משפט הסינוסים, הקוסינוסים והטנגנסים
טריגונומטריה היא ענף במתמטיקה המוקדש למשולשים, המאפשר לך למצוא את הזוויות והפנים הלא ידועות שלהם מתוך ערכים ידועים. לדוגמה, הזווית לאורך הרגל והתחתון, או אורך התחתון לפי הזווית והרגל הידועים.
ישנן פונקציות ייחודיות לחישובים בטריגונומטריה: סינוס, קוסינוס, טנגנס, קוטנגנט, סקאנט וקוסקנט. הם משמשים לעתים קרובות במדעים ובדיסציפלינות קשורות, למשל באסטרונומיה, גיאודזיה ואדריכלות.
טריגונומטריה סביבנו
טריגונומטריה כלולה בתכנית הלימודים של החינוך הכללי והיא אחד הסעיפים הבסיסיים של המתמטיקה. כיום, בעזרתו, הם מוצאים קואורדינטות גיאוגרפיות, מניחים את מסלולי הספינות, מחשבים מסלולים של גרמי שמיים, מחברים תוכניות ודוחות סטטיסטיים. החלק המתמטי הזה הכי מבוקש:
- באסטרונומיה;
- בגיאוגרפיה;
- בניווט;
- בארכיטקטורה;
- באופטיקה;
- באקוסטיקה;
- בכלכלה (לניתוח שווקים פיננסיים);
- בתורת ההסתברות;
- בביולוגיה ורפואה;
- באלקטרוניקה ובתכנות.
היום אפילו ענפים מופשטים לכאורה כמו פרמקולוגיה, קריפטולוגיה, סייסמולוגיה, פונטיקה וקריסטלוגרפיה אינם יכולים להסתדר בלי טריגונומטריה. פונקציות טריגונומטריות משמשות בטומוגרפיה ממוחשבת ובאולטרסאונד, לתיאור גלי אור וקול, בבניית מבנים ומבנים.
היסטוריה של טריגונומטריה
הטבלאות הטריגונומטריות הראשונות שימשו בכתביו על ידי המדען היווני העתיק היפרכוס מניקאה בשנים 180-125 לפני הספירה. אחר כך הם יושמו אך ורק בטבע ושימשו רק לחישובים אסטרונומיים. לא היו פונקציות טריגונומטריות (סינוס, קוסינוס וכן הלאה) בטבלאות של היפרכוס, אבל הייתה חלוקה של המעגל ל-360 מעלות ומדידה של הקשתות שלו באמצעות אקורדים. לדוגמה, הסינוס המודרני נודע אז כ"חצי אקורד", שאליו נמשך מאונך ממרכז המעגל.
בשנת 100 לספירה, המתמטיקאי היווני הקדום מנלאוס מאלכסנדריה, בשלושה כרכים שלו "כדור" (Sphaericorum), הציג כמה משפטים שהיום יכולים להיחשב במלואם כ"טריגונומטריים". הראשון תיאר את ההתאמה של שני משולשים כדוריים, השני את סכום הזוויות שלהם (שהוא תמיד גדול מ-180 מעלות), והשלישי את כלל "שש הגדלים", הידוע יותר כמשפט מנלאוס.
בערך באותו זמן, משנת 90 עד 160 לספירה, פרסם האסטרונום קלאודיוס תלמי את החיבור הטריגונומטרי המשמעותי ביותר של העת העתיקה, אלמג'סט, המורכב מ-13 ספרים. המפתח לו היה משפט המתאר את היחס בין האלכסונים והצלעות הנגדיות של מרובע קמור הכתוב במעגל. לפי משפט תלמי, מכפלת השני תמיד שווה לסכום מכפלותיו של הראשון. על בסיסו פותחו לאחר מכן 4 נוסחאות הבדל עבור סינוס וקוסינוס, כמו גם נוסחת חצי הזווית α / 2.
לימודי הודו
הצורה ה"קורדלית" של תיאור פונקציות טריגונומטריות, שצמחו ביוון העתיקה לפני תקופתנו, הייתה נפוצה באירופה ובאסיה עד ימי הביניים. ורק במאה ה-16 בהודו הם הוחלפו בסינוס והקוסינוס המודרניים: עם הכינויים הלטיניים sin ו-cos, בהתאמה. בהודו פותחו היחסים הטריגונומטריים הבסיסיים: sin²α + cos²α = 1, sinα = cos(90° − α), sin(α + β) = sinα ⋅ cosβ + cosα ⋅ sinβ ואחרים.
המטרה העיקרית של הטריגונומטריה בהודו של ימי הביניים הייתה למצוא מספרים מדויקים במיוחד, בעיקר למחקר אסטרונומי. ניתן לשפוט זאת מהחיבורים המדעיים של בהסקרה ואריאבהאטה, כולל העבודה המדעית Surya Siddhanta. האסטרונום ההודי Nilakanta Somayaji, לראשונה בהיסטוריה, פירק את הארקטנג'נט לסדרת עוצמה אינסופית, ולאחר מכן פורקו הסינוס והקוסינוס לסדרות.
באירופה, אותן תוצאות הגיעו רק במאה ה-17 הבאה. הסדרות לחטא וקוס נגזרו על ידי אייזק ניוטון ב-1666, ועבור משיק הקשת ב-1671 על ידי גוטפריד וילהלם לייבניץ. במאה ה-18 עסקו מדענים במחקרים טריגונומטריים הן באירופה והן במדינות המזרח הקרוב/התיכון. לאחר שתורגמו יצירות מדעיות מוסלמיות ללטינית ואנגלית במאה ה-19, הן הפכו לנחלת תחילה של המדע האירופי ואחר כך העולמי, אפשרו לשלב ולעשות שיטתיות של כל הידע הקשור לטריגונומטריה.
לסיכום, אנו יכולים לומר שכיום טריגונומטריה היא דיסציפלינה הכרחית לא רק עבור מדעי הטבע, אלא גם עבור טכנולוגיית המידע. זה כבר מזמן חדל להיות ענף יישומי של המתמטיקה, והוא מורכב מכמה תת-סעיפים גדולים, כולל טריגונומטריה כדורית וגוניומטריה. הראשון מתייחס למאפיינים של זוויות בין מעגלים גדולים בכדור, והשני עוסק בשיטות למדידת זוויות והיחס בין פונקציות טריגונומטריות זו לזו.