حاسبة المُثلثات

أدوات أخرى

حاسبة المساحة{$ ',' | translate $}
حاسبة المحيط{$ ',' | translate $}
حاسبة الأحجام{$ ',' | translate $}
جدول الضرب{$ ',' | translate $}
الجدول الدوري{$ ',' | translate $}
حاسبة مصفوفات{$ ',' | translate $}
حاسبة المضاعف المشترك الأصغر{$ ',' | translate $}
حاسبة العامل المشترك الأكبر

قانون الجيب وجيب التمام والظل

علم المثلثات هو فرع من فروع الرياضيات مخصص للمثلثات ، مما يسمح لك بالعثور على الزوايا والوجوه المجهولة من القيم المعروفة. على سبيل المثال ، الزاوية على طول الساق والوتر ، أو طول الوتر وفقًا للزاوية والساق المعروفين.

هناك دوال فريدة للحسابات في حساب المثلثات: الجيب وجيب التمام والظل والظل التمام والقاطع القاطع والتمام. غالبًا ما يتم استخدامها في العلوم والتخصصات ذات الصلة ، على سبيل المثال ، في علم الفلك والجيوديسيا والهندسة المعمارية.

علم المثلثات من حولنا

تم تضمين علم المثلثات في مناهج التعليم العام وهو أحد الأقسام الأساسية في الرياضيات. اليوم ، بمساعدتها ، يجدون الإحداثيات الجغرافية ، ويضعون مسارات السفن ، ويحسبون مسارات الأجرام السماوية ، ويجمعون البرامج والتقارير الإحصائية. هذا القسم الرياضي هو الأكثر طلبًا:

في علم الفلك ؛
في الجغرافيا ؛
في التنقل ؛
في العمارة ؛
في البصريات ؛
في علم الصوتيات ؛
في الاقتصاد (لتحليل الأسواق المالية) ؛
في نظرية الاحتمالات
في علم الأحياء والطب ؛
في الإلكترونيات والبرمجة.

اليوم ، حتى الفروع التي تبدو مجردة مثل علم العقاقير والتشفير وعلم الزلازل والصوتيات وعلم البلورات لا يمكنها الاستغناء عن علم المثلثات. تُستخدم الدوال المثلثية في التصوير المقطعي والموجات فوق الصوتية لوصف الضوء والموجات الصوتية ، في تشييد المباني والهياكل.

تاريخ علم المثلثات

تم استخدام الجداول المثلثية الأولى في كتاباته من قبل العالم اليوناني القديم هيبارخوس من نيقية في 180-125 قبل الميلاد. ثم تم تطبيقها بحتة في الطبيعة واستخدمت فقط للحسابات الفلكية. لم تكن هناك دوال مثلثية (الجيب وجيب التمام وما إلى ذلك) في جداول هيبارخوس ، ولكن كان هناك تقسيم للدائرة إلى 360 درجة وقياس أقواسها باستخدام الأوتار. على سبيل المثال ، كان الجيب الحديث يُعرف بعد ذلك باسم "نصف الوتر" ، والذي يُرسم عليه عمودي من مركز الدائرة.

في عام 100 بعد الميلاد ، قدم عالم الرياضيات اليوناني القديم مينيلوس الإسكندري ، في كتابه "Sphaericorum" المكون من ثلاثة مجلدات ، العديد من النظريات التي يمكن اعتبارها اليوم "مثلثية". الأول يصف تطابق مثلثين كرويين ، والثاني مجموع زاويتهما (التي تزيد دائمًا عن 180 درجة) ، والثالث قاعدة "ستة مقادير" ، والمعروفة باسم نظرية مينلاوس.

في نفس الوقت تقريبًا ، من 90 إلى 160 بعد الميلاد ، نشر عالم الفلك كلوديوس بطليموس أهم أطروحة مثلثية في العصور القديمة ، المجسطي ، وتتألف من 13 كتابًا. كان مفتاحها نظرية تصف نسبة الأقطار والأضلاع المقابلة لشكل رباعي محدب منقوش في دائرة. وفقًا لنظرية بطليموس ، يكون حاصل ضرب الثاني دائمًا مساويًا لمجموع حاصل ضرب الأول. بناءً عليه ، تم تطوير 4 صيغ مختلفة للجيب وجيب التمام لاحقًا ، بالإضافة إلى صيغة نصف الزاوية α / 2.

الدراسات الهندية

كان شكل "الوترية" لوصف الدوال المثلثية ، الذي نشأ في اليونان القديمة قبل عصرنا ، شائعًا في أوروبا وآسيا حتى العصور الوسطى. وفقط في القرن السادس عشر في الهند تم استبدالهم بجيب الجيب وجيب التمام الحديث: بالتسميات اللاتينية sin و cos ، على التوالي. تم تطوير النسب المثلثية الأساسية في الهند: sin²α + cos²α = 1 ، sinα = cos (90 ° - α) ، sin (α + β) = sinα ⋅ cosβ + cosα ⋅ sinβ وغيرها.

كان الغرض الرئيسي من علم المثلثات في الهند في العصور الوسطى هو العثور على أرقام فائقة الدقة ، لأغراض البحث الفلكي في المقام الأول. يمكن الحكم على هذا من خلال الأطروحات العلمية لبهاسكارا وأريابهاتا ، بما في ذلك العمل العلمي سوريا سيدهانتا. قام عالم الفلك الهندي نيلاكانتا سوماياجي ، لأول مرة في التاريخ ، بتحليل قوس ظل الزاوية إلى سلسلة لا نهائية من القوة ، وبالتالي تحلل الجيب وجيب التمام إلى سلسلة.

في أوروبا ، جاءت نفس النتائج فقط في القرن السابع عشر التالي. اشتق إسحاق نيوتن سلسلة الخطيئة وجيب التمام عام 1666 ، وللمماس القوسي عام 1671 بواسطة جوتفريد فيلهلم ليبنيز. في القرن الثامن عشر ، شارك العلماء في الدراسات المثلثية في كل من أوروبا وبلدان الشرق الأدنى / الشرق الأوسط. بعد ترجمة الأعمال العلمية الإسلامية إلى اللاتينية والإنجليزية في القرن التاسع عشر ، أصبحت ملكًا للعلم الأوروبي الأول ثم العالم ، مما أتاح دمج وتنظيم جميع المعارف المتعلقة بعلم المثلثات.

تلخيصًا ، يمكننا القول أن علم المثلثات اليوم هو تخصص لا غنى عنه ليس فقط في العلوم الطبيعية ، ولكن أيضًا لتكنولوجيا المعلومات. لقد توقفت منذ فترة طويلة عن أن تكون فرعًا تطبيقيًا في الرياضيات ، وتتكون من عدة أقسام فرعية كبيرة ، بما في ذلك علم المثلثات الكروي وقياس الزوايا. يتناول الأول خصائص الزوايا بين الدوائر الكبيرة على الكرة ، ويتناول الثاني طرق قياس الزوايا ونسبة الدوال المثلثية لبعضها البعض.

صيغ الجيب وجيب التمام والظل

يدور علم المثلثات بشكل أساسي حول إيجاد الزوايا والحواف في المثلثات القائمة ، وكذلك في الأشكال الأكثر تعقيدًا ومتعددة السطوح. بمعرفة كميتين (زاوية ووجه أو وجهان) ، يمكنك دائمًا العثور على الكمية الثالثة باستخدام دوال وصيغ مثلثية خاصة.

الدوال المثلثية

لا يوجد سوى وظيفتين مباشرتين في علم المثلثات: الجيب (الجيب) وجيب التمام (جيب التمام). الأول يساوي نسبة الضلع المقابل على الوتر ، والثاني يساوي الضلع المجاور. في كلتا الحالتين ، نعني الزاوية الحادة لمثلث قائم الزاوية ، والتي تكون دائمًا أقل من 90 درجة. في الرياضيات العليا ، يمكن أيضًا تطبيق الخطيئة وجيب التمام على الأعداد المعقدة والحقيقية.

جميع الدوال المثلثية الأخرى هي مشتقات الجيب وجيب التمام. لا يوجد سوى أربعة منهم:

الظل (tg) - نسبة الساق المقابلة إلى الضلع المجاورة - tgx = sinx / cosx.
ظل التمام (ctg) - نسبة الضلع المجاورة إلى الضلع المقابلة - ctgx = cosx / sinx.
الثانية (sec) - نسبة الوتر إلى الضلع المجاورة - secx = 1 / cosx.
قاطع التمام (cosec) - نسبة الوتر إلى الضلع المقابلة - cosecx = 1 / sinx.

هناك طريقة بديلة مستخدمة في البلدان الناطقة باللغة الإنجليزية وهي كما يلي: tangent - tan، cotangent - cot، cosecant - csc. يشار إليها في الأدبيات العلمية ، في الآلات الحاسبة الهندسية التي تعمل بالضغط ، في التطبيقات الإلكترونية.

الصيغ المثلثية

دأب علماء الرياضيات في البلدان الأوروبية والآسيوية على البحث عن الدوال المثلثية وتحسينها لعدة قرون ، وقد حددوا عددًا من الأنماط المتأصلة فيها بالإضافة إلى عمليات الطرح والضرب والعمليات الحسابية الأخرى. اليوم ، يعتمد المسار الأساسي الكامل لعلم المثلثات ، والذي يعد جزءًا من المناهج الدراسية ، على هذا ، أي القدرة على تقليل الوظائف وتحويلها باستخدام البديهيات والنظريات الموجودة.

هويات بسيطة

حتى في الهند في العصور الوسطى ، تم الكشف عن أبسط الهويات القابلة للتطبيق على الدوال المثلثية المباشرة والمشتقة. في شكلها النهائي (الحديث) ، تبدو كالتالي:

sin²α + cos²α = 1.
1 + tg²α = sec²α.
1 + ctg²α = cosec²α.
tgα ⋅ ctgα = 1.

الصيغ أعلاه صالحة لأية قيم للوسيطة (α). إذا قدمنا القيد بأن α أكبر من 0 وأقل من / 2 ، فستزيد قائمة الصيغ عدة مرات. أهمها ما يلي:

sinα = √ (1 - cos²α).
cosα = √ (1 - sin²α).
tgα = sinα / √ (1 - sin²α).
ctg = cosα / √ (1 - cos²α).
ثانية = 1 / cosα.
cosec = 1 / sinα.

هناك 5 معرّفات صالحة لكل وظيفة من الوظائف الست (إجمالي 30). تم سردها جميعًا في الجدول ويمكن استخدامها لحل المعادلات المثلثية وتبسيطها بمعيار واحد غير معروف (α).

الجمع والطرح

إن المجاميع والاختلافات بين الزاويتين (α و) لها أنماطها الخاصة أيضًا. باستخدام الصيغ المثلثية ، يمكن تمثيلها على النحو التالي:

الخطيئة (α + β) = sinα ⋅ cosβ + sinβ ⋅ cosα.
cos (α + β) = cosα ⋅ cosβ + sinα ⋅ sinβ.
tg (α + β) = (tgα + tgβ) / (1 - tgα ⋅ tgβ).
ctg (α + β) = (ctgα ⋅ ctgβ - 1) / (ctgα + ctgβ).

تنطبق هذه الصيغ على الطرح أيضًا. إذا تغيرت العلامات الموجودة على الجانب الأيمن من علامة التساوي ، فإنها تتغير أيضًا على الجانب الأيسر. في حالة الظل ، سيبدو كما يلي: tg (α - β) = (tgα - tgβ) / (1 + tgα ⋅ tgβ).

الضرب

يمكن أيضًا ضرب الدوال المثلثية لزاويتين (α و) معًا باستخدام الصيغ الحالية:

sinα ⋅ sinβ = (cos (α - β) - cos (α + β)) / 2.
sinα ⋅ cosβ = (sin (α - β) + sin (α + β)) / 2.
cosα ⋅ cosβ = (cos (α - β) + cos (α + β)) / 2.
tgα ⋅ tgβ = (cos (α - β) - cos (α + β)) / (cos (α - β) + cos (α + β)).
tgα ⋅ ctgβ = (sin (α - β) + sin (α + β)) / (sin (α + β) - sin (α - β)).
ctgα ⋅ ctgβ = (cos (α - β) + cos (α + β)) / (cos (α - β) - cos (α + β)).

هناك أيضًا صيغ لرفع الدوال المثلثية إلى قوة ، للاستبدال الشامل ، للتوسع في المنتجات اللانهائية ، للحصول على المشتقات والمشتقات العكسية. يمكن أن يختلف طول الصيغ من 2-3 إلى عشرات الأحرف ، باستخدام التكاملات ومنتجات كثيرات الحدود والوظائف الزائدية. ليس من السهل حسابها حتى مع القيم البسيطة لـ α و ، وإذا كانت قيمًا كسرية معقدة مع العديد من الكسور العشرية ، فستتطلب العمليات الحسابية الكثير من الوقت والجهد.

لتبسيط حسابات الدوال المثلثية (والعمليات باستخدامها) ، تُستخدم اليوم حاسبات خاصة عبر الإنترنت. يتم إدخال القيم العددية فيها ، وبعد ذلك يحسب البرنامج في جزء من الثانية. يعد استخدام مثل هذه التطبيقات أكثر ملاءمة من الآلات الحاسبة الهندسية ، وهي متاحة مجانًا تمامًا.