Trigonometrijos skaičiuoklė

Kiti įrankiai

Ploto skaičiuotuvas{$ ',' | translate $}
Perimetro skaičiuotuvas{$ ',' | translate $}
Tūrio skaičiuotuvas{$ ',' | translate $}
Daugybos lentelė{$ ',' | translate $}
Periodinė lentelė{$ ',' | translate $}
Matricų skaičiuoklė{$ ',' | translate $}
MPK skaičiuoklė{$ ',' | translate $}
ŽKF skaičiuoklė

Sinusų, kosinusų ir tangentų dėsniai

Trigonometrija yra matematikos šaka, skirta trikampiams, leidžianti pagal žinomas reikšmes rasti jų nežinomus kampus ir veidus. Pavyzdžiui, kampas išilgai kojos ir hipotenuzės arba hipotenuzės ilgis pagal žinomą kampą ir koją.

Yra unikalių trigonometrinių skaičiavimų funkcijų: sinuso, kosinuso, tangento, kotangento, sekanto ir kosekanto. Jie dažnai naudojami susijusiuose moksluose ir disciplinose, pavyzdžiui, astronomijoje, geodezijoje ir architektūroje.

Trigonometrija aplink mus

Trigonometrija yra įtraukta į bendrojo lavinimo programą ir yra viena iš pagrindinių matematikos dalių. Šiandien jos pagalba randa geografines koordinates, nustato laivų maršrutus, skaičiuoja dangaus kūnų trajektorijas, rengia programas ir statistines ataskaitas. Ši matematinė dalis yra paklausiausia:

astronomijoje;
geografijoje;
navigacijoje;
architektūroje;
optikoje;
akustikoje;
ekonomikoje (finansų rinkų analizei);
tikimybių teorijoje;
biologijoje ir medicinoje;
elektronikos ir programavimo srityse.

Šiandien net tokios abstrakčios šakos kaip farmakologija, kriptologija, seismologija, fonetika ir kristalografija neapsieina be trigonometrijos. Trigonometrinės funkcijos naudojamos kompiuterinėje tomografijoje ir ultragarsu, apibūdinant šviesos ir garso bangas, statant pastatus ir statinius.

Trigonometrijos istorija

Pirmąsias trigonometrines lenteles savo raštuose panaudojo senovės graikų mokslininkas Hiparchas iš Nikėjos 180–125 m. prieš Kristų. Tada jie buvo grynai taikomi gamtoje ir buvo naudojami tik astronominiams skaičiavimams. Hiparcho lentelėse nebuvo trigonometrinių funkcijų (sinuso, kosinuso ir pan.), tačiau buvo apskritimo padalijimas į 360 laipsnių ir jo lankų matavimas naudojant stygas. Pavyzdžiui, šiuolaikinis sinusas tada buvo žinomas kaip „pusė stygos“, į kurią iš apskritimo centro buvo nubrėžtas statmuo.

100 mūsų eros metais senovės graikų matematikas Menelausas iš Aleksandrijos savo trijų tomų „Sfera“ (Sphaericorum) pateikė keletą teoremų, kurias šiandien galima visiškai laikyti „trigonometrinėmis“. Pirmasis aprašo dviejų sferinių trikampių sutapimą, antrasis – jų kampų sumą (kuri visada yra didesnė nei 180 laipsnių), o trečioji – „šešių dydžių“ taisyklę, geriau žinomą kaip Menelaus teorema.

Maždaug tuo pačiu metu, 90–160 m., astronomas Klaudijus Ptolemėjus išleido reikšmingiausią antikos trigonometrinį traktatą „Almagest“, kurį sudaro 13 knygų. Raktas į jį buvo teorema, apibūdinanti į apskritimą įbrėžto išgaubto keturkampio įstrižainių ir priešingų kraštinių santykį. Pagal Ptolemėjo teoremą antrosios sandauga visada lygi pirmosios sandaugų sumai. Remiantis juo, vėliau buvo sukurtos 4 sinuso ir kosinuso skirtumo formulės, taip pat pusės kampo formulė α / 2.

Indijos studijos

Senovės Graikijoje prieš mūsų erą atsiradusi trigonometrinių funkcijų apibūdinimo akordinė forma buvo paplitusi Europoje ir Azijoje iki viduramžių. Ir tik XVI amžiuje Indijoje juos pakeitė šiuolaikinis sinusas ir kosinusas: atitinkamai su lotyniškais pavadinimais sin ir cos. Būtent Indijoje buvo sukurti pagrindiniai trigonometriniai santykiai: sin²α + cos²α = 1, sinα = cos(90° − α), sin(α + β) = sinα ⋅ cosβ + cosα ⋅ sinβ ir kiti.

Pagrindinis trigonometrijos tikslas viduramžių Indijoje buvo surasti itin tikslius skaičius, visų pirma astronominiams tyrimams. Tai galima spręsti iš mokslinių Bhaskara ir Aryabhata traktatų, įskaitant mokslinį darbą Surya Siddhanta. Indijos astronomas Nilakanta Somayaji pirmą kartą istorijoje išskaidė arctangentą į begalinę galių eilutę, o vėliau sinusas ir kosinusas buvo išskaidyti į eiles.

Europoje tokie patys rezultatai buvo gauti tik kitame, XVII amžiuje. Nuodėmės ir cos serijas 1666 m. sukūrė Izaokas Niutonas, o 1671 m. – Gotfrydas Vilhelmas Leibnicas. XVIII amžiuje mokslininkai užsiėmė trigonometriniais tyrimais tiek Europoje, tiek Artimųjų / Artimųjų Rytų šalyse. XIX amžiuje musulmonų mokslinius darbus išvertus į lotynų ir anglų kalbas, jie tapo iš pradžių Europos, o vėliau ir pasaulio mokslo nuosavybe, leido sujungti ir susisteminti visas su trigonometrija susijusias žinias.

Apibendrinant galima teigti, kad šiandien trigonometrija yra nepakeičiama disciplina ne tik gamtos mokslams, bet ir informacinėms technologijoms. Ji jau seniai nebėra taikomoji matematikos šaka ir susideda iš kelių didelių poskyrių, įskaitant sferinę trigonometriją ir goniometriją. Pirmajame nagrinėjamos kampų tarp didžiųjų rutulio apskritimų savybės, o antrajame – kampų matavimo metodai ir trigonometrinių funkcijų tarpusavio santykis.

Sinuso, kosinuso, tangento formulės

Trigonometrija visų pirma skirta kampų ir briaunų paieškai stačiakampiuose trikampiuose, taip pat sudėtingesnėse daugiakampėse formose. Žinodami du dydžius (kampą ir veidą arba du veidus), beveik visada galite rasti trečiąjį naudodami specialias trigonometrines funkcijas ir formules.

Trigonometrinės funkcijos

Trigonometrijoje yra tik dvi tiesioginės funkcijos: sinusas (sin) ir kosinusas (cos). Pirmasis yra lygus priešingos kojos ir hipotenuzės santykiui, o antrasis yra lygus gretimai. Abiem atvejais turime omenyje stačiojo trikampio smailųjį kampą, kuris visada yra mažesnis nei 90 laipsnių. Aukštojoje matematikoje sin ir cos taip pat gali būti taikomi kompleksiniams ir realiesiems skaičiams.

Visos kitos trigonometrinės funkcijos yra sinuso ir kosinuso išvestinės. Jų yra tik keturi:

Tangentas (tg) – priešingos ir gretimos kojos santykis – tgx = sinx / cosx.
Kotangentas (ctg) – gretimos ir priešingos kojos santykis – ctgx = cosx / sinx.
Second (sec) – hipotenuzės ir gretimos kojos santykis – sekx = 1 / cosx.
Cosecant (cosec) – hipotenuzės ir priešingos kojos santykis – cosecx = 1 / sinx.

Anglakalbėse šalyse naudojamas alternatyvus žymėjimas: tangentas – įdegis, kotangentas – vaikiška lovelė, kosekantas – csc. Jie nurodomi mokslinėje literatūroje, mygtukų inžineriniuose skaičiuotuvuose, elektroninėse programose.

Trigonometrinės formulės

Europos ir Azijos šalių matematikai daug šimtmečių tyrinėjo ir tobulino trigonometrines funkcijas ir nustatė daugybę joms būdingų šablonų, be papildymo, atimties, daugybos ir kitų matematinių operacijų. Šiuo metu visas pagrindinis trigonometrijos kursas, kuris yra mokyklos mokymo programos dalis, yra pagrįstas tuo, ty gebėjimu redukuoti ir transformuoti funkcijas naudojant esamas aksiomas ir teoremas.

Paprastos tapatybės

Net viduramžių Indijoje buvo atskleistos paprasčiausios tapatybės, taikomos tiesioginėms ir išvestinėms trigonometrinėms funkcijoms. Išbaigtoje (šiuolaikinėje) formoje jie atrodo taip:

sin²α + cos²α = 1.
1 + tg²α = sek²α.
1 + ctg²α = cosec²α.
tgα ⋅ ctgα = 1.

Aukščiau pateiktos formulės galioja bet kurioms argumento reikšmėms (α). Jei įvesime apribojimą, kad α yra didesnis nei 0 ir mažesnis už π/2, formulių sąrašas padidėja kelis kartus. Tarp pagrindinių yra šie:

sinα = √(1 − cos²α).
cosα = √(1 − sin²α).
tgα = sinα / √(1 − sin²α).
ctg = cosα / √(1 − cos²α).
sek = 1 / cosα.
cosec = 1 / sinα.

Kiekvienai iš 6 funkcijų yra 5 galiojančios tapatybės (iš viso 30). Visi jie yra išvardyti lentelėje ir gali būti naudojami trigonometrinėms lygtims su vienu nežinomu (α) išspręsti ir supaprastinti.

Sudėjimas ir atėmimas

Dviejų kampų (α ir β) sumos ir skirtumai taip pat turi savo šablonus. Naudojant trigonometrines formules, jas galima pavaizduoti taip:

sin(α + β) = sinα ⋅ cosβ + sinβ ⋅ cosα.
cos(α + β) = cosα ⋅ cosβ + sinα ⋅ sinβ.
tg(α + β) = (tgα + tgβ) / (1 − tgα ⋅ tgβ).
ctg(α + β) = (ctgα ⋅ ctgβ − 1) / (ctgα + ctgβ).

Šios formulės taip pat taikomos atėmimui. Jei dešinėje lygybės ženklo pusėje esantys ženklai keičiasi, tai jie keičiasi ir kairėje. Liestinės atveju jis atrodys taip: tg(α − β) = (tgα − tgβ) / (1 + tgα ⋅ tgβ).

Daugyba

Dviejų kampų (α ir β) trigonometrines funkcijas taip pat galima padauginti naudojant esamas formules:

sinα ⋅ sinβ = (cos(α − β) − cos(α + β)) / 2.
sinα ⋅ cosβ = (sin(α − β) + sin(α + β)) / 2.
cosα ⋅ cosβ = (cos(α − β) + cos(α + β)) / 2.
tgα ⋅ tgβ = (cos(α − β) − cos(α + β)) / (cos(α − β) + cos(α + β)).
tgα ⋅ ctgβ = (sin(α − β) + sin(α + β)) / (sin(α + β) − sin(α − β)).
ctgα ⋅ ctgβ = (cos(α − β) + cos(α + β)) / (cos(α − β) − cos(α + β)).

Taip pat yra formulės trigonometrinėms funkcijoms pakelti į laipsnį, universaliam pakeitimui, išplėtimui iki begalinių sandaugų, išvestinių ir antidarinių gavimui. Formulių ilgis gali svyruoti nuo 2-3 iki dešimčių simbolių, naudojant integralus, daugianario sandaugą, hiperbolines funkcijas. Jas nėra lengva apskaičiuoti net naudojant paprastas α ir β reikšmes, o jei tai sudėtingos trupmeninės reikšmės su daugybe po kablelio, skaičiavimai pareikalaus daug laiko ir pastangų.

Siekiant supaprastinti trigonometrinių funkcijų skaičiavimus (ir operacijas su jomis), šiandien naudojami specialūs internetiniai skaičiuotuvai. Į juos įvedamos skaitinės reikšmės, po kurių programa apskaičiuoja per sekundės dalį. Naudoti tokias programas dar patogiau nei inžineriniais skaičiuotuvais, be to, jas galima gauti visiškai nemokamai.