Calculadora de trigonometría

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Teorema del seno, el coseno y la tangente

La trigonometría es una rama de las matemáticas dedicada a los triángulos, que te permite encontrar sus ángulos y caras desconocidos a partir de valores conocidos. Por ejemplo, el ángulo a lo largo del cateto y la hipotenusa, o la longitud de la hipotenusa según el ángulo y el cateto conocidos.

Existen funciones únicas para los cálculos en trigonometría: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. A menudo se usan en ciencias y disciplinas relacionadas, por ejemplo, en astronomía, geodesia y arquitectura.

Trigonometría a nuestro alrededor

La trigonometría está incluida en el plan de estudios de educación general y es una de las secciones fundamentales de las matemáticas. Hoy, con su ayuda, encuentran coordenadas geográficas, establecen las rutas de los barcos, calculan las trayectorias de los cuerpos celestes, compilan programas e informes estadísticos. Esta sección matemática es la más demandada:

en astronomía;
en geografía;
en navegación;
en arquitectura;
en óptica;
en acústica;
en economía (para el análisis de los mercados financieros);
en la teoría de la probabilidad;
en biología y medicina;
en electrónica y programación.

Hoy, incluso ramas aparentemente tan abstractas como la farmacología, la criptología, la sismología, la fonética y la cristalografía no pueden prescindir de la trigonometría. Las funciones trigonométricas se utilizan en tomografía computarizada y ultrasonido, para describir ondas de luz y sonido, en la construcción de edificios y estructuras.

Historia de la trigonometría

Las primeras tablas trigonométricas fueron utilizadas en sus escritos por el antiguo científico griego Hiparco de Nicea en 180-125 a. Luego, se aplicaron puramente en la naturaleza y se usaron solo para cálculos astronómicos. No había funciones trigonométricas (seno, coseno, etc.) en las tablas de Hiparco, pero sí una división del círculo en 360 grados y la medida de sus arcos mediante cuerdas. Por ejemplo, el seno moderno se conocía entonces como "media cuerda", a la que se trazaba una perpendicular desde el centro del círculo.

En el año 100 d. C., el antiguo matemático griego Menelao de Alejandría, en su "Esfera" (Sphaericorum) de tres volúmenes, presentó varios teoremas que hoy en día pueden considerarse completamente "trigonométricos". El primero describía la congruencia de dos triángulos esféricos, el segundo la suma de sus ángulos (que siempre es mayor a 180 grados), y el tercero la regla de las "seis magnitudes", más conocida como el teorema de Menelao.

Casi al mismo tiempo, entre los años 90 y 160 d. C., el astrónomo Claudio Ptolomeo publicó el tratado trigonométrico más importante de la antigüedad, el Almagesto, que consta de 13 libros. La clave era un teorema que describía la relación entre las diagonales y los lados opuestos de un cuadrilátero convexo inscrito en un círculo. Según el teorema de Ptolomeo, el producto del segundo es siempre igual a la suma de los productos del primero. En base a ella, posteriormente se desarrollaron 4 fórmulas de diferencias para seno y coseno, así como la fórmula del medio ángulo α/2.

Estudios indios

La forma "cordal" de describir funciones trigonométricas, que surgió en la antigua Grecia antes de nuestra era, fue común en Europa y Asia hasta la Edad Media. Y solo en el siglo XVI en India fueron reemplazados por el seno y el coseno modernos: con las designaciones latinas sin y cos, respectivamente. Fue en India donde se desarrollaron las razones trigonométricas fundamentales: sin²α + cos²α = 1, sinα = cos(90° − α), sin(α + β) = sinα ⋅ cosβ + cosα ⋅ sinβ y otras.

El objetivo principal de la trigonometría en la India medieval era encontrar números ultraprecisos, principalmente para la investigación astronómica. Esto se puede juzgar a partir de los tratados científicos de Bhaskara y Aryabhata, incluido el trabajo científico Surya Siddhanta. El astrónomo indio Nilakanta Somayaji por primera vez en la historia descompuso la arcotangente en una serie de potencias infinitas y, posteriormente, el seno y el coseno se descompusieron en series.

En Europa, los mismos resultados llegaron solo en el siguiente siglo XVII. Las series para seno y coseno fueron derivadas por Isaac Newton en 1666, y para el arco tangente en 1671 por Gottfried Wilhelm Leibniz. En el siglo XVIII, los científicos se dedicaron a estudios trigonométricos tanto en Europa como en los países del Cercano / Medio Oriente. Después de que las obras científicas musulmanas fueran traducidas al latín y al inglés en el siglo XIX, se convirtieron en propiedad de la ciencia primero europea y luego mundial, lo que permitió combinar y sistematizar todos los conocimientos relacionados con la trigonometría.

Resumiendo, podemos decir que hoy en día la trigonometría es una disciplina indispensable no solo para las ciencias naturales, sino también para las tecnologías de la información. Ha dejado de ser una rama aplicada de las matemáticas y consta de varias subsecciones grandes, que incluyen trigonometría esférica y goniometría. El primero considera las propiedades de los ángulos entre grandes círculos en una esfera, y el segundo trata sobre métodos para medir ángulos y la relación de funciones trigonométricas entre sí.

Fórmulas de seno, coseno y tangente

La trigonometría se trata principalmente de encontrar esquinas y bordes en triángulos rectángulos, así como en formas poliédricas más complejas. Conociendo dos cantidades (un ángulo y una cara o dos caras), casi siempre puedes encontrar la tercera utilizando funciones y fórmulas trigonométricas especiales.

Funciones trigonométricas

Solo hay dos funciones directas en trigonometría: seno (sin) y coseno (cos). El primero es igual a la razón del cateto opuesto a la hipotenusa, y el segundo es igual al adyacente. En ambos casos, nos referimos al ángulo agudo de un triángulo rectángulo, que siempre es menor de 90 grados. En matemáticas superiores, el seno y el coseno también se pueden aplicar a números complejos y reales.

Todas las demás funciones trigonométricas son derivadas de seno y coseno. Solo hay cuatro de ellos:

Tangente (tg) - la razón del cateto opuesto al adyacente - tgx = senx / cosx.
Cotangente (ctg) - la relación del cateto adyacente al opuesto - ctgx = cosx / senx.
Segundo (seg) — la relación entre la hipotenusa y el cateto adyacente — secx = 1 / cosx.
Cosecante (cosec) - la relación entre la hipotenusa y el cateto opuesto - cosecx = 1 / senx.

Una notación alternativa utilizada en los países de habla inglesa es la siguiente: tangente - tan, cotangente - cot, cosecante - csc. Están indicados en la literatura científica, en calculadoras de ingeniería de botón pulsador, en aplicaciones electrónicas.

Fórmulas trigonométricas

Los matemáticos de países europeos y asiáticos han estado investigando y mejorando las funciones trigonométricas durante muchos siglos y han identificado una serie de patrones inherentes a ellas, además de la suma, la resta, la multiplicación y otras operaciones matemáticas. Hoy en día, todo el curso básico de trigonometría, que forma parte del currículo escolar, se basa en esto, es decir, en la capacidad de reducir y transformar funciones utilizando axiomas y teoremas existentes.

Identidades simples

Incluso en la India medieval, se revelaron las identidades más simples aplicables a las funciones trigonométricas directas y derivadas. En su forma final (moderna), se ven así:

sen²α + cos²α = 1.
1 + tg²α = sec²α.
1 + ctg²α = cosec²α.
tgα ⋅ ctgα = 1.

Las fórmulas anteriores son válidas para cualquier valor del argumento (α). Si introducimos la restricción de que α es mayor que 0 y menor que π/2, la lista de fórmulas aumenta varias veces. Los principales incluyen los siguientes:

sinα = √(1 − cos²α).
cosα = √(1 − sen²α).
tgα = sinα / √(1 − sin²α).
ctg = cosα / √(1 − cos²α).
seg = 1 / cosα.
cosec = 1 / sinα.

Hay 5 identidades válidas para cada una de las 6 funciones (30 en total). Todos ellos se enumeran en la tabla y se pueden utilizar para resolver y simplificar ecuaciones trigonométricas con una incógnita (α).

Sumas y restas

Las sumas y diferencias de dos ángulos (α y β) también tienen sus propios patrones. Usando fórmulas trigonométricas, se pueden representar de la siguiente manera:

sen(α + β) = senα ⋅ cosβ + senβ ⋅ cosα.
cos(α + β) = cosα ⋅ cosβ + senα ⋅ senβ.
tg(α + β) = (tgα + tgβ) / (1 − tgα ⋅ tgβ).
ctg(α + β) = (ctgα ⋅ ctgβ − 1) / (ctgα + ctgβ).

Estas fórmulas también se aplican a la resta. Si los signos en el lado derecho del signo igual cambian, entonces también cambian en el lado izquierdo. En el caso de la tangente, se verá así: tg(α − β) = (tgα − tgβ) / (1 + tgα ⋅ tgβ).

Multiplicación

Las funciones trigonométricas de dos ángulos (α y β) también se pueden multiplicar juntas usando las fórmulas existentes:

sinα ⋅ sinβ = (cos(α − β) − cos(α + β)) / 2.
sinα ⋅ cosβ = (sin(α − β) + sin(α + β)) / 2.
cosα ⋅ cosβ = (cos(α − β) + cos(α + β)) / 2.
tgα ⋅ tgβ = (cos(α − β) − cos(α + β)) / (cos(α − β) + cos(α + β)).
tgα ⋅ ctgβ = (sin(α − β) + sin(α + β)) / (sin(α + β) − sin(α − β)).
ctgα ⋅ ctgβ = (cos(α − β) + cos(α + β)) / (cos(α − β) − cos(α + β)).

También hay fórmulas para elevar funciones trigonométricas a una potencia, para sustitución universal, para desarrollar productos infinitos, para obtener derivadas y antiderivadas. La longitud de las fórmulas puede variar de 2-3 a decenas de caracteres, usando integrales, productos de polinomios, funciones hiperbólicas. No son fáciles de calcular incluso con valores simples de α y β, y si son valores fraccionarios complejos con muchos decimales, los cálculos requerirán mucho tiempo y esfuerzo.

Para simplificar los cálculos de las funciones trigonométricas (y las operaciones con ellas), hoy en día se utilizan calculadoras especiales en línea. Se ingresan valores numéricos en ellos, después de lo cual el programa calcula en una fracción de segundo. El uso de tales aplicaciones es aún más conveniente que las calculadoras de ingeniería y están disponibles de forma totalmente gratuita.