Sinusų, kosinusų ir tangentų dėsniai
Trigonometrija yra matematikos šaka, skirta trikampiams, leidžianti pagal žinomas reikšmes rasti jų nežinomus kampus ir veidus. Pavyzdžiui, kampas išilgai kojos ir hipotenuzės arba hipotenuzės ilgis pagal žinomą kampą ir koją.
Yra unikalių trigonometrinių skaičiavimų funkcijų: sinuso, kosinuso, tangento, kotangento, sekanto ir kosekanto. Jie dažnai naudojami susijusiuose moksluose ir disciplinose, pavyzdžiui, astronomijoje, geodezijoje ir architektūroje.
Trigonometrija aplink mus
Trigonometrija yra įtraukta į bendrojo lavinimo programą ir yra viena iš pagrindinių matematikos dalių. Šiandien jos pagalba randa geografines koordinates, nustato laivų maršrutus, skaičiuoja dangaus kūnų trajektorijas, rengia programas ir statistines ataskaitas. Ši matematinė dalis yra paklausiausia:
- astronomijoje;
- geografijoje;
- navigacijoje;
- architektūroje;
- optikoje;
- akustikoje;
- ekonomikoje (finansų rinkų analizei);
- tikimybių teorijoje;
- biologijoje ir medicinoje;
- elektronikos ir programavimo srityse.
Šiandien net tokios abstrakčios šakos kaip farmakologija, kriptologija, seismologija, fonetika ir kristalografija neapsieina be trigonometrijos. Trigonometrinės funkcijos naudojamos kompiuterinėje tomografijoje ir ultragarsu, apibūdinant šviesos ir garso bangas, statant pastatus ir statinius.
Trigonometrijos istorija
Pirmąsias trigonometrines lenteles savo raštuose panaudojo senovės graikų mokslininkas Hiparchas iš Nikėjos 180–125 m. prieš Kristų. Tada jie buvo grynai taikomi gamtoje ir buvo naudojami tik astronominiams skaičiavimams. Hiparcho lentelėse nebuvo trigonometrinių funkcijų (sinuso, kosinuso ir pan.), tačiau buvo apskritimo padalijimas į 360 laipsnių ir jo lankų matavimas naudojant stygas. Pavyzdžiui, šiuolaikinis sinusas tada buvo žinomas kaip „pusė stygos“, į kurią iš apskritimo centro buvo nubrėžtas statmuo.
100 mūsų eros metais senovės graikų matematikas Menelausas iš Aleksandrijos savo trijų tomų „Sfera“ (Sphaericorum) pateikė keletą teoremų, kurias šiandien galima visiškai laikyti „trigonometrinėmis“. Pirmasis aprašo dviejų sferinių trikampių sutapimą, antrasis – jų kampų sumą (kuri visada yra didesnė nei 180 laipsnių), o trečioji – „šešių dydžių“ taisyklę, geriau žinomą kaip Menelaus teorema.
Maždaug tuo pačiu metu, 90–160 m., astronomas Klaudijus Ptolemėjus išleido reikšmingiausią antikos trigonometrinį traktatą „Almagest“, kurį sudaro 13 knygų. Raktas į jį buvo teorema, apibūdinanti į apskritimą įbrėžto išgaubto keturkampio įstrižainių ir priešingų kraštinių santykį. Pagal Ptolemėjo teoremą antrosios sandauga visada lygi pirmosios sandaugų sumai. Remiantis juo, vėliau buvo sukurtos 4 sinuso ir kosinuso skirtumo formulės, taip pat pusės kampo formulė α / 2.
Indijos studijos
Senovės Graikijoje prieš mūsų erą atsiradusi trigonometrinių funkcijų apibūdinimo akordinė forma buvo paplitusi Europoje ir Azijoje iki viduramžių. Ir tik XVI amžiuje Indijoje juos pakeitė šiuolaikinis sinusas ir kosinusas: atitinkamai su lotyniškais pavadinimais sin ir cos. Būtent Indijoje buvo sukurti pagrindiniai trigonometriniai santykiai: sin²α + cos²α = 1, sinα = cos(90° − α), sin(α + β) = sinα ⋅ cosβ + cosα ⋅ sinβ ir kiti.
Pagrindinis trigonometrijos tikslas viduramžių Indijoje buvo surasti itin tikslius skaičius, visų pirma astronominiams tyrimams. Tai galima spręsti iš mokslinių Bhaskara ir Aryabhata traktatų, įskaitant mokslinį darbą Surya Siddhanta. Indijos astronomas Nilakanta Somayaji pirmą kartą istorijoje išskaidė arctangentą į begalinę galių eilutę, o vėliau sinusas ir kosinusas buvo išskaidyti į eiles.
Europoje tokie patys rezultatai buvo gauti tik kitame, XVII amžiuje. Nuodėmės ir cos serijas 1666 m. sukūrė Izaokas Niutonas, o 1671 m. – Gotfrydas Vilhelmas Leibnicas. XVIII amžiuje mokslininkai užsiėmė trigonometriniais tyrimais tiek Europoje, tiek Artimųjų / Artimųjų Rytų šalyse. XIX amžiuje musulmonų mokslinius darbus išvertus į lotynų ir anglų kalbas, jie tapo iš pradžių Europos, o vėliau ir pasaulio mokslo nuosavybe, leido sujungti ir susisteminti visas su trigonometrija susijusias žinias.
Apibendrinant galima teigti, kad šiandien trigonometrija yra nepakeičiama disciplina ne tik gamtos mokslams, bet ir informacinėms technologijoms. Ji jau seniai nebėra taikomoji matematikos šaka ir susideda iš kelių didelių poskyrių, įskaitant sferinę trigonometriją ir goniometriją. Pirmajame nagrinėjamos kampų tarp didžiųjų rutulio apskritimų savybės, o antrajame – kampų matavimo metodai ir trigonometrinių funkcijų tarpusavio santykis.