מחשבון טריגונומטריה

כלים אחרים

מחשבון שטח{$ ',' | translate $}
מחשבון היקף{$ ',' | translate $}
מחשבון נפח{$ ',' | translate $}
לוח הכפל{$ ',' | translate $}
הטבלה המחזורית{$ ',' | translate $}
מחשבון מטריצות{$ ',' | translate $}
מחשבון כפולה משותפת מינימלית{$ ',' | translate $}
מחשבון מכנה משותף מקסימלי

משפט הסינוסים, הקוסינוסים והטנגנסים

טריגונומטריה היא ענף במתמטיקה המוקדש למשולשים, המאפשר לך למצוא את הזוויות והפנים הלא ידועות שלהם מתוך ערכים ידועים. לדוגמה, הזווית לאורך הרגל והתחתון, או אורך התחתון לפי הזווית והרגל הידועים.

ישנן פונקציות ייחודיות לחישובים בטריגונומטריה: סינוס, קוסינוס, טנגנס, קוטנגנט, סקאנט וקוסקנט. הם משמשים לעתים קרובות במדעים ובדיסציפלינות קשורות, למשל באסטרונומיה, גיאודזיה ואדריכלות.

טריגונומטריה סביבנו

טריגונומטריה כלולה בתכנית הלימודים של החינוך הכללי והיא אחד הסעיפים הבסיסיים של המתמטיקה. כיום, בעזרתו, הם מוצאים קואורדינטות גיאוגרפיות, מניחים את מסלולי הספינות, מחשבים מסלולים של גרמי שמיים, מחברים תוכניות ודוחות סטטיסטיים. החלק המתמטי הזה הכי מבוקש:

באסטרונומיה;
בגיאוגרפיה;
בניווט;
בארכיטקטורה;
באופטיקה;
באקוסטיקה;
בכלכלה (לניתוח שווקים פיננסיים);
בתורת ההסתברות;
בביולוגיה ורפואה;
באלקטרוניקה ובתכנות.

היום אפילו ענפים מופשטים לכאורה כמו פרמקולוגיה, קריפטולוגיה, סייסמולוגיה, פונטיקה וקריסטלוגרפיה אינם יכולים להסתדר בלי טריגונומטריה. פונקציות טריגונומטריות משמשות בטומוגרפיה ממוחשבת ובאולטרסאונד, לתיאור גלי אור וקול, בבניית מבנים ומבנים.

היסטוריה של טריגונומטריה

הטבלאות הטריגונומטריות הראשונות שימשו בכתביו על ידי המדען היווני העתיק היפרכוס מניקאה בשנים 180-125 לפני הספירה. אחר כך הם יושמו אך ורק בטבע ושימשו רק לחישובים אסטרונומיים. לא היו פונקציות טריגונומטריות (סינוס, קוסינוס וכן הלאה) בטבלאות של היפרכוס, אבל הייתה חלוקה של המעגל ל-360 מעלות ומדידה של הקשתות שלו באמצעות אקורדים. לדוגמה, הסינוס המודרני נודע אז כ"חצי אקורד", שאליו נמשך מאונך ממרכז המעגל.

בשנת 100 לספירה, המתמטיקאי היווני הקדום מנלאוס מאלכסנדריה, בשלושה כרכים שלו "כדור" (Sphaericorum), הציג כמה משפטים שהיום יכולים להיחשב במלואם כ"טריגונומטריים". הראשון תיאר את ההתאמה של שני משולשים כדוריים, השני את סכום הזוויות שלהם (שהוא תמיד גדול מ-180 מעלות), והשלישי את כלל "שש הגדלים", הידוע יותר כמשפט מנלאוס.

בערך באותו זמן, משנת 90 עד 160 לספירה, פרסם האסטרונום קלאודיוס תלמי את החיבור הטריגונומטרי המשמעותי ביותר של העת העתיקה, אלמג'סט, המורכב מ-13 ספרים. המפתח לו היה משפט המתאר את היחס בין האלכסונים והצלעות הנגדיות של מרובע קמור הכתוב במעגל. לפי משפט תלמי, מכפלת השני תמיד שווה לסכום מכפלותיו של הראשון. על בסיסו פותחו לאחר מכן 4 נוסחאות הבדל עבור סינוס וקוסינוס, כמו גם נוסחת חצי הזווית α / 2.

לימודי הודו

הצורה ה"קורדלית" של תיאור פונקציות טריגונומטריות, שצמחו ביוון העתיקה לפני תקופתנו, הייתה נפוצה באירופה ובאסיה עד ימי הביניים. ורק במאה ה-16 בהודו הם הוחלפו בסינוס והקוסינוס המודרניים: עם הכינויים הלטיניים sin ו-cos, בהתאמה. בהודו פותחו היחסים הטריגונומטריים הבסיסיים: sin²α + cos²α = 1, sinα = cos(90° − α), sin(α + β) = sinα ⋅ cosβ + cosα ⋅ sinβ ואחרים.

המטרה העיקרית של הטריגונומטריה בהודו של ימי הביניים הייתה למצוא מספרים מדויקים במיוחד, בעיקר למחקר אסטרונומי. ניתן לשפוט זאת מהחיבורים המדעיים של בהסקרה ואריאבהאטה, כולל העבודה המדעית Surya Siddhanta. האסטרונום ההודי Nilakanta Somayaji, לראשונה בהיסטוריה, פירק את הארקטנג'נט לסדרת עוצמה אינסופית, ולאחר מכן פורקו הסינוס והקוסינוס לסדרות.

באירופה, אותן תוצאות הגיעו רק במאה ה-17 הבאה. הסדרות לחטא וקוס נגזרו על ידי אייזק ניוטון ב-1666, ועבור משיק הקשת ב-1671 על ידי גוטפריד וילהלם לייבניץ. במאה ה-18 עסקו מדענים במחקרים טריגונומטריים הן באירופה והן במדינות המזרח הקרוב/התיכון. לאחר שתורגמו יצירות מדעיות מוסלמיות ללטינית ואנגלית במאה ה-19, הן הפכו לנחלת תחילה של המדע האירופי ואחר כך העולמי, אפשרו לשלב ולעשות שיטתיות של כל הידע הקשור לטריגונומטריה.

לסיכום, אנו יכולים לומר שכיום טריגונומטריה היא דיסציפלינה הכרחית לא רק עבור מדעי הטבע, אלא גם עבור טכנולוגיית המידע. זה כבר מזמן חדל להיות ענף יישומי של המתמטיקה, והוא מורכב מכמה תת-סעיפים גדולים, כולל טריגונומטריה כדורית וגוניומטריה. הראשון מתייחס למאפיינים של זוויות בין מעגלים גדולים בכדור, והשני עוסק בשיטות למדידת זוויות והיחס בין פונקציות טריגונומטריות זו לזו.

נוסחאות סינוס, קוסינוס וטנגנס

טריגונומטריה עוסקת בעיקר במציאת פינות וקצוות במשולשים ישרים, כמו גם בצורות מורכבות יותר, פולי-הדרליות. הכרת שתי כמויות (זווית ופנים או שני פנים), כמעט תמיד תוכל למצוא את השלישית באמצעות פונקציות ונוסחאות טריגונומטריות מיוחדות.

פונקציות טריגונומטריות

יש רק שתי פונקציות ישירות בטריגונומטריה: סינוס (חטא) וקוסינוס (קוסינוס). הראשון שווה ליחס בין הרגל הנגדית לתחתית, והשני שווה לסמוך. בשני המקרים אנו מתכוונים לזווית החדה של משולש ישר זווית, שהיא תמיד פחות מ-90 מעלות. במתמטיקה גבוהה יותר, Sin ו-cos יכולים להיות מיושמים גם על מספרים מורכבים וממשיים.

כל הפונקציות הטריגונומטריות האחרות הן נגזרות של סינוס וקוסינוס. יש רק ארבעה מהם:

טנגנט (tg) - היחס בין הרגל הנגדית לזו הסמוכה - tgx = sinx / cosx.
Cotangent (ctg) - היחס בין הרגל הסמוכה לרגל הנגדית - ctgx = cosx / sinx.
שניה (שניה) - היחס בין ההיפוטנוז לרגל הסמוכה - secx = 1 / cosx.
Cosecant (cosec) - היחס בין ההיפוטנוז לרגל הנגדית - cosecx = 1 / sinx.

סימון חלופי המשמש במדינות דוברות אנגלית הוא כדלקמן: tangent - tan, cotangent - cot, cosecant - csc. הם מצוינים בספרות המדעית, במחשבונים הנדסיים בלחיצת כפתור, ביישומים אלקטרוניים.

נוסחאות טריגונומטריות

מתמטיקאים ממדינות אירופה ואסיה חוקרים ומשפרים פונקציות טריגונומטריות במשך מאות שנים, וזיהו מספר תבניות הטבועות בהן בנוסף, חיסור, כפל ופעולות מתמטיות אחרות. כיום, כל הקורס הבסיסי של טריגונומטריה, המהווה חלק מתכנית הלימודים בבית הספר, מבוסס על כך, כלומר, היכולת לצמצם ולהמיר פונקציות באמצעות אקסיומות ומשפטים קיימים.

זהויות פשוטות

אפילו בהודו של ימי הביניים, נחשפו הזהויות הפשוטות ביותר החלות על פונקציות טריגונומטריות ישירות ונגזרות. בצורתם המוגמרת (מודרנית), הם נראים כך:

sin²α + cos²α = 1.
1 + tg²α = sec²α.
1 + ctg²α = cosec²α.
tgα ⋅ ctgα = 1.

הנוסחאות לעיל תקפות עבור כל ערכים של הארגומנט (α). אם נציג את האילוץ ש-α גדול מ-0 וקטן מ-π/2, רשימת הנוסחאות גדלה פי כמה. העיקריים שבהם כוללים את הדברים הבאים:

sinα = √(1 − cos²α).
cosα = √(1 − sin²α).
tgα = sinα / √(1 − sin²α).
ctg = cosα / √(1 − cos²α).
שנייה = 1 / cosα.
cosec = 1 / sinα.

יש 5 זהויות תקפות לכל אחת מ-6 הפונקציות (30 בסך הכל). כולם רשומים בטבלה וניתן להשתמש בהם כדי לפתור ולפשט משוואות טריגונומטריות עם אחד לא ידוע (α).

חיבור וחיסור

גם לסכומים ולהפרשים של שתי זוויות (α ו-β) יש תבניות משלהם. באמצעות נוסחאות טריגונומטריות, ניתן לייצג אותן באופן הבא:

sin(α + β) = sinα ⋅ cosβ + sinβ ⋅ cosα.
cos(α + β) = cosα ⋅ cosβ + sinα ⋅ sinβ.
tg(α + β) = (tgα + tgβ) / (1 − tgα ⋅ tgβ).
ctg(α + β) = (ctgα ⋅ ctgβ − 1) / (ctgα + ctgβ).

נוסחאות אלו חלות גם על חיסור. אם הסימנים בצד ימין של סימן השוויון משתנים, אז הם משתנים גם בצד שמאל. במקרה של המשיק, הוא ייראה כך: tg(α − β) = (tgα − tgβ) / (1 + tgα ⋅ tgβ).

כפל

ניתן להכפיל את הפונקציות הטריגונומטריות של שתי זוויות (α ו-β) גם יחד באמצעות הנוסחאות הקיימות:

sinα ⋅ sinβ = (cos(α − β) − cos(α + β)) / 2.
sinα ⋅ cosβ = (sin(α − β) + sin(α + β)) / 2.
cosα ⋅ cosβ = (cos(α − β) + cos(α + β)) / 2.
tgα ⋅ tgβ = (cos(α − β) − cos(α + β)) / (cos(α − β) + cos(α + β)).
tgα ⋅ ctgβ = (sin(α − β) + sin(α + β)) / (sin(α + β) − sin(α − β)).
ctgα ⋅ ctgβ = (cos(α − β) + cos(α + β)) / (cos(α − β) − cos(α + β)).

ישנן גם נוסחאות להעלאת פונקציות טריגונומטריות לחזקה, להחלפה אוניברסלית, להתרחבות למוצרים אינסופיים, להשגת נגזרות ונגזרות אנטי. אורך הנוסחאות יכול להשתנות בין 2-3 לעשרות תווים, תוך שימוש באינטגרלים, מוצרים של פולינומים, פונקציות היפרבוליות. לא קל לחשב אותם אפילו עם ערכים פשוטים של α ו-β, ואם הם ערכים שברים מורכבים עם הרבה עשרונים, החישובים ידרשו הרבה זמן ומאמץ.

כדי לפשט את החישובים של פונקציות טריגונומטריות (ופעולות איתן), כיום משתמשים במחשבונים מקוונים מיוחדים. ערכים מספריים מוזנים בהם, ולאחר מכן התוכנית מחשבת בשבריר שנייה. השימוש ביישומים כאלה נוח אפילו יותר ממחשבונים הנדסיים, והם זמינים לחלוטין ללא תשלום.