Тригонометрія

Тригонометрія — розділ математики, присвячений трикутникам, що дозволяє знаходити їх невідомі кути та грані за відомими величинами. Наприклад, кут по довжині катета і гіпотенузи, або довжину гіпотенузи за відомим кутом і катетом.

Для обчислень у тригонометрії існують свої, унікальні функції: синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс та косеканс. Вони часто застосовуються в суміжних науках і дисциплінах, наприклад, в астрономії, геодезії, архітектурі.

Тригонометрія навколо нас

Тригонометрія входить до загальноосвітньої програми навчання і є одним із фундаментальних розділів математики. Сьогодні з її допомогою знаходять географічні координати, прокладають маршрути судів, обчислюють траєкторії небесних тіл, складають програми та статистичні звіти. Найбільш затребуваний цей математичний розділ:

в астрономії;
у географії;
у навігації;
в архітектурі;
в оптиці;
в акустиці;
в економіці (для аналізу фінансових ринків);
теоретично ймовірностей;
у біології та медицині;
в електроніці та програмуванні.

Без тригонометрії сьогодні не обходяться навіть такі, на перший погляд, абстрактні галузі, як фармакологія, криптологія, сейсмологія, фонетика та кристалографія. Тригонометричні функції застосовують у комп'ютерній томографії та УЗД, для опису світлових та звукових хвиль, у будівництві будівель та споруд.

Історія тригонометрії

Перші тригонометричні таблиці використовував у своїх працях давньогрецький вчений Гіппарх Нікейський у 180-125 роках до нашої ери. Тоді вони мали суто прикладний характер і застосовувалися лише для астрономічних обчислень. Тригонометричних функцій (синусу, косинуса і так далі) в таблицях Гіппарха ще не було, а було розподіл кола на 360 градусів і вимір її дуг за допомогою хорд. Наприклад, сучасний синус тоді був відомий як «половина хорди», до якої провели перпендикуляр від центру кола.

У 100 році нашої ери давньогрецький математик Менелай Олександрійський у своїй тритомній «Сфериці» (Sphaericorum) представив кілька теорем, які сьогодні можна повною мірою вважати «тригонометричними». Перша описувала конгруентність двох сферичних трикутників, друга — суму їх кутів (яка завжди більша за 180 градусів), а третя — правило «шості величин», відоміше як теорема Менелая.

Приблизно водночас — з 90 до 160-х років нашої ери астроном Клавдій Птолемей видав найзначніший тригонометричний трактат античності «Альмагест» (Almagest), що складається з 13 книг. Ключовою в ньому була теорема, що описує співвідношення діагоналей та протилежних сторін опуклого чотирикутника, вписаного в коло. Відповідно до теореми Птолемея, твір других завжди дорівнює сумі творів перших. На її основі згодом було розроблено 4 формули різниці для синуса та косинуса, а також формула половинного кута α / 2.

Індійські дослідження

Хордова форма опису тригонометричних функцій, що виникла в Стародавній Греції ще до нашої ери, була поширена в Європі та Азії до самого Середньовіччя. І лише в XVI столітті в Індії вони були замінені сучасними синусом і косинус: з латинськими позначеннями sin і cos відповідно. Саме в Індії були розроблені основні тригонометричні співвідношення: sin²α + cos²α = 1, sinα = cos(90° − α), sin(α + β) = sinα ⋅ cosβ + cosα ⋅ sinβ та інші.

Основним призначенням тригонометрії в середньовічній Індії було знаходження надточних чисел, насамперед для астрономічних досліджень. Про це можна судити з наукових трактатів Бхаскари та Аріабхати, у тому числі з наукової праці «Сурья-сіддханта». Індійський астроном Нілаканта Сомаяджі вперше в історії розклав арктангенс на нескінченний статечний ряд, а згодом на ряди були розкладені синус та косинус.

У Європі до тих же результатів дійшли лише в наступному XVII столітті. Ряди для sin і cos були виведені Ісааком Ньютоном в 1666, а для арктангенса - в 1671 - Готфрідом Вільгельмом Лейбніцем. У XVIII столітті тригонометричними дослідженнями займалися вчені і в Європі, і в країнах Близького/Середнього Сходу. Після того, як мусульманські наукові праці в XIX столітті були перекладені латиною та англійською мовою, вони стали надбанням спочатку європейської, а потім і світової науки, дозволили об'єднати та систематизувати всі знання щодо тригонометрії.

Підбиваючи підсумок, можна сказати, що сьогодні тригонометрія — незамінна дисципліна не лише для природничих наук, а й для інформаційних технологій. Вона давно перестала бути прикладним розділом математики, і складається з кількох великих підрозділів, у тому числі з сферичної тригонометрії та гоніометрії. Перша розглядає властивості кутів між великими колами на сфері, а друга — способи вимірювання кутів та співвідношення тригонометричних функцій між собою.

Тригонометрія в першу чергу присвячена знаходженню кутів та граней у прямокутних трикутниках, а також у більш складних, багатогранних фігурах. Знаючи дві величини (кут і грань або дві грані), майже завжди можна знайти третю — використовуючи спеціальні тригонометричні функції та формули.

Тригонометричні функції

У тригонометрії всього дві прямі функції: синус (sin) і косинус (cos). Перший дорівнює відношенню протилежного катета до гіпотенузи, а другий - прилеглого. В обох випадках мається на увазі гострий кут прямокутного трикутника, який завжди менший за 90 градусів. У вищій математиці sin та cos також можна застосовувати щодо комплексних та речових чисел.

Всі інші тригонометричні функції є похідними синуса та косинуса. Їх лише чотири:

Тангенс (tg) - відношення протилежного катета до прилеглого - tgx = sinx / cosx.
Котангенс (ctg) - відношення прилеглого катета до протилежного - ctgx = cosx / sinx.
Секанс (sec) - відношення гіпотенузи до прилеглого катета - secx = 1 / cosx.
Косеканс (cosec) - ставлення гіпотенузи до протилежного катету - cosecx = 1 / sinx.

Альтернативна система позначень, що застосовується в англомовних країнах, має такий вигляд: тангенс — tan, котангенс — cot, косеканс — csc. Вони вказуються в науковій літературі, на кнопкових інженерних калькуляторах, в електронних програмах.

Тригонометричні формули

Математики європейських та азіатських країн протягом багатьох століть досліджували та вдосконалювали тригонометричні функції, і виявили цілу низку закономірностей, властивих їм при додаванні, відніманні, множенні та інших математичних операціях. На цьому сьогодні засновано весь базовий курс тригонометрії, що входить до шкільної програми, а саме — на вмінні скорочувати та перетворювати функції, використовуючи існуючі аксіоми та теореми.

Найпростіші тотожності

Ще в середньовічній Індії були виявлені найпростіші тотожності, які застосовуються до прямих і похідних тригонометричних функцій. У закінченому (сучасному) вигляді вони мають такий вигляд:

sin²α + cos²α = 1.
1 + tg²α = sec²α.
1 + ctg²α = cosec²α.
tgα ⋅ ctgα = 1.

Перелічені формули дійсні за будь-яких значень аргументу (α). Якщо ж ввести обмеження, що більше 0 і менше π/2, список формул збільшується в кілька разів. До основних їх можна віднести такі:

sinα = √(1 − cos²α).
cosα = √(1 − sin²α).
tgα = sinα / √(1 − sin²α).
ctg = cosα / √(1 − cos²α).
sec = 1 / cosα.
cosec = 1 / sinα.

Для кожної з 6 функцій існує 5 вірних тотожностей (сумарна кількість становить 30). Всі вони записані в таблиці та можуть використовуватися для вирішення та спрощення тригонометричних рівнянь з однією невідомою (α).

Складання та віднімання

Суми та різниці двох кутів (α і β) теж мають свої закономірності. Із застосуванням тригонометричних формул їх можна представити в наступному вигляді:

sin(α + β) = sinα ⋅ cosβ + sinβ ⋅ cosα.
cos(α + β) = cosα ⋅ cosβ + sinα ⋅ sinβ.
tg(α + β) = (tgα + tgβ) / (1 − tgα ⋅ tgβ).
ctg(α + β) = (ctgα ⋅ ctgβ − 1) / (ctgα + ctgβ).

Ці формули застосовні і до віднімання. Якщо змінюються знаки з боку від знака рівності, всі вони також змінюються і з лівого боку. У випадку з тангенсом це буде виглядати так: tg(α − β) = (tgα − tgβ) / (1 + tgα ⋅ tgβ).

Умноження

Тригонометричні функції двох кутів (α і β) також можна перемножувати між собою, використовуючи існуючі формули:

sinα ⋅ sinβ = (cos(α − β) − cos(α + β)) / 2.
sinα ⋅ cosβ = (sin(α − β) + sin(α + β)) / 2.
cosα ⋅ cosβ = (cos(α − β) + cos(α + β)) / 2.
tgα ⋅ tgβ = (cos(α − β) − cos(α + β)) / (cos(α − β) + cos(α + β)).
tgα ⋅ ctgβ = (sin(α - β) + sin(α + β)) / (sin(α + β) - sin(α - β)).
ctgα ⋅ ctgβ = (cos(α − β) + cos(α + β)) / (cos(α − β) − cos(α + β)).

Існують також формули для зведення тригонометричних функцій у ступені, для універсальної підстановки, для розкладання на нескінченні твори, для одержання похідних та первісних. Довжина формул може змінюватись від 2-3 до десятків символів, з використанням інтегралів, творів багаточленів, гіперболічних функцій. Їх непросто порахувати навіть при простих значеннях α і β, а якщо вони є складними дробовими значеннями з безліччю символів після коми, розрахунки вимагатимуть масу часу і сил.

Для спрощення обчислень тригонометричних функцій (і операцій із ними) сьогодні використовують спеціальні онлайн-калькулятори. Вони вводяться числові значення, після чого програма проводить розрахунок за частки секунди. Використовувати такі програми ще зручніше, ніж інженерні калькулятори, і вони доступні абсолютно безкоштовно.

{$ subpageListHide ? ('Show' | translate) : ('Hide' | translate) $}

Тригонометрія

Теорема синусів, косинусів і тангенсів