三角計算器

三角學是專門研究三角形的數學分支，可讓您根據已知值求出未知的角度和麵。比如沿腿長和斜邊的夾角，或者根據已知的角和腿求斜邊的長度。

三角學中有獨特的計算函數：正弦、餘弦、正切、餘切、正割和余割。它們經常用於相關科學和學科，例如天文學、大地測量學和建築學。

我們身邊的三角學

三角學包含在通識教育課程中，是數學的基礎部分之一。今天，在它的幫助下，可以找到地理坐標，鋪設航路，計算天體的軌跡，編制程序和統計報告。這個數學部分是最需要的：

天文學；
地理學；
在導航中；
建築學；
光學；
聲學；
經濟學（用於金融市場分析）；
概率論；
生物學和醫學；
電子和編程專業。

今天，即使是藥理學、密碼學、地震學、語音學和晶體學等看似抽象的分支也離不開三角學。三角函數用於計算機斷層掃描和超聲波，用於描述光波和聲波，用於建築物和結構的建造。

三角學的歷史

公元前 180-125 年，尼西亞的古希臘科學家喜帕恰斯在他的著作中使用了第一個三角函數表。然後它們純粹應用於自然界，僅用於天文計算。喜帕恰斯的表格中沒有三角函數（正弦、餘弦等），但將圓劃分為 360 度，並使用弦測量圓弧。例如，現代正弦在當時被稱為“半弦”，從圓心向其垂直。

公元100年，古希臘亞歷山大港的數學家墨涅拉俄斯在他的三卷本《球體》（Sphaericorum）中，提出了今天完全可以被認為是“三角函數”的幾個定理。第一個描述了兩個球形三角形的全等，第二個描述了它們的角度之和（始終大於 180 度），第三個描述了“六等”規則，即廣為人知的 Menelaus 定理。

大約在同一時間，從公元 90 年到 160 年，天文學家克勞迪烏斯·托勒密 (Claudius Ptolemy) 出版了古代最重要的三角學論文《天文學大成》(Almagest)，共 13 本書。它的關鍵是一個定理，該定理描述了對角線與圓內接凸四邊形的對邊之比。根據托勒密定理，第二個的乘積總是等於第一個的乘積之和。在此基礎上，隨後發展出4個正餘弦差分公式，以及半角公式α/2。

印度研究

描述三角函數的“弦”形式出現在我們這個時代之前的古希臘，在中世紀之前在歐洲和亞洲很常見。直到 16 世紀在印度，它們才被現代的正弦和余弦所取代：分別用拉丁語命名為 sin 和 cos。基本的三角函數比率是在印度發展起來的：sin²α + cos²α = 1、sinα = cos(90° − α)、sin(α + β) = sinα ⋅ cosβ + cosα ⋅ sinβ 等等。

在中世紀的印度，三角學的主要目的是尋找超精確的數字，主要用於天文學研究。這可以從 Bhaskara 和 Aryabhata 的科學論文中判斷出來，包括科學著作 Surya Siddhanta。印度天文學家Nilakanta Somayaji在歷史上首次將反正切分解為無窮大的冪級數，隨後將正弦和余弦分解為級數。

在歐洲，同樣的結果只是在接下來的十七世紀才出現。 sin 和 cos 的級數由 Isaac Newton 於 1666 年導出，反正切的級數由 Gottfried Wilhelm Leibniz 於 1671 年導出。在 18 世紀，科學家們在歐洲和近東/中東國家從事三角函數研究。在 19 世紀穆斯林科學著作被翻譯成拉丁文和英文後，它們首先成為歐洲然後是世界科學的財產，使得整合和系統化與三角學相關的所有知識成為可能。

綜上所述，我們可以說，今天的三角學不僅是自然科學不可或缺的學科，也是信息技術不可或缺的學科。它早已不再是數學的應用分支，由幾個大的子部分組成，包括球面三角學和測角學。第一個考慮球體上大圓之間角度的性質，第二個涉及測量角度的方法和三角函數之間的比值。

三角學主要是關於尋找直角三角形以及更複雜的多面體形狀中的角和邊。知道兩個量（一個角和一個面或兩個面）後，您幾乎總能使用特殊的三角函數和公式找到第三個量。

三角函數

三角學中只有兩個正函數：正弦（sin）和余弦（cos）。第一個等於對邊與斜邊之比，第二個等於相鄰邊。在這兩種情況下，我們指的是直角三角形的銳角，它始終小於 90 度。在高等數學中，sin 和 cos 也可以應用於復數和實數。

所有其他三角函數都是正弦和余弦的導數。只有四個：

正切 (tg) - 對邊與相鄰邊的比率 - tgx = sinx / cosx。
餘切 (ctg) - 相鄰邊與對邊邊的比率 - ctgx = cosx / sinx。
第二（sec）——斜邊與相鄰邊的比值——secx = 1 / cosx。
餘割 (cosec) - 斜邊與對邊的比率 - cosecx = 1 / sinx。

英語國家/地區使用的另一種表示法如下：正切 - tan、餘切 - cot、餘割 - csc。它們在科學文獻、按鈕式工程計算器和電子應用中都有提及。

三角函數公式

歐洲和亞洲國家的數學家幾個世紀以來一直在研究和改進三角函數，並在加法、減法、乘法和其他數學運算中發現了一些內在的模式。今天，作為學校課程一部分的三角學的整個基礎課程都以此為基礎，即使用現有公理和定理對函數進行歸約和變換的能力。

簡單身份

即使在中世紀的印度，也揭示了適用於直接三角函數和導數三角函數的最簡單恆等式。在他們完成的（現代）形式中，它們看起來像這樣：

sin²α + cos²α = 1。
1 + tg²α = sec²α。
1 + ctg²α = cosec²α。
tgα ⋅ ctgα = 1。

以上公式對自變量(α)的任意值都有效。如果我們引入 α 大於 0 且小於 π/2 的約束，公式列表會增加幾倍。主要包括以下內容：

sinα = √(1 − cos²α)。
cosα = √(1 − sin²α)。
tgα = sinα / √(1 − sin²α)。
ctg = cosα / √(1 − cos²α)。
sec = 1 / cosα。
cosec = 1 / sinα。

6 個函數各有 5 個有效標識（總共 30 個）。所有這些都列在表中，可用於求解和簡化具有一個未知數 (α) 的三角方程。

加減法

兩個角（α 和 β）的和與差也有自己的規律。使用三角函數公式，它們可以表示如下：

sin(α + β) = sinα ⋅ cosβ + sinβ ⋅ cosα。
cos(α + β) = cosα ⋅ cosβ + sinα ⋅ sinβ。
tg(α + β) = (tgα + tgβ) / (1 − tgα ⋅ tgβ)。
ctg(α + β) = (ctgα ⋅ ctgβ − 1) / (ctgα + ctgβ)。

這些公式也適用於減法。如果等號右側的符號發生變化，則它們在左側也會發生變化。在切線的情況下，它看起來像這樣：tg(α − β) = (tgα − tgβ) / (1 + tgα ⋅ tgβ)。

乘法

兩個角（α 和 β）的三角函數也可以使用現有公式相乘：

sinα ⋅ sinβ = (cos(α − β) − cos(α + β)) / 2。
sinα ⋅ cosβ = (sin(α − β) + sin(α + β)) / 2。
cosα ⋅ cosβ = (cos(α − β) + cos(α + β)) / 2。
tgα ⋅ tgβ = (cos(α − β) − cos(α + β)) / (cos(α − β) + cos(α + β))。
tgα ⋅ ctgβ = (sin(α − β) + sin(α + β)) / (sin(α + β) − sin(α − β))。
ctgα ⋅ ctgβ = (cos(α − β) + cos(α + β)) / (cos(α − β) − cos(α + β))。

還有一些公式可用於將三角函數提升為冪、用於通用替換、用於展開為無限乘積、用於獲得導數和反導數。公式的長度可以從 2-3 到幾十個字符不等，使用積分、多項式的乘積、雙曲線函數。它們即使是簡單的α和β值也不容易計算，如果是有很多小數點的複雜分數值，計算將需要大量的時間和精力。

為了簡化三角函數的計算（及其運算），現在使用特殊的在線計算器。將數值輸入其中，然後程序會在幾分之一秒內進行計算。使用此類應用程序甚至比工程計算器更方便，而且完全免費提供。

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