se od nekoliko velikih podsekcija, uključujući sfernu trigonometriju i goniometriju. Prva razmatra svojstva uglova između velikih krugova na sferi, a druga se bavi metodama za merenje uglova i odnosom trigonometrijskih funkcija jedna prema drugoj.

Formule za sinus, kosinus, tangentu

Trigonometrija se prvenstveno odnosi na pronalaženje uglova i ivica u pravouglim trouglovima, kao iu složenijim, poliedarskim oblicima. Poznavajući dve veličine (ugao i lice ili dva lica), skoro uvek možete pronaći treću pomoću posebnih trigonometrijskih funkcija i formula.

Trigonometrijske funkcije

Postoje samo dve direktne funkcije u trigonometriji: sinus (sin) i kosinus (cos). Prvi je jednak odnosu suprotnog kraka prema hipotenuzi, a drugi je jednak susednom. U oba slučaja mislimo na oštar ugao pravouglog trougla koji je uvek manji od 90 stepeni. U višoj matematici, sin i cos se takođe mogu primeniti na kompleksne i realne brojeve.

Sve ostale trigonometrijske funkcije su derivati sinusa i kosinusa. Ima ih samo četiri:

Tangens (tg) – odnos suprotnog kraka i susednog kraka – tgk = sink / cosk.
Kotangens (ctg) - odnos susednog kraka i suprotnog - ctgk = cosk / sink.
Sekunda (sek) — odnos hipotenuze i susednog kraka — seck = 1 / cosk.
Kosekans (cosec) - odnos hipotenuze i suprotnog kraka - coseck = 1 / sink.

Alternativna notacija koja se koristi u zemljama engleskog govornog područja je sledeća: tangenta - tan, kotangens - krevetac, kosekans - csc. Oni su naznačeni u naučnoj literaturi, na tehničkim kalkulatorima sa dugmetom, u elektronskim aplikacijama.

Trigonometrijske formule

Matematičari evropskih i azijskih zemalja su vekovima istraživali i unapređivali trigonometrijske funkcije i identifikovali niz obrazaca koji su im svojstveni pored sabiranja, oduzimanja, množenja i drugih matematičkih operacija. Danas se ceo osnovni kurs trigonometrije, koji je deo školskog programa, zasniva na tome, odnosno na sposobnosti redukcije i transformacije funkcija korišćenjem postojećih aksioma i teorema.

Jednostavni identiteti

Čak i u srednjovekovnoj Indiji, otkriveni su najjednostavniji identiteti primenljivi na direktne i izvedene trigonometrijske funkcije. U svom gotovom (savremenom) obliku izgledaju ovako:

sin²a + cos²a = 1.
1 + tg²a = sec²a.
1 + ctg²a = cosec²a.
tga ⋅ ctga = 1.

Gore navedene formule važe za sve vrednosti argumenta (a). Ako uvedemo ograničenje da je a veće od 0 i manje od p/2, lista formula se povećava nekoliko puta. Među glavnim su sledeće:

sina = √(1 − cos²a).
cosa = √(1 − sin²a).
tga = sina / √(1 − sin²a).
ctg = cosa / √(1 − cos²a).
sek = 1 / cosa.
cosec = 1 / sina.

Postoji 5 važećih identiteta za svaku od 6 funkcija (ukupno 30). Sve su navedene u tabeli i mogu se koristiti za rešavanje i pojednostavljenje trigonometrijskih jednačina sa jednom nepoznatom (a).

Sabiranje i oduzimanje

Zbiri i razlike dva ugla (a i b) takođe imaju svoje obrasce. Koristeći trigonometrijske formule, one se mogu predstaviti na sledeći način:

sin(a + b) = sina ⋅ cosb + sinb ⋅ cosa.
cos(a + b) = cosa ⋅ cosb + sina ⋅ sinb.
tg(a + b) = (tga + tgb) / (1 − tga ⋅ tgb).
ctg(a + b) = (ctga ⋅ ctgb − 1) / (ctga + ctgb).

Ove formule važe i za oduzimanje. Ako se menjaju znaci na desnoj strani znaka jednakosti, onda se menjaju i na levoj strani. U slučaju tangente, to će izgledati ovako: tg(a − b) = (tga − tgb) / (1 + tga ⋅ tgb).

Množenje

Trigonometrijske funkcije dva ugla (a i b) takođe mogu da se pomnože zajedno koristeći postojeće formule:

sina ⋅ sinb = (cos(a − b) − cos(a + b)) / 2.
sina ⋅ cosb = (sin(a − b) + sin(a + b)) / 2.
cosa ⋅ cosb = (cos(a − b) + cos(a + b)) / 2.
tga ⋅ tgb = (cos(a − b) − cos(a + b)) / (cos(a − b) + cos(a + b)).
tga ⋅ ctgb = (sin(a − b) + sin(a + b)) / (sin(a + b) − sin(a − b)).
ctga ⋅ ctgb = (cos(a − b) + cos(a + b)) / (cos(a − b) − cos(a + b)).

Postoje i formule za podizanje trigonometrijskih funkcija na stepen, za univerzalnu supstituciju, za proširenje u beskonačne proizvode, za dobijanje derivata i antiderivata. Dužina formula može da varira od 2-3 do desetine karaktera, koristeći integrale, proizvode polinoma, hiperboličke funkcije. Nije ih lako izračunati čak ni sa jednostavnim vrednostima a i b, a ako su složene razlomke sa mnogo decimala, proračuni će zahtevati mnogo vremena i truda.

Da bi se pojednostavili proračuni trigonometrijskih funkcija (i operacija sa njima), danas se koriste specijalni onlajn kalkulatori. U njih se unose numeričke vrednosti, nakon čega program izračunava u deliću sekunde. Korišćenje ovakvih aplikacija je još praktičnije od inženjerskih kalkulatora, a dostupne su potpuno besplatno.