Calculator ng trigonometrya

Iba pang mga tool

Calculator ng area{$ ',' | translate $}
Calculator ng perimeter{$ ',' | translate $}
Calculator ng dami{$ ',' | translate $}
Talaan ng multiplikasyon{$ ',' | translate $}
Talahanayang peryodiko{$ ',' | translate $}
Calculator ng matrix{$ ',' | translate $}
Calculator ng LCM{$ ',' | translate $}
Calculator ng GCF

Batas ng mga sine, cosine, tangent

Ang trigonometrya ay isang sangay ng matematika na nakatuon sa mga tatsulok, na nagbibigay-daan sa iyong hanapin ang kanilang hindi kilalang mga anggulo at mukha mula sa mga kilalang halaga. Halimbawa, ang anggulo sa haba ng binti at hypotenuse, o ang haba ng hypotenuse ayon sa kilalang anggulo at binti.

May mga natatanging function para sa mga kalkulasyon sa trigonometry: sine, cosine, tangent, cotangent, secant at cosecant. Kadalasang ginagamit ang mga ito sa mga kaugnay na agham at disiplina, halimbawa, sa astronomiya, geodesy, at arkitektura.

Trigonometry sa paligid natin

Ang trigonometrya ay kasama sa pangkalahatang kurikulum ng edukasyon at isa sa mga pangunahing seksyon ng matematika. Ngayon, sa tulong nito, nakakahanap sila ng mga geographic na coordinate, inilatag ang mga ruta ng mga barko, kinakalkula ang mga trajectory ng mga celestial na katawan, nag-compile ng mga programa at mga ulat sa istatistika. Ang mathematical section na ito ay pinaka-in demand:

sa astronomiya;
sa heograpiya;
sa nabigasyon;
sa arkitektura;
sa optika;
sa acoustics;
sa economics (para sa pagsusuri ng mga financial market);
sa probability theory;
sa biology at medisina;
sa electronics at programming.

Sa ngayon, kahit na ang mga tila abstract na sangay gaya ng pharmacology, cryptology, seismology, phonetics at crystallography ay hindi magagawa nang walang trigonometry. Ginagamit ang mga function ng trigonometric sa computed tomography at ultrasound, upang ilarawan ang mga light at sound wave, sa pagtatayo ng mga gusali at istruktura.

Kasaysayan ng trigonometry

Ang unang trigonometriko na mga talahanayan ay ginamit sa kanyang mga sinulat ng sinaunang Griyegong siyentipiko na si Hipparchus ng Nicaea noong 180-125 BC. Pagkatapos sila ay purong inilapat sa kalikasan at ginamit lamang para sa mga kalkulasyon ng astronomya. Walang mga trigonometric function (sine, cosine, at iba pa) sa mga talahanayan ng Hipparchus, ngunit mayroong isang dibisyon ng bilog sa 360 degrees at ang pagsukat ng mga arko nito gamit ang mga kuwerdas. Halimbawa, ang modernong sine ay kilala noon bilang "kalahating chord", kung saan iginuhit ang isang patayo mula sa gitna ng bilog.

Sa taong 100 AD, ang sinaunang Griyegong matematiko na si Menelaus ng Alexandria, sa kanyang tatlong tomo na "Sphere" (Sphaericorum), ay nagpakita ng ilang teorema na ngayon ay ganap na maituturing na "trigonometric". Inilarawan ng una ang congruence ng dalawang spherical triangle, ang pangalawa ay ang kabuuan ng kanilang mga anggulo (na palaging mas malaki sa 180 degrees), at ang pangatlo ay ang "six magnitudes" na panuntunan, na mas kilala bilang Menelaus theorem.

Halos kasabay nito, mula AD 90 hanggang 160, inilathala ng astronomer na si Claudius Ptolemy ang pinakamahalagang trigonometric treatise ng sinaunang panahon, ang Almagest, na binubuo ng 13 aklat. Ang susi dito ay isang teorama na naglalarawan sa ratio ng mga dayagonal at magkabilang panig ng isang matambok na may apat na gilid na nakasulat sa isang bilog. Ayon sa teorama ni Ptolemy, ang produkto ng pangalawa ay palaging katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng una. Batay dito, kasunod na binuo ang 4 na pagkakaibang formula para sa sine at cosine, pati na rin ang half-angle na formula α / 2.

Pag-aaral sa India

Ang "chordal" na anyo ng paglalarawan ng mga trigonometric na function, na lumitaw sa sinaunang Greece bago ang ating panahon, ay karaniwan sa Europa at Asia hanggang sa Middle Ages. At noong ika-16 na siglo lamang sa India ay pinalitan sila ng modernong sine at cosine: na may mga Latin na pagtatalaga na sin at cos, ayon sa pagkakabanggit. Sa India nabuo ang mga pangunahing trigonometric ratio: sin²α + cos²α = 1, sinα = cos(90° − α), sin(α + β) = sinα ⋅ cosβ + cosα ⋅ sinβ at iba pa.

Ang pangunahing layunin ng trigonometry sa medieval na India ay upang mahanap ang mga ultra-tumpak na numero, pangunahin para sa astronomical na pananaliksik. Ito ay maaaring hatulan mula sa mga siyentipikong treatise ng Bhaskara at Aryabhata, kabilang ang siyentipikong gawain na Surya Siddhanta. Ang astronomer ng India na si Nilakanta Somayaji sa unang pagkakataon sa kasaysayan ay na-decompose ang arctangent sa isang walang katapusang serye ng kapangyarihan, at pagkatapos ay ang sine at cosine ay nabulok sa serye.

Sa Europa, ang parehong mga resulta ay dumating lamang sa susunod, XVII siglo. Ang serye para sa kasalanan at cos ay hinango ni Isaac Newton noong 1666, at para sa arc tangent noong 1671 ni Gottfried Wilhelm Leibniz. Noong ika-18 siglo, ang mga siyentipiko ay nakikibahagi sa mga pag-aaral ng trigonometriko kapwa sa Europa at sa mga bansa ng Malapit / Gitnang Silangan. Matapos maisalin ang mga akdang pang-agham ng Muslim sa Latin at Ingles noong ika-19 na siglo, naging pag-aari ang mga ito ng unang European at pagkatapos ng agham ng mundo, naging posible na pagsamahin at gawing sistema ang lahat ng kaalaman na may kaugnayan sa trigonometrya.

Sa kabuuan, masasabi natin na ngayon ang trigonometrya ay isang kailangang-kailangan na disiplina hindi lamang para sa mga natural na agham, kundi pati na rin para sa teknolohiya ng impormasyon. Matagal na itong tumigil na maging isang inilapat na sangay ng matematika, at binubuo ng ilang malalaking subsection, kabilang ang spherical trigonometry at goniometry. Isinasaalang-alang ng una ang mga katangian ng mga anggulo sa pagitan ng mga malalaking bilog sa isang globo, at ang pangalawa ay tumatalakay sa mga pamamaraan para sa pagsukat ng mga anggulo at ang ratio ng mga trigonometric na function sa isa't isa.

Mga pormula ng sine, cosine, tanghente

Ang trigonometrya ay pangunahing tungkol sa paghahanap ng mga sulok at gilid sa mga tamang tatsulok, gayundin sa mas kumplikadong mga polyhedral na hugis. Alam ang dalawang dami (isang anggulo at isang mukha o dalawang mukha), halos palaging mahahanap mo ang pangatlo gamit ang mga espesyal na function at formula ng trigonometriko.

Mga function ng trigonometriko

Mayroon lamang dalawang direktang function sa trigonometry: sine (sin) at cosine (cos). Ang una ay katumbas ng ratio ng kabaligtaran na binti sa hypotenuse, at ang pangalawa ay katumbas ng katabi. Sa parehong mga kaso, ang ibig naming sabihin ay ang acute angle ng isang right triangle, na palaging mas mababa sa 90 degrees. Sa mas mataas na matematika, ang sin at cos ay maaari ding ilapat sa kumplikado at tunay na mga numero.

Lahat ng iba pang trigonometric function ay derivatives ng sine at cosine. Apat lang sila:

Tangent (tg) - ang ratio ng tapat na paa sa katabing paa - tgx = sinx / cosx.
Cotangent (ctg) - ang ratio ng katabing binti sa tapat ng isa - ctgx = cosx / sinx.
Ikalawa (seg) — ang ratio ng hypotenuse sa katabing binti — secx = 1 / cosx.
Cosecant (cosec) - ang ratio ng hypotenuse sa tapat na binti - cosecx = 1 / sinx.

Ang isang alternatibong notasyon na ginagamit sa mga bansang nagsasalita ng Ingles ay ang mga sumusunod: tangent - tan, cotangent - cot, cosecant - csc. Ang mga ito ay ipinahiwatig sa siyentipikong literatura, sa push-button engineering calculators, sa mga electronic application.

Mga trigonometric na formula

Ang mga matematiko ng mga bansang Europeo at Asyano ay nagsasaliksik at nagpapahusay ng mga function ng trigonometriko sa loob ng maraming siglo, at natukoy ang ilang mga pattern na likas sa mga ito bilang karagdagan, pagbabawas, pagpaparami at iba pang mga operasyong matematika. Sa ngayon, ang buong pangunahing kurso ng trigonometrya, na bahagi ng kurikulum ng paaralan, ay nakabatay dito, ibig sabihin, ang kakayahang bawasan at baguhin ang mga function gamit ang mga umiiral na axiom at theorems.

Mga simpleng pagkakakilanlan

Kahit sa medieval na India, ang pinakasimpleng pagkakakilanlan na naaangkop sa mga direktang at derivative trigonometriko function ay ipinahayag. Sa kanilang tapos (modernong) anyo, ganito ang hitsura nila:

sin²α + cos²α = 1.
1 + tg²α = sec²α.
1 + ctg²α = cosec²α.
tgα ⋅ ctgα = 1.

Ang mga formula sa itaas ay wasto para sa anumang mga halaga ng argumento (α). Kung ipinakilala namin ang hadlang na ang α ay mas malaki sa 0 at mas mababa sa π/2, ang listahan ng mga formula ay tataas nang maraming beses. Ang mga pangunahing ay kinabibilangan ng mga sumusunod:

sinα = √(1 − cos²α).
cosα = √(1 − sin²α).
tgα = sinα / √(1 − sin²α).
ctg = cosα / √(1 − cos²α).
seg = 1 / cosα.
cosec = 1 / sinα.

May 5 wastong pagkakakilanlan para sa bawat isa sa 6 na function (30 sa kabuuan). Lahat ng mga ito ay nakalista sa talahanayan at maaaring gamitin upang lutasin at pasimplehin ang mga trigonometric equation na may isang hindi kilalang (α).

Pagdaragdag at pagbabawas

Ang mga kabuuan at pagkakaiba ng dalawang anggulo (α at β) ay mayroon ding sariling mga pattern. Gamit ang mga trigonometrikong formula, maaari silang katawanin tulad ng sumusunod:

sin(α + β) = sinα ⋅ cosβ + sinβ ⋅ cosα.
cos(α + β) = cosα ⋅ cosβ + sinα ⋅ sinβ.
tg(α + β) = (tgα + tgβ) / (1 − tgα ⋅ tgβ).
ctg(α + β) = (ctgα ⋅ ctgβ − 1) / (ctgα + ctgβ).

Nalalapat din ang mga formula na ito sa pagbabawas. Kung ang mga palatandaan sa kanang bahagi ng pantay na tanda ay nagbabago, pagkatapos ay nagbabago rin sila sa kaliwang bahagi. Sa kaso ng tangent, magiging ganito ang hitsura: tg(α − β) = (tgα − tgβ) / (1 + tgα ⋅ tgβ).

Pagpaparami

Maaari ding i-multiply nang magkasama ang mga trigonometrikong function ng dalawang anggulo (α at β) gamit ang mga umiiral nang formula:

sinα ⋅ sinβ = (cos(α − β) − cos(α + β)) / 2.
sinα ⋅ cosβ = (sin(α − β) + sin(α + β)) / 2.
cosα ⋅ cosβ = (cos(α − β) + cos(α + β)) / 2.
tgα ⋅ tgβ = (cos(α − β) − cos(α + β)) / (cos(α − β) + cos(α + β)).
tgα ⋅ ctgβ = (sin(α − β) + sin(α + β)) / (sin(α + β) − sin(α − β)).
ctgα ⋅ ctgβ = (cos(α − β) + cos(α + β)) / (cos(α − β) − cos(α + β)).

Mayroon ding mga formula para sa pagpapataas ng mga trigonometric function sa isang kapangyarihan, para sa unibersal na pagpapalit, para sa pagpapalawak sa walang katapusang mga produkto, para sa pagkuha ng mga derivative at antiderivatives. Ang haba ng mga formula ay maaaring mag-iba mula 2-3 hanggang sampu ng mga character, gamit ang mga integral, produkto ng polynomial, hyperbolic function. Ang mga ito ay hindi madaling kalkulahin kahit na may mga simpleng halaga ng α at β, at kung ang mga ito ay kumplikadong mga fractional na halaga na may maraming mga decimal, ang mga kalkulasyon ay mangangailangan ng maraming oras at pagsisikap.

Upang gawing simple ang mga kalkulasyon ng trigonometriko function (at mga pagpapatakbo sa kanila), ngayon ay ginagamit ang mga espesyal na online na calculator. Ang mga numerong halaga ay ipinasok sa kanila, pagkatapos ay kinakalkula ng programa sa isang bahagi ng isang segundo. Ang paggamit ng mga naturang application ay mas maginhawa kaysa sa mga engineering calculator, at ang mga ito ay ganap na magagamit nang walang bayad.