Trình tính toán lượng giác

Lượng giác là một nhánh toán học dành cho hình tam giác, cho phép bạn tìm các góc và mặt chưa biết của chúng từ các giá trị đã biết. Ví dụ: góc dọc theo chiều dài của cạnh huyền và cạnh huyền hoặc độ dài của cạnh huyền theo góc và cạnh huyền đã biết.

Có các hàm duy nhất để tính toán trong lượng giác: sin, cosin, tangent, cotang, secant và cosecant. Chúng thường được sử dụng trong các ngành khoa học và ngành liên quan, chẳng hạn như trong thiên văn học, trắc địa và kiến trúc.

Lượng giác quanh ta

Lượng giác được đưa vào chương trình giáo dục phổ thông và là một trong những phần cơ bản của toán học. Ngày nay, với sự giúp đỡ của nó, họ tìm ra tọa độ địa lý, đặt lộ trình của tàu, tính toán quỹ đạo của các thiên thể, biên dịch các chương trình và báo cáo thống kê. Phần toán học này được yêu cầu nhiều nhất:

trong thiên văn học;
về địa lý;
trong điều hướng;
trong kiến trúc;
trong quang học;
trong âm học;
trong kinh tế học (để phân tích thị trường tài chính);
trong lý thuyết xác suất;
trong sinh học và y học;
trong lĩnh vực điện tử và lập trình.

Ngày nay, ngay cả những ngành có vẻ trừu tượng như dược học, mật mã học, địa chấn học, ngữ âm học và tinh thể học cũng không thể thiếu lượng giác. Các hàm lượng giác được sử dụng trong chụp cắt lớp vi tính và siêu âm, để mô tả ánh sáng và sóng âm thanh, trong việc xây dựng các tòa nhà và công trình kiến trúc.

Lịch sử của lượng giác

Các bảng lượng giác đầu tiên được nhà khoa học Hy Lạp cổ đại Hipparchus của Nicaea sử dụng trong các tác phẩm của mình vào năm 180-125 trước Công nguyên. Sau đó, chúng hoàn toàn được áp dụng trong tự nhiên và chỉ được sử dụng để tính toán thiên văn. Không có các hàm lượng giác (sine, cos, v.v.) trong các bảng của Hipparchus, nhưng có sự chia đường tròn thành 360 độ và phép đo các cung của nó bằng các dây cung. Ví dụ, sin hiện đại khi đó được gọi là "nửa hợp âm", theo đó một đường vuông góc được vẽ từ tâm của vòng tròn.

Vào năm 100 sau Công nguyên, nhà toán học Hy Lạp cổ đại Menelaus của Alexandria, trong ba tập "Quả cầu" (Sphaericorum) của ông, đã trình bày một số định lý mà ngày nay hoàn toàn có thể được coi là "lượng giác". Định lý đầu tiên mô tả sự đồng dạng của hai tam giác cầu, định lý thứ hai là tổng các góc của chúng (luôn lớn hơn 180 độ) và định lý thứ ba là quy tắc "sáu độ lớn", còn được gọi là định lý Menelaus.

Gần như cùng lúc, từ năm 90 đến năm 160 sau Công nguyên, nhà thiên văn học Claudius Ptolemy đã xuất bản chuyên luận lượng giác quan trọng nhất thời cổ đại, Almagest, gồm 13 cuốn. Chìa khóa của nó là một định lý mô tả tỷ lệ giữa các đường chéo và các cạnh đối diện của một tứ giác lồi nội tiếp trong một đường tròn. Theo định lý Ptolemy, tích của số thứ hai luôn bằng tổng các tích của số thứ nhất. Dựa vào đó, 4 công thức sai phân của sin và cosin sau đó đã được phát triển, cũng như công thức nửa góc α / 2.

Nghiên cứu Ấn Độ

Dạng "dạng hợp âm" để mô tả các hàm lượng giác, xuất hiện ở Hy Lạp cổ đại trước thời đại của chúng ta, phổ biến ở Châu Âu và Châu Á cho đến thời Trung cổ. Và chỉ đến thế kỷ 16 ở Ấn Độ, chúng mới được thay thế bằng sin và cos hiện đại: với các ký hiệu Latinh sin và cos tương ứng. Chính tại Ấn Độ, các tỷ số lượng giác cơ bản đã được phát triển: sin²α + cos²α = 1, sinα = cos(90° − α), sin(α + β) = sinα ⋅ cosβ + cosα ⋅ sinβ và các tỷ số khác.

Mục đích chính của lượng giác ở Ấn Độ thời trung cổ là tìm ra những con số siêu chính xác, chủ yếu cho nghiên cứu thiên văn. Điều này có thể được đánh giá từ các chuyên luận khoa học của Bhaskara và Aryabhata, bao gồm cả công trình khoa học Surya Siddhanta. Nhà thiên văn học Ấn Độ Nilakanta Somayaji lần đầu tiên trong lịch sử đã phân tách arctang thành một chuỗi lũy thừa vô hạn, và sau đó sin và cosin được phân tách thành chuỗi.

Ở châu Âu, kết quả tương tự chỉ đến vào thế kỷ XVII tiếp theo. Chuỗi cho tội lỗi và cos được bắt nguồn bởi Isaac Newton vào năm 1666, và cho tiếp tuyến cung vào năm 1671 bởi Gottfried Wilhelm Leibniz. Vào thế kỷ 18, các nhà khoa học đã tham gia vào nghiên cứu lượng giác ở cả Châu Âu và các quốc gia Cận Đông / Trung Đông. Sau khi các công trình khoa học của người Hồi giáo được dịch sang tiếng Latinh và tiếng Anh vào thế kỷ 19, chúng đã trở thành tài sản của khoa học châu Âu đầu tiên và sau đó là khoa học thế giới, cho phép kết hợp và hệ thống hóa mọi kiến thức liên quan đến lượng giác.

Tóm lại, có thể nói lượng giác ngày nay là một bộ môn không thể thiếu không chỉ của khoa học tự nhiên mà còn của công nghệ thông tin. Nó từ lâu đã không còn là một nhánh toán học ứng dụng, và bao gồm một số tiểu mục lớn, bao gồm lượng giác cầu và góc học. Phần đầu tiên xem xét tính chất của các góc giữa các đường tròn lớn trên một mặt cầu và phần thứ hai liên quan đến các phương pháp đo góc và tỷ số của các hàm lượng giác với nhau.

Lượng giác chủ yếu là tìm các góc và cạnh trong tam giác vuông, cũng như trong các hình đa diện, phức tạp hơn. Khi biết hai đại lượng (một góc và một mặt hoặc hai mặt), hầu như bạn luôn có thể tìm được đại lượng thứ ba bằng cách sử dụng các công thức và hàm lượng giác đặc biệt.

Hàm lượng giác

Chỉ có hai hàm trực tiếp trong lượng giác: sin (sin) và cosin (cos). Cái đầu tiên bằng tỷ lệ của chân đối diện với cạnh huyền và cái thứ hai bằng với cạnh bên. Trong cả hai trường hợp, chúng tôi muốn nói đến góc nhọn của một tam giác vuông, góc này luôn nhỏ hơn 90 độ. Trong toán học cao hơn, sin và cos cũng có thể được áp dụng cho số phức và số thực.

Tất cả các hàm lượng giác khác đều là đạo hàm của sin và cosin. Chỉ có bốn người trong số họ:

Tiếp tuyến (tg) - tỷ lệ của cạnh đối diện với cạnh liền kề - tgx = sinx / cosx.
Cotang (ctg) - tỷ lệ của cạnh liền kề với cạnh đối diện - ctgx = cosx / sinx.
Giây (giây) — tỷ lệ giữa cạnh huyền và cạnh kề — secx = 1 / cosx.
Cosecant (cosec) - tỷ lệ giữa cạnh huyền và cạnh đối diện - cosecx = 1 / sinx.

Một ký hiệu thay thế được sử dụng ở các quốc gia nói tiếng Anh như sau: tiếp tuyến - tan, cotang - cot, cosecant - csc. Chúng được chỉ định trong tài liệu khoa học, trên máy tính kỹ thuật bấm nút, trong các ứng dụng điện tử.

Công thức lượng giác

Các nhà toán học của các nước Châu Âu và Châu Á đã nghiên cứu và cải tiến các hàm lượng giác trong nhiều thế kỷ, đồng thời đã xác định được một số mẫu vốn có trong các phép toán cộng, trừ, nhân và các phép toán khác. Ngày nay, toàn bộ khóa học cơ bản về lượng giác, là một phần của chương trình giảng dạy ở trường, đều dựa trên điều này, cụ thể là khả năng rút gọn và biến đổi các hàm bằng cách sử dụng các tiên đề và định lý hiện có.

Nhận dạng đơn giản

Ngay cả ở Ấn Độ thời trung cổ, các đồng nhất thức đơn giản nhất có thể áp dụng cho các hàm lượng giác trực tiếp và đạo hàm đã được tiết lộ. Ở dạng hoàn thiện (hiện đại), chúng trông như thế này:

sin²α + cos²α = 1.
1 + tg²α = giây²α.
1 + ctg²α = cosec²α.
tgα ⋅ ctgα = 1.

Các công thức trên có giá trị với mọi giá trị của đối số (α). Nếu chúng ta giới thiệu ràng buộc rằng α lớn hơn 0 và nhỏ hơn π/2, thì danh sách các công thức sẽ tăng lên nhiều lần. Những cái chính bao gồm:

sinα = √(1 − cos²α).
cosα = √(1 − sin²α).
tgα = sinα / √(1 − sin²α).
ctg = cosα / √(1 − cos²α).
sec = 1 / cosα.
cosec = 1 / sinα.

Có 5 danh tính hợp lệ cho mỗi trong số 6 chức năng (tổng cộng 30 chức năng). Tất cả chúng đều được liệt kê trong bảng và có thể dùng để giải cũng như đơn giản hóa các phương trình lượng giác với một ẩn số (α).

Cộng và trừ

Tổng và hiệu của hai góc (α và β) cũng có quy luật riêng. Sử dụng các công thức lượng giác, chúng có thể được biểu diễn như sau:

sin(α + β) = sinα ⋅ cosβ + sinβ ⋅ cosα.
cos(α + β) = cosα ⋅ cosβ + sinα ⋅ sinβ.
tg(α + β) = (tgα + tgβ) / (1 − tgα ⋅ tgβ).
ctg(α + β) = (ctgα ⋅ ctgβ − 1) / (ctgα + ctgβ).

Những công thức này cũng áp dụng cho phép trừ. Nếu các dấu ở vế phải của dấu bằng thay đổi thì vế trái của dấu bằng cũng thay đổi. Trong trường hợp tiếp tuyến, nó sẽ có dạng như sau: tg(α − β) = (tgα − tgβ) / (1 + tgα ⋅ tgβ).

Phép nhân

Các hàm lượng giác của hai góc (α và β) cũng có thể được nhân với nhau bằng các công thức hiện có:

sinα ⋅ sinβ = (cos(α − β) − cos(α + β))/2.
sinα ⋅ cosβ = (sin(α − β) + sin(α + β))/2.
cosα ⋅ cosβ = (cos(α − β) + cos(α + β))/2.
tgα ⋅ tgβ = (cos(α − β) − cos(α + β)) / (cos(α − β) + cos(α + β)).
tgα ⋅ ctgβ = (sin(α − β) + sin(α + β)) / (sin(α + β) − sin(α − β)).
ctgα ⋅ ctgβ = (cos(α − β) + cos(α + β)) / (cos(α − β) − cos(α + β)).

Cũng có các công thức để nâng các hàm lượng giác lên lũy thừa, để thay thế phổ quát, để khai triển thành các tích vô hạn, để thu được đạo hàm và phản nguyên hàm. Độ dài của công thức có thể thay đổi từ 2-3 đến hàng chục ký tự, sử dụng tích phân, tích của đa thức, hàm hyperbol. Chúng không dễ tính toán ngay cả với các giá trị đơn giản của α và β, và nếu chúng là các giá trị phân số phức tạp với nhiều số thập phân, thì việc tính toán sẽ đòi hỏi nhiều thời gian và công sức.

Để đơn giản hóa việc tính toán các hàm lượng giác (và các phép toán với chúng), ngày nay các máy tính trực tuyến đặc biệt được sử dụng. Các giá trị số được nhập vào chúng, sau đó chương trình sẽ tính toán trong một phần giây. Việc sử dụng các ứng dụng như vậy thậm chí còn thuận tiện hơn so với máy tính kỹ thuật và chúng hoàn toàn miễn phí.

{$ subpageListHide ? ('Show' | translate) : ('Hide' | translate) $}