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正弦、余弦、正切定理

三角学是专门研究三角形的数学分支，可让您根据已知值求出未知的角度和面。比如沿腿长和斜边的夹角，或者根据已知的角和腿求斜边的长度。

三角学中有独特的计算函数：正弦、余弦、正切、余切、正割和余割。它们经常用于相关科学和学科，例如天文学、大地测量学和建筑学。

我们身边的三角学

三角学包含在通识教育课程中，是数学的基础部分之一。今天，在它的帮助下，他们可以找到地理坐标、铺设船只航线、计算天体运行轨迹、编写程序和统计报告。这个数学部分是最需要的：

天文学；
地理学；
在导航中；
建筑学；
光学；
声学；
经济学（用于金融市场分析）；
概率论；
生物学和医学；
电子和编程专业。

今天，即使是药理学、密码学、地震学、语音学和晶体学等看似抽象的分支也离不开三角学。三角函数用于计算机断层扫描和超声波，用于描述光波和声波，用于建筑物和结构的建造。

三角学的历史

公元前 180-125 年，尼西亚的古希腊科学家喜帕恰斯在他的著作中使用了第一个三角函数表。然后它们纯粹应用于自然界，仅用于天文计算。喜帕恰斯的表格中没有三角函数（正弦、余弦等），但有将圆划分为 360 度并使用弦测量其弧度的方法。例如，现代正弦在当时被称为“半弦”，从圆心向其垂直。

公元100年，古希腊亚历山大港的数学家墨涅拉俄斯在他的三卷本《球体》（Sphaericorum）中，提出了今天完全可以被认为是“三角函数”的几个定理。第一个描述了两个球形三角形的全等，第二个描述了它们的角度之和（始终大于 180 度），第三个描述了“六等”规则，即广为人知的 Menelaus 定理。

大约在同一时间，从公元 90 年到 160 年，天文学家克劳迪乌斯·托勒密 (Claudius Ptolemy) 出版了古代最重要的三角学论文《天文学大成》(Almagest)，共 13 本书。它的关键是一个定理，该定理描述了对角线与圆内接凸四边形的对边之比。根据托勒密定理，第二个的乘积总是等于第一个的乘积之和。在此基础上，随后发展出4个正余弦差分公式，以及半角公式α/2。

印度研究

描述三角函数的“弦”形式出现在我们这个时代之前的古希腊，在中世纪之前在欧洲和亚洲很常见。直到 16 世纪在印度，它们才被现代的正弦和余弦所取代：分别用拉丁语命名为 sin 和 cos。基本的三角函数比率是在印度发展起来的：sin²α + cos²α = 1、sinα = cos(90° − α)、sin(α + β) = sinα ⋅ cosβ + cosα ⋅ sinβ 等等。

在中世纪的印度，三角学的主要目的是寻找超精确的数字，主要用于天文学研究。这可以从 Bhaskara 和 Aryabhata 的科学论文中判断出来，包括科学著作 Surya Siddhanta。印度天文学家Nilakanta Somayaji在历史上首次将反正切分解为无穷大的幂级数，随后将正弦和余弦分解为级数。

在欧洲，同样的结果只是在接下来的十七世纪才出现。 sin 和 cos 的级数由艾萨克·牛顿 (Isaac Newton) 于 1666 年导出，反正切的级数由戈特弗里德·威廉·莱布尼茨 (Gottfried Wilhelm Leibniz) 于 1671 年导出。在 18 世纪，科学家们在欧洲和近东/中东国家从事三角函数研究。在 19 世纪穆斯林科学著作被翻译成拉丁文和英文后，它们首先成为欧洲然后是世界科学的财产，使得整合和系统化与三角学相关的所有知识成为可能。

综上所述，我们可以说今天的三角学不仅是自然科学不可或缺的学科，也是信息技术不可或缺的学科。它早已不再是数学的应用分支，由几个大的子部分组成，包括球面三角学和测角学。第一个考虑球体上大圆之间角度的性质，第二个涉及测量角度的方法和三角函数之间的比值。

正弦、余弦、正切公式

三角学主要是关于寻找直角三角形以及更复杂的多面体形状中的角和边。知道两个量（一个角和一个面或两个面）后，您几乎总能使用特殊的三角函数和公式找到第三个量。

三角函数

三角学中只有两个正函数：正弦（sin）和余弦（cos）。第一个等于对边与斜边之比，第二个等于相邻边。在这两种情况下，我们指的是直角三角形的锐角，它始终小于 90 度。在高等数学中，sin 和 cos 也可以应用于复数和实数。

所有其他三角函数都是正弦和余弦的导数。只有四个：

正切 (tg) - 对边与相邻边的比率 - tgx = sinx / cosx。
余切 (ctg) - 相邻边与对边边的比率 - ctgx = cosx / sinx。
第二（sec）——斜边与相邻边的比值——secx = 1 / cosx。
余割 (cosec) - 斜边与对边的比率 - cosecx = 1 / sinx。

英语国家/地区使用的另一种表示法如下：正切 - tan、余切 - cot、余割 - csc。它们在科学文献、按钮式工程计算器和电子应用中都有提及。

三角函数公式

欧洲和亚洲国家的数学家几个世纪以来一直在研究和改进三角函数，并在加法、减法、乘法和其他数学运算中发现了一些内在的模式。今天，作为学校课程一部分的三角学的整个基础课程都以此为基础，即使用现有公理和定理对函数进行归约和变换的能力。

简单身份

即使在中世纪的印度，也揭示了适用于直接三角函数和导数三角函数的最简单恒等式。在他们完成的（现代）形式中，它们看起来像这样：

sin²α + cos²α = 1。
1 + tg²α = sec²α。
1 + ctg²α = cosec²α。
tgα ⋅ ctgα = 1。

以上公式对自变量(α)的任意值都有效。如果我们引入 α 大于 0 且小于 π/2 的约束，公式列表会增加几倍。主要包括以下内容：

sinα = √(1 − cos²α)。
cosα = √(1 − sin²α)。
tgα = sinα / √(1 − sin²α)。
ctg = cosα / √(1 − cos²α)。
sec = 1 / cosα。
cosec = 1 / sinα。

6 个函数各有 5 个有效标识（总共 30 个）。所有这些都列在表中，可用于求解和简化具有一个未知数 (α) 的三角方程。

加减法

两个角（α 和 β）的和与差也有自己的规律。使用三角函数公式，它们可以表示如下：

sin(α + β) = sinα ⋅ cosβ + sinβ ⋅ cosα。
cos(α + β) = cosα ⋅ cosβ + sinα ⋅ sinβ。
tg(α + β) = (tgα + tgβ) / (1 − tgα ⋅ tgβ)。
ctg(α + β) = (ctgα ⋅ ctgβ − 1) / (ctgα + ctgβ)。

这些公式也适用于减法。如果等号右侧的符号发生变化，则它们在左侧也会发生变化。在切线的情况下，它看起来像这样：tg(α − β) = (tgα − tgβ) / (1 + tgα ⋅ tgβ)。

乘法

两个角（α 和 β）的三角函数也可以使用现有公式相乘：

sinα ⋅ sinβ = (cos(α − β) − cos(α + β)) / 2。
sinα ⋅ cosβ = (sin(α − β) + sin(α + β)) / 2。
cosα ⋅ cosβ = (cos(α − β) + cos(α + β)) / 2。
tgα ⋅ tgβ = (cos(α − β) − cos(α + β)) / (cos(α − β) + cos(α + β))。
tgα ⋅ ctgβ = (sin(α − β) + sin(α + β)) / (sin(α + β) − sin(α − β))。
ctgα ⋅ ctgβ = (cos(α − β) + cos(α + β)) / (cos(α − β) − cos(α + β))。

还有一些公式可用于将三角函数提升为幂、用于通用替换、用于展开为无限乘积、用于获得导数和反导数。公式的长度可以从 2-3 到几十个字符不等，使用积分、多项式的乘积、双曲线函数。它们即使是简单的α和β值也不容易计算，如果是有很多小数点的复杂分数值，计算将需要大量的时间和精力。

为了简化三角函数的计算（及其运算），现在使用特殊的在线计算器。将数值输入其中，然后程序会在几分之一秒内进行计算。使用此类应用程序甚至比工程计算器更方便，而且完全免费提供。