Тригонометричен калкулатор

Синусова, косинусова, тангенсова теорема

Тригонометрията е дял от математиката, посветен на триъгълниците, който ви позволява да намерите техните неизвестни ъгли и лица от известни стойности. Например ъгълът по дължината на катета и хипотенузата или дължината на хипотенузата според известните ъгъл и катет.

Има уникални функции за изчисления в тригонометрията: синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс. Те често се използват в свързани науки и дисциплини, например в астрономията, геодезията и архитектурата.

Тригонометрията около нас

Тригонометрията е включена в общообразователната програма и е един от основните раздели на математиката. Днес с негова помощ те намират географски координати, определят маршрутите на корабите, изчисляват траекториите на небесните тела, съставят програми и статистически отчети. Този математически раздел е най-търсен:

по астрономия;
по география;
в навигацията;
в архитектурата;
в оптиката;
в акустиката;
по икономика (за анализ на финансовите пазари);
в теорията на вероятностите;
по биология и медицина;
в електрониката и програмирането.

Днес дори такива привидно абстрактни отрасли като фармакология, криптология, сеизмология, фонетика и кристалография не могат без тригонометрията. Тригонометричните функции се използват в компютърната томография и ултразвука, за описание на светлинни и звукови вълни, в строителството на сгради и съоръжения.

История на тригонометрията

Първите тригонометрични таблици са използвани в неговите писания от древногръцкия учен Хипарх от Никея през 180-125 г. пр.н.е. Тогава те са имали чисто приложен характер и са били използвани само за астрономически изчисления. В таблиците на Хипарх нямаше тригонометрични функции (синус, косинус и т.н.), но имаше разделяне на кръга на 360 градуса и измерване на дъгите му с помощта на акорди. Например съвременният синус тогава е бил известен като "половин акорд", към който е изтеглен перпендикуляр от центъра на кръга.

През 100 г. сл. н. е. древногръцкият математик Менелай от Александрия в своята тритомна „Сфера“ (Sphaericorum) представи няколко теореми, които днес могат да бъдат напълно считани за „тригонометрични“. Първият описва конгруентността на два сферични триъгълника, вторият - сумата от техните ъгли (която винаги е по-голяма от 180 градуса), а третият - правилото за "шестте величини", по-известно като теоремата на Менелай.

Приблизително по същото време, от 90 до 160 г. сл. Хр., астрономът Клавдий Птолемей публикува най-значимия тригонометричен трактат на древността, Алмагест, състоящ се от 13 книги. Ключът към него беше теорема, описваща съотношението на диагоналите и противоположните страни на изпъкнал четириъгълник, вписан в окръжност. Според теоремата на Птолемей произведението на второто винаги е равно на сумата от произведенията на първото. Въз основа на него впоследствие бяха разработени 4 формули за разлика за синус и косинус, както и формулата за полуъгъл α / 2.

Индийски изследвания

"Хордалната" форма за описване на тригонометрични функции, възникнала в древна Гърция преди нашата ера, е била често срещана в Европа и Азия до Средновековието. И едва през 16 век в Индия те са заменени от съвременните синус и косинус: съответно с латински обозначения sin и cos. Именно в Индия са разработени основните тригонометрични съотношения: sin²α + cos²α = 1, sinα = cos(90° − α), sin(α + β) = sinα ⋅ cosβ + cosα ⋅ sinβ и други.

Основната цел на тригонометрията в средновековна Индия е била намирането на свръхпрецизни числа, предимно за астрономически изследвания. Това може да се съди по научните трактати на Бхаскара и Арябхата, включително научната работа Сурия Сидханта. Индийският астроном Нилаканта Сомаяджи за първи път в историята разложи арктангенса на безкрайни степенни редове, а впоследствие синусът и косинусът бяха разложени на редове.

В Европа същите резултати идват едва през следващия XVII век. Сериите за sin и cos са изведени от Исак Нютон през 1666 г., а за аркутангенса през 1671 г. от Готфрид Вилхелм Лайбниц. През 18 век учените се занимават с тригонометрични изследвания както в Европа, така и в страните от Близкия / Средния изток. След като мюсюлманските научни трудове са преведени на латински и английски през 19 век, те стават достояние на първо европейската, а след това и на световната наука, правят възможно комбинирането и систематизирането на всички знания, свързани с тригонометрията.

Обобщавайки, можем да кажем, че днес тригонометрията е незаменима дисциплина не само за природните науки, но и за информационните технологии. Тя отдавна е престанала да бъде приложен клон на математиката и се състои от няколко големи подсекции, включително сферична тригонометрия и гониометрия. Първият разглежда свойствата на ъглите между големи кръгове върху сфера, а вторият се занимава с методи за измерване на ъгли и съотношението на тригонометричните функции една към друга.

Тригонометрията е основно за намиране на ъгли и ръбове в правоъгълни триъгълници, както и в по-сложни многостенни форми. Познавайки две величини (ъгъл и лице или две лица), почти винаги можете да намерите третото, като използвате специални тригонометрични функции и формули.

Тригонометрични функции

В тригонометрията има само две директни функции: синус (sin) и косинус (cos). Първият е равен на отношението на противоположния катет към хипотенузата, а вторият е равен на съседния. И в двата случая имаме предвид острия ъгъл на правоъгълен триъгълник, който винаги е по-малък от 90 градуса. Във висшата математика sin и cos могат също да се прилагат към комплексни и реални числа.

Всички други тригонометрични функции са производни на синус и косинус. Има само четири от тях:

Тангенс (tg) - съотношението на противоположния катет към съседния - tgx = sinx / cosx.
Котангенс (ctg) - съотношението на съседния катет към срещуположния - ctgx = cosx / sinx.
Секунда (sec) — отношението на хипотенузата към съседния катет — secx = 1 / cosx.
Косеканс (cosec) – съотношението на хипотенузата към срещуположния катет – cosecx = 1 / sinx.

Алтернативна нотация, използвана в англоговорящите страни, е следната: тангенс - tan, котангенс - cot, косеканс - csc. Те са посочени в научната литература, върху инженерни калкулатори с бутони, в електронни приложения.

Тригонометрични формули

Математиците от европейските и азиатските страни са изследвали и подобрявали тригонометричните функции в продължение на много векове и са идентифицирали редица модели, присъщи на тях в събирането, изваждането, умножението и други математически операции. Днес целият основен курс по тригонометрия, който е част от училищната програма, се основава на това, а именно способността да се редуцират и трансформират функции, като се използват съществуващи аксиоми и теореми.

Прости самоличности

Дори в средновековна Индия са разкрити най-простите тъждества, приложими за преки и производни тригонометрични функции. В завършен (съвременен) вид те изглеждат така:

sin²α + cos²α = 1.
1 + tg²α = sec²α.
1 + ctg²α = cosec²α.
tgα ⋅ ctgα = 1.

Горните формули са валидни за всякакви стойности на аргумента (α). Ако въведем ограничението α да е по-голямо от 0 и по-малко от π/2, списъкът с формули се увеличава няколко пъти. Основните включват следното:

sinα = √(1 − cos²α).
cosα = √(1 − sin²α).
tgα = sinα / √(1 − sin²α).
ctg = cosα / √(1 − cos²α).
sec = 1 / cosα.
cosec = 1 / sinα.

Има 5 валидни самоличности за всяка от 6-те функции (общо 30). Всички те са изброени в таблицата и могат да се използват за решаване и опростяване на тригонометрични уравнения с едно неизвестно (α).

Събиране и изваждане

Сумите и разликите на два ъгъла (α и β) също имат свои собствени модели. Използвайки тригонометрични формули, те могат да бъдат представени по следния начин:

sin(α + β) = sinα ⋅ cosβ + sinβ ⋅ cosα.
cos(α + β) = cosα ⋅ cosβ + sinα ⋅ sinβ.
tg(α + β) = (tgα + tgβ) / (1 − tgα ⋅ tgβ).
ctg(α + β) = (ctgα ⋅ ctgβ − 1) / (ctgα + ctgβ).

Тези формули се прилагат и за изваждане. Ако знаците от дясната страна на знака за равенство се променят, тогава те също се променят от лявата страна. В случая с тангентата ще изглежда така: tg(α − β) = (tgα − tgβ) / (1 + tgα ⋅ tgβ).

Умножение

Тригонометричните функции на два ъгъла (α и β) също могат да бъдат умножени заедно с помощта на съществуващите формули:

sinα ⋅ sinβ = (cos(α − β) − cos(α + β)) / 2.
sinα ⋅ cosβ = (sin(α − β) + sin(α + β)) / 2.
cosα ⋅ cosβ = (cos(α − β) + cos(α + β)) / 2.
tgα ⋅ tgβ = (cos(α − β) − cos(α + β)) / (cos(α − β) + cos(α + β)).
tgα ⋅ ctgβ = (sin(α − β) + sin(α + β)) / (sin(α + β) − sin(α − β)).
ctgα ⋅ ctgβ = (cos(α − β) + cos(α + β)) / (cos(α − β) − cos(α + β)).

Има и формули за повишаване на тригонометрични функции на степен, за универсално заместване, за разширяване в безкрайни произведения, за получаване на производни и антипроизводни. Дължината на формулите може да варира от 2-3 до десетки знака, използвайки интеграли, произведения на полиноми, хиперболични функции. Те не са лесни за изчисляване дори с прости стойности на α и β, а ако са сложни дробни стойности с много десетични знаци, изчисленията ще изискват много време и усилия.

За да се опростят изчисленията на тригонометричните функции (и операциите с тях), днес се използват специални онлайн калкулатори. В тях се въвеждат числени стойности, след което програмата изчислява за част от секундата. Използването на такива приложения е дори по-удобно от инженерните калкулатори и те са достъпни напълно безплатно.

{$ subpageListHide ? ('Show' | translate) : ('Hide' | translate) $}