Kalkylator för trigonometri

Trigonometri är en gren av matematiken ägnad åt trianglar, som låter dig hitta deras okända vinklar och ytor från kända värden. Till exempel vinkeln längs benet och hypotenusan, eller hypotenusans längd enligt den kända vinkeln och benet.

Det finns unika funktioner för beräkningar inom trigonometri: sinus, cosinus, tangens, cotangens, sekant och cosekant. De används ofta inom relaterade vetenskaper och discipliner, till exempel inom astronomi, geodesi och arkitektur.

Trigonometri omkring oss

Trigonometri ingår i den allmänna läroplanen och är en av de grundläggande delarna av matematik. Idag, med dess hjälp, hittar de geografiska koordinater, lägger fartygens rutter, beräknar himlakropparnas banor, sammanställer program och statistiska rapporter. Det här matematiska avsnittet är mest efterfrågat:

i astronomi;
i geografi;
i navigering;
i arkitektur;
i optik;
i akustik;
i ekonomi (för analys av finansiella marknader);
i sannolikhetsteorin;
i biologi och medicin;
inom elektronik och programmering.

Idag kan inte ens sådana till synes abstrakta grenar som farmakologi, kryptologi, seismologi, fonetik och kristallografi klara sig utan trigonometri. Trigonometriska funktioner används i datortomografi och ultraljud, för att beskriva ljus- och ljudvågor, vid konstruktion av byggnader och strukturer.

Historik för trigonometri

De första trigonometriska tabellerna användes i hans skrifter av den antika grekiske vetenskapsmannen Hipparchus från Nicaea 180-125 f.Kr. Sedan användes de rent i naturen och användes endast för astronomiska beräkningar. Det fanns inga trigonometriska funktioner (sinus, cosinus och så vidare) i Hipparchus tabeller, men det fanns en uppdelning av cirkeln i 360 grader och mätningen av dess bågar med hjälp av ackord. Till exempel var den moderna sinus då känd som "ett halvt ackord", till vilket en vinkelrät ritades från cirkelns mittpunkt.

År 100 e.Kr. presenterade den antike grekiske matematikern Menelaos av Alexandria, i sin tredelade "Sfär" (Sphaericorum), flera satser som idag fullt ut kan betraktas som "trigonometriska". Den första beskrev kongruensen av två sfäriska trianglar, den andra summan av deras vinklar (som alltid är större än 180 grader), och den tredje regeln "sex magnituder", mer känd som Menelaos sats.

Ungefär samtidigt, från 90 till 160 e.Kr., publicerade astronomen Claudius Ptolemaios antikens mest betydelsefulla trigonometriska avhandling, Almagest, bestående av 13 böcker. Nyckeln till det var ett teorem som beskrev förhållandet mellan diagonaler och motsatta sidor av en konvex fyrhörning inskriven i en cirkel. Enligt Ptolemaios teorem är produkten av den andra alltid lika med summan av den förstas produkter. Baserat på den utvecklades sedan fyra differensformler för sinus och cosinus, samt halvvinkelformeln α / 2.

Indianastudier

Den "ackordala" formen för att beskriva trigonometriska funktioner, som uppstod i det antika Grekland före vår tideräkning, var vanlig i Europa och Asien fram till medeltiden. Och först på 1500-talet i Indien ersattes de av modern sinus och cosinus: med de latinska beteckningarna sin respektive cos. Det var i Indien som de grundläggande trigonometriska förhållandena utvecklades: sin²α + cos²α = 1, sinα = cos(90° − α), sin(α + β) = sinα ⋅ cosβ + cosα ⋅ sinβ och andra.

Huvudsyftet med trigonometri i det medeltida Indien var att hitta ultraprecisa siffror, främst för astronomisk forskning. Detta kan bedömas utifrån de vetenskapliga avhandlingarna om Bhaskara och Aryabhata, inklusive det vetenskapliga verket Surya Siddhanta. Den indiske astronomen Nilakanta Somayaji sönderdelade för första gången i historien arctangensen till en oändlig potensserie, och därefter sönderdelades sinus och cosinus i serier.

I Europa kom samma resultat först under nästa 1700-tal. Serierna för sin och cos härleddes av Isaac Newton 1666, och för bågtangensen 1671 av Gottfried Wilhelm Leibniz. På 1700-talet var forskare engagerade i trigonometriska studier både i Europa och i länderna i Nära / Mellanöstern. Efter att muslimska vetenskapliga verk översatts till latin och engelska på 1800-talet blev de först europeisk och sedan världsvetenskapens egendom, vilket gjorde det möjligt att kombinera och systematisera all kunskap relaterad till trigonometri.

Sammanfattningsvis kan vi säga att trigonometri idag är en oumbärlig disciplin, inte bara för naturvetenskap, utan också för informationsteknologi. Det har länge upphört att vara en tillämpad gren av matematiken, och består av flera stora underavdelningar, inklusive sfärisk trigonometri och goniometri. Den första behandlar egenskaperna hos vinklar mellan storcirklar på en sfär, och den andra handlar om metoder för att mäta vinklar och förhållandet mellan trigonometriska funktioner och varandra.

Trigonometri handlar i första hand om att hitta hörn och kanter i räta trianglar, såväl som i mer komplexa, polyedriska former. Genom att känna till två kvantiteter (en vinkel och en yta eller två sidor) kan du nästan alltid hitta den tredje med hjälp av speciella trigonometriska funktioner och formler.

Trigonometriska funktioner

Det finns bara två direkta funktioner i trigonometri: sinus (sin) och cosinus (cos). Den första är lika med förhållandet mellan det motsatta benet och hypotenusan, och den andra är lika med den intilliggande. I båda fallen menar vi den spetsiga vinkeln för en rätvinklig triangel, som alltid är mindre än 90 grader. I högre matematik kan sin och cos också tillämpas på komplexa och reella tal.

Alla andra trigonometriska funktioner är derivator av sinus och cosinus. Det finns bara fyra av dem:

Tangent (tg) - förhållandet mellan det motsatta benet och det intilliggande - tgx = sinx / cosx.
Cotangent (ctg) - förhållandet mellan det intilliggande benet och det motsatta - ctgx = cosx / sinx.
Andra (sek) — förhållandet mellan hypotenusan och det intilliggande benet — secx = 1 / cosx.
Cosecant (cosec) - förhållandet mellan hypotenusan och det motsatta benet - cosecx = 1 / sinx.

En alternativ notation som används i engelsktalande länder är följande: tangent - tan, cotangens - cot, cosecant - csc. De anges i den vetenskapliga litteraturen, på tryckknappstekniska miniräknare, i elektroniska applikationer.

Trigonometriska formler

Matematiker från europeiska och asiatiska länder har undersökt och förbättrat trigonometriska funktioner i många århundraden och har identifierat ett antal mönster som är inneboende i dem förutom addition, subtraktion, multiplikation och andra matematiska operationer. Idag bygger hela grundkursen i trigonometri, som ingår i skolans läroplan, på detta, nämligen förmågan att reducera och transformera funktioner med hjälp av befintliga axiom och satser.

Enkla identiteter

Även i det medeltida Indien avslöjades de enklaste identiteterna för direkta och derivativa trigonometriska funktioner. I sin färdiga (moderna) form ser de ut så här:

sin²α + cos²α = 1.
1 + tg²α = sek²α.
1 + ctg²α = cosec²α.
tgα ⋅ ctgα = 1.

Ovanstående formler är giltiga för alla värden i argumentet (α). Om vi inför begränsningen att α är större än 0 och mindre än π/2, ökar formlerlistan flera gånger. De viktigaste inkluderar följande:

sinα = √(1 − cos²α).
cosα = √(1 − sin²α).
tgα = sinα / √(1 − sin²α).
ctg = cosα / √(1 − cos²α).
sek = 1 / cosα.
cosec = 1 / sinα.

Det finns 5 giltiga identiteter för var och en av de 6 funktionerna (30 totalt). Alla är listade i tabellen och kan användas för att lösa och förenkla trigonometriska ekvationer med en okänd (α).

Addition och subtraktion

Summorna och skillnaderna mellan två vinklar (α och β) har också sina egna mönster. Med hjälp av trigonometriska formler kan de representeras enligt följande:

sin(α + β) = sinα ⋅ cosβ + sinβ ⋅ cosα.
cos(α + β) = cosα ⋅ cosβ + sinα ⋅ sinβ.
tg(α + β) = (tgα + tgβ) / (1 − tgα ⋅ tgβ).
ctg(α + β) = (ctgα ⋅ ctgβ − 1) / (ctgα + ctgβ).

Dessa formler gäller även för subtraktion. Om tecknen på höger sida av likhetstecknet ändras, så ändras de även på vänster sida. När det gäller tangenten kommer det att se ut så här: tg(α − β) = (tgα − tgβ) / (1 + tgα ⋅ tgβ).

Multiplikation

De trigonometriska funktionerna för två vinklar (α och β) kan också multipliceras med de befintliga formlerna:

sinα ⋅ sinβ = (cos(α − β) − cos(α + β)) / 2.
sinα ⋅ cosβ = (sin(α − β) + sin(α + β)) / 2.
cosα ⋅ cosβ = (cos(α − β) + cos(α + β)) / 2.
tgα ⋅ tgβ = (cos(α − β) − cos(α + β)) / (cos(α − β) + cos(α + β)).
tgα ⋅ ctgβ = (sin(α − β) + sin(α + β)) / (sin(α + β) − sin(α − β)).
ctgα ⋅ ctgβ = (cos(α − β) + cos(α + β)) / (cos(α − β) − cos(α + β)).

Det finns också formler för att höja trigonometriska funktioner till en makt, för universell substitution, för att expandera till oändliga produkter, för att erhålla derivat och antiderivat. Längden på formler kan variera från 2-3 till tiotals tecken, med hjälp av integraler, produkter av polynom, hyperboliska funktioner. De är inte lätta att beräkna även med enkla värden på α och β, och om de är komplexa bråkvärden med många decimaler kommer beräkningarna att kräva mycket tid och ansträngning.

För att förenkla beräkningarna av trigonometriska funktioner (och operationer med dem) används idag speciella onlineräknare. Numeriska värden matas in i dem, varefter programmet beräknas på en bråkdel av en sekund. Att använda sådana applikationer är ännu bekvämare än tekniska miniräknare, och de är tillgängliga helt gratis.

{$ subpageListHide ? ('Show' | translate) : ('Hide' | translate) $}