Синусова, косинусова, тангенсова теорема
Тригонометрията е дял от математиката, посветен на триъгълниците, който ви позволява да намерите техните неизвестни ъгли и лица от известни стойности. Например ъгълът по дължината на катета и хипотенузата или дължината на хипотенузата според известните ъгъл и катет.
Има уникални функции за изчисления в тригонометрията: синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс. Те често се използват в свързани науки и дисциплини, например в астрономията, геодезията и архитектурата.
Тригонометрията около нас
Тригонометрията е включена в общообразователната програма и е един от основните раздели на математиката. Днес с негова помощ те намират географски координати, определят маршрутите на корабите, изчисляват траекториите на небесните тела, съставят програми и статистически отчети. Този математически раздел е най-търсен:
- по астрономия;
- по география;
- в навигацията;
- в архитектурата;
- в оптиката;
- в акустиката;
- по икономика (за анализ на финансовите пазари);
- в теорията на вероятностите;
- по биология и медицина;
- в електрониката и програмирането.
Днес дори такива привидно абстрактни отрасли като фармакология, криптология, сеизмология, фонетика и кристалография не могат без тригонометрията. Тригонометричните функции се използват в компютърната томография и ултразвука, за описание на светлинни и звукови вълни, в строителството на сгради и съоръжения.
История на тригонометрията
Първите тригонометрични таблици са използвани в неговите писания от древногръцкия учен Хипарх от Никея през 180-125 г. пр.н.е. Тогава те са имали чисто приложен характер и са били използвани само за астрономически изчисления. В таблиците на Хипарх нямаше тригонометрични функции (синус, косинус и т.н.), но имаше разделяне на кръга на 360 градуса и измерване на дъгите му с помощта на акорди. Например съвременният синус тогава е бил известен като "половин акорд", към който е изтеглен перпендикуляр от центъра на кръга.
През 100 г. сл. н. е. древногръцкият математик Менелай от Александрия в своята тритомна „Сфера“ (Sphaericorum) представи няколко теореми, които днес могат да бъдат напълно считани за „тригонометрични“. Първият описва конгруентността на два сферични триъгълника, вторият - сумата от техните ъгли (която винаги е по-голяма от 180 градуса), а третият - правилото за "шестте величини", по-известно като теоремата на Менелай.
Приблизително по същото време, от 90 до 160 г. сл. Хр., астрономът Клавдий Птолемей публикува най-значимия тригонометричен трактат на древността, Алмагест, състоящ се от 13 книги. Ключът към него беше теорема, описваща съотношението на диагоналите и противоположните страни на изпъкнал четириъгълник, вписан в окръжност. Според теоремата на Птолемей произведението на второто винаги е равно на сумата от произведенията на първото. Въз основа на него впоследствие бяха разработени 4 формули за разлика за синус и косинус, както и формулата за полуъгъл α / 2.
Индийски изследвания
"Хордалната" форма за описване на тригонометрични функции, възникнала в древна Гърция преди нашата ера, е била често срещана в Европа и Азия до Средновековието. И едва през 16 век в Индия те са заменени от съвременните синус и косинус: съответно с латински обозначения sin и cos. Именно в Индия са разработени основните тригонометрични съотношения: sin²α + cos²α = 1, sinα = cos(90° − α), sin(α + β) = sinα ⋅ cosβ + cosα ⋅ sinβ и други.
Основната цел на тригонометрията в средновековна Индия е била намирането на свръхпрецизни числа, предимно за астрономически изследвания. Това може да се съди по научните трактати на Бхаскара и Арябхата, включително научната работа Сурия Сидханта. Индийският астроном Нилаканта Сомаяджи за първи път в историята разложи арктангенса на безкрайни степенни редове, а впоследствие синусът и косинусът бяха разложени на редове.
В Европа същите резултати идват едва през следващия XVII век. Сериите за sin и cos са изведени от Исак Нютон през 1666 г., а за аркутангенса през 1671 г. от Готфрид Вилхелм Лайбниц. През 18 век учените се занимават с тригонометрични изследвания както в Европа, така и в страните от Близкия / Средния изток. След като мюсюлманските научни трудове са преведени на латински и английски през 19 век, те стават достояние на първо европейската, а след това и на световната наука, правят възможно комбинирането и систематизирането на всички знания, свързани с тригонометрията.
Обобщавайки, можем да кажем, че днес тригонометрията е незаменима дисциплина не само за природните науки, но и за информационните технологии. Тя отдавна е престанала да бъде приложен клон на математиката и се състои от няколко големи подсекции, включително сферична тригонометрия и гониометрия. Първият разглежда свойствата на ъглите между големи кръгове върху сфера, а вторият се занимава с методи за измерване на ъгли и съотношението на тригонометричните функции една към друга.