Teorema del seno, el coseno y la tangente
La trigonometría es una rama de las matemáticas dedicada a los triángulos, que te permite encontrar sus ángulos y caras desconocidos a partir de valores conocidos. Por ejemplo, el ángulo a lo largo del cateto y la hipotenusa, o la longitud de la hipotenusa según el ángulo y el cateto conocidos.
Existen funciones únicas para los cálculos en trigonometría: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. A menudo se usan en ciencias y disciplinas relacionadas, por ejemplo, en astronomía, geodesia y arquitectura.
Trigonometría a nuestro alrededor
La trigonometría está incluida en el plan de estudios de educación general y es una de las secciones fundamentales de las matemáticas. Hoy, con su ayuda, encuentran coordenadas geográficas, establecen las rutas de los barcos, calculan las trayectorias de los cuerpos celestes, compilan programas e informes estadísticos. Esta sección matemática es la más demandada:
- en astronomía;
- en geografía;
- en navegación;
- en arquitectura;
- en óptica;
- en acústica;
- en economía (para el análisis de los mercados financieros);
- en la teoría de la probabilidad;
- en biología y medicina;
- en electrónica y programación.
Hoy, incluso ramas aparentemente tan abstractas como la farmacología, la criptología, la sismología, la fonética y la cristalografía no pueden prescindir de la trigonometría. Las funciones trigonométricas se utilizan en tomografía computarizada y ultrasonido, para describir ondas de luz y sonido, en la construcción de edificios y estructuras.
Historia de la trigonometría
Las primeras tablas trigonométricas fueron utilizadas en sus escritos por el antiguo científico griego Hiparco de Nicea en 180-125 a. Luego, se aplicaron puramente en la naturaleza y se usaron solo para cálculos astronómicos. No había funciones trigonométricas (seno, coseno, etc.) en las tablas de Hiparco, pero sí una división del círculo en 360 grados y la medida de sus arcos mediante cuerdas. Por ejemplo, el seno moderno se conocía entonces como "media cuerda", a la que se trazaba una perpendicular desde el centro del círculo.
En el año 100 d. C., el antiguo matemático griego Menelao de Alejandría, en su "Esfera" (Sphaericorum) de tres volúmenes, presentó varios teoremas que hoy en día pueden considerarse completamente "trigonométricos". El primero describía la congruencia de dos triángulos esféricos, el segundo la suma de sus ángulos (que siempre es mayor a 180 grados), y el tercero la regla de las "seis magnitudes", más conocida como el teorema de Menelao.
Casi al mismo tiempo, entre los años 90 y 160 d. C., el astrónomo Claudio Ptolomeo publicó el tratado trigonométrico más importante de la antigüedad, el Almagesto, que consta de 13 libros. La clave era un teorema que describía la relación entre las diagonales y los lados opuestos de un cuadrilátero convexo inscrito en un círculo. Según el teorema de Ptolomeo, el producto del segundo es siempre igual a la suma de los productos del primero. En base a ella, posteriormente se desarrollaron 4 fórmulas de diferencias para seno y coseno, así como la fórmula del medio ángulo α/2.
Estudios indios
La forma "cordal" de describir funciones trigonométricas, que surgió en la antigua Grecia antes de nuestra era, fue común en Europa y Asia hasta la Edad Media. Y solo en el siglo XVI en India fueron reemplazados por el seno y el coseno modernos: con las designaciones latinas sin y cos, respectivamente. Fue en India donde se desarrollaron las razones trigonométricas fundamentales: sin²α + cos²α = 1, sinα = cos(90° − α), sin(α + β) = sinα ⋅ cosβ + cosα ⋅ sinβ y otras.
El objetivo principal de la trigonometría en la India medieval era encontrar números ultraprecisos, principalmente para la investigación astronómica. Esto se puede juzgar a partir de los tratados científicos de Bhaskara y Aryabhata, incluido el trabajo científico Surya Siddhanta. El astrónomo indio Nilakanta Somayaji por primera vez en la historia descompuso la arcotangente en una serie de potencias infinitas y, posteriormente, el seno y el coseno se descompusieron en series.
En Europa, los mismos resultados llegaron solo en el siguiente siglo XVII. Las series para seno y coseno fueron derivadas por Isaac Newton en 1666, y para el arco tangente en 1671 por Gottfried Wilhelm Leibniz. En el siglo XVIII, los científicos se dedicaron a estudios trigonométricos tanto en Europa como en los países del Cercano / Medio Oriente. Después de que las obras científicas musulmanas fueran traducidas al latín y al inglés en el siglo XIX, se convirtieron en propiedad de la ciencia primero europea y luego mundial, lo que permitió combinar y sistematizar todos los conocimientos relacionados con la trigonometría.
Resumiendo, podemos decir que hoy en día la trigonometría es una disciplina indispensable no solo para las ciencias naturales, sino también para las tecnologías de la información. Ha dejado de ser una rama aplicada de las matemáticas y consta de varias subsecciones grandes, que incluyen trigonometría esférica y goniometría. El primero considera las propiedades de los ángulos entre grandes círculos en una esfera, y el segundo trata sobre métodos para medir ángulos y la relación de funciones trigonométricas entre sí.