เครื่องคิดเลขตรีโกณมิติ

ตรีโกณมิติเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับรูปสามเหลี่ยม ซึ่งช่วยให้คุณหามุมและใบหน้าที่ไม่รู้จักจากค่าที่ทราบ ตัวอย่างเช่น มุมตามความยาวของขาและด้านตรงข้ามมุมฉาก หรือความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากตามมุมและขาที่ทราบ

มีฟังก์ชันเฉพาะสำหรับการคำนวณในตรีโกณมิติ ได้แก่ ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ โคแทนเจนต์ ซีแคนต์ และโคซีแคนต์ มักใช้ในวิทยาศาสตร์และสาขาวิชาที่เกี่ยวข้อง เช่น ในดาราศาสตร์ มาตรวิทยา และสถาปัตยกรรม

ตรีโกณมิติรอบตัวเรา

ตรีโกณมิติรวมอยู่ในหลักสูตรการศึกษาทั่วไปและเป็นหนึ่งในส่วนพื้นฐานของคณิตศาสตร์ วันนี้ด้วยความช่วยเหลือของมัน พวกเขาค้นหาพิกัดทางภูมิศาสตร์ วางเส้นทางของเรือ คำนวณเส้นทางโคจรของเทห์ฟากฟ้า รวบรวมโปรแกรมและรายงานทางสถิติ ส่วนทางคณิตศาสตร์นี้เป็นที่ต้องการมากที่สุด:

ในทางดาราศาสตร์
ในทางภูมิศาสตร์
ในการนำทาง;
ในสถาปัตยกรรม
ในเลนส์;
ในอะคูสติก;
ทางเศรษฐศาสตร์ (สำหรับการวิเคราะห์ตลาดการเงิน)
ในทฤษฎีความน่าจะเป็น
ในชีววิทยาและการแพทย์
ด้านอิเล็กทรอนิกส์และการเขียนโปรแกรม

ทุกวันนี้ แม้แต่สาขาที่ดูเหมือนเป็นนามธรรม เช่น เภสัชวิทยา วิทยาการเข้ารหัสลับ แผ่นดินไหววิทยา สัทศาสตร์ และผลึกศาสตร์ก็ไม่สามารถทำได้หากไม่มีตรีโกณมิติ ฟังก์ชันตรีโกณมิติถูกนำมาใช้ในการตรวจเอกซเรย์คอมพิวเตอร์และอัลตราซาวนด์เพื่ออธิบายแสงและคลื่นเสียงในการก่อสร้างอาคารและโครงสร้าง

ประวัติตรีโกณมิติ

ตารางตรีโกณมิติแรกถูกใช้ในงานเขียนของเขาโดยนักวิทยาศาสตร์ชาวกรีกโบราณ Hipparchus แห่ง Nicaea ในช่วง 180-125 ปีก่อนคริสตกาล จากนั้นจึงนำไปใช้ในธรรมชาติอย่างหมดจดและใช้สำหรับการคำนวณทางดาราศาสตร์เท่านั้น ไม่มีฟังก์ชันตรีโกณมิติ (ไซน์ โคไซน์ และอื่นๆ) ในตารางของ Hipparchus แต่มีการแบ่งวงกลมออกเป็น 360 องศา และการวัดส่วนโค้งโดยใช้คอร์ด ตัวอย่างเช่น ไซน์สมัยใหม่รู้จักกันในชื่อ "ครึ่งคอร์ด" ซึ่งเส้นตั้งฉากถูกดึงออกมาจากจุดศูนย์กลางของวงกลม

ในปี ค.ศ. 100 Menelaus of Alexandria นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณ ใน "Sphere" (Sphaericorum) สามเล่มของเขาได้นำเสนอทฤษฎีบทต่างๆ ที่ทุกวันนี้สามารถพิจารณาได้อย่างเต็มที่ว่า "ตรีโกณมิติ" รูปแรกอธิบายความสอดคล้องกันของรูปสามเหลี่ยมทรงกลมสองรูป รูปที่สองเป็นผลรวมของมุม (ซึ่งมากกว่า 180 องศาเสมอ) และรูปที่สามเกี่ยวกับกฎ "ขนาดหกขนาด" หรือที่รู้จักกันดีในชื่อทฤษฎีบทเมเนลอส

ในช่วงเวลาประมาณเดียวกัน ตั้งแต่ ค.ศ. 90 ถึง ค.ศ. 160 นักดาราศาสตร์ Claudius Ptolemy ได้ตีพิมพ์บทความเกี่ยวกับวิชาตรีโกณมิติที่สำคัญที่สุดในยุคโบราณ ชื่อ Almagest ซึ่งประกอบด้วยหนังสือ 13 เล่ม กุญแจสำคัญของมันคือทฤษฎีบทที่อธิบายอัตราส่วนของเส้นทแยงมุมและด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมนูนที่จารึกไว้ในวงกลม ตามทฤษฎีบทของปโตเลมี ผลคูณของส่วนที่สองจะเท่ากับผลรวมของผลคูณของส่วนแรกเสมอ จากนั้นจึงพัฒนาสูตรความแตกต่าง 4 สูตรสำหรับไซน์และโคไซน์ รวมถึงสูตรครึ่งมุม α / 2

อินเดียศึกษา

รูปแบบ "คอร์ด" ในการอธิบายฟังก์ชันตรีโกณมิติซึ่งเกิดขึ้นในยุคกรีกโบราณก่อนยุคของเรา มีอยู่ทั่วไปในยุโรปและเอเชียจนถึงยุคกลาง และเฉพาะในศตวรรษที่ 16 ในอินเดียเท่านั้น พวกเขาถูกแทนที่ด้วยไซน์และโคไซน์สมัยใหม่: ด้วยชื่อภาษาละติน sin และ cos ตามลำดับ ในอินเดียมีการพัฒนาอัตราส่วนตรีโกณมิติพื้นฐาน: sin²α + cos²α = 1, sinα = cos(90° − α), sin(α + β) = sinα ⋅ cosβ + cosα ⋅ sinβ และอื่นๆ

จุดประสงค์หลักของตรีโกณมิติในอินเดียยุคกลางคือการค้นหาตัวเลขที่แม่นยำเป็นพิเศษ โดยหลักแล้วสำหรับการวิจัยทางดาราศาสตร์ สิ่งนี้สามารถตัดสินได้จากบทความทางวิทยาศาสตร์ของ Bhaskara และ Aryabhata รวมถึงงานทางวิทยาศาสตร์ Surya Siddhanta เป็นครั้งแรกในประวัติศาสตร์ที่ Nilakanta Somayaji นักดาราศาสตร์ชาวอินเดียแยกอาร์กแทนเจนต์ออกเป็นอนุกรมกำลังที่ไม่มีที่สิ้นสุด และต่อมาก็แยกค่าไซน์และโคไซน์ออกเป็นอนุกรม

ในยุโรป ผลลัพธ์เดียวกันนี้เกิดขึ้นในศตวรรษที่ XVII ถัดไปเท่านั้น อนุกรมสำหรับบาปและ cos ได้มาจาก Isaac Newton ในปี 1666 และสำหรับ arc tangent ในปี 1671 โดย Gottfried Wilhelm Leibniz ในศตวรรษที่ 18 นักวิทยาศาสตร์มีส่วนร่วมในการศึกษาตรีโกณมิติทั้งในยุโรปและในประเทศแถบตะวันออกใกล้และตะวันออกกลาง หลังจากงานทางวิทยาศาสตร์ของชาวมุสลิมได้รับการแปลเป็นภาษาละตินและภาษาอังกฤษในศตวรรษที่ 19 งานเหล่านั้นก็กลายเป็นสมบัติของวิทยาศาสตร์ยุโรปกลุ่มแรกและจากนั้นจึงกลายเป็นวิทยาศาสตร์โลก ทำให้สามารถรวมและจัดระบบความรู้ทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับตรีโกณมิติ

โดยสรุป เราสามารถพูดได้ว่าตรีโกณมิติในปัจจุบันเป็นวินัยที่ขาดไม่ได้ ไม่เพียงแต่สำหรับวิทยาศาสตร์ธรรมชาติเท่านั้น แต่ยังรวมถึงเทคโนโลยีสารสนเทศด้วย มันเลิกเป็นสาขาประยุกต์ของคณิตศาสตร์ไปนานแล้ว และประกอบด้วยส่วนย่อยขนาดใหญ่หลายส่วน รวมทั้งตรีโกณมิติทรงกลมและโกนิโอเมตรี วิธีแรกพิจารณาคุณสมบัติของมุมระหว่างวงกลมใหญ่บนทรงกลม และวิธีที่สองเกี่ยวกับวิธีการวัดมุมและอัตราส่วนของฟังก์ชันตรีโกณมิติซึ่งกันและกัน

ตรีโกณมิติเป็นหลักเกี่ยวกับการหามุมและขอบในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เช่นเดียวกับรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ซับซ้อนกว่า การรู้ปริมาณสองค่า (มุมและหนึ่งหรือสองหน้า) คุณสามารถค้นหาปริมาณที่สามได้เกือบทุกครั้งโดยใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติและสูตรพิเศษ

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

มีฟังก์ชันโดยตรงเพียงสองฟังก์ชันในตรีโกณมิติ: ไซน์ (sin) และโคไซน์ (cos) อันแรกเท่ากับอัตราส่วนของขาตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก และอันที่สองเท่ากับอัตราส่วนที่อยู่ติดกัน ในทั้งสองกรณี เราหมายถึงมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉากซึ่งน้อยกว่า 90 องศาเสมอ ในคณิตศาสตร์ที่สูงขึ้น บาปและ cos ยังสามารถนำไปใช้กับจำนวนจริงที่ซับซ้อนได้อีกด้วย

ฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่นๆ ทั้งหมดเป็นอนุพันธ์ของไซน์และโคไซน์ มีเพียงสี่รายการเท่านั้น:

แทนเจนต์ (tg) - อัตราส่วนของขาตรงข้ามกับขาข้างเคียง - tgx = sinx / cosx
โคแทนเจนต์ (ctg) - อัตราส่วนของขาข้างเคียงกับขาข้างตรงข้าม - ctgx = cosx / sinx
วินาที (วินาที) — อัตราส่วนของด้านตรงข้ามมุมฉากต่อขาข้างเคียง — secx = 1 / cosx
Cosecant (cosec) - อัตราส่วนของด้านตรงข้ามมุมฉากต่อขาตรงข้าม - cosecx = 1 / sinx

สัญกรณ์ทางเลือกที่ใช้ในประเทศที่ใช้ภาษาอังกฤษมีดังนี้: tangent - tan, cotangent - cot, cosecant - csc มีการระบุไว้ในเอกสารทางวิทยาศาสตร์ บนเครื่องคิดเลขวิศวกรรมปุ่มกด ในแอปพลิเคชันอิเล็กทรอนิกส์

สูตรตรีโกณมิติ

นักคณิตศาสตร์ของประเทศต่างๆ ในยุโรปและเอเชียได้ทำการวิจัยและปรับปรุงฟังก์ชันตรีโกณมิติมาเป็นเวลาหลายศตวรรษ และได้ระบุรูปแบบต่างๆ ที่มีอยู่ในการบวก การลบ การคูณ และการดำเนินการทางคณิตศาสตร์อื่นๆ ปัจจุบัน หลักสูตรตรีโกณมิติพื้นฐานทั้งหมด ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของหลักสูตรโรงเรียน มีพื้นฐานมาจากสิ่งนี้ กล่าวคือ ความสามารถในการย่อและแปลงฟังก์ชันโดยใช้สัจพจน์และทฤษฎีบทที่มีอยู่

อัตลักษณ์อย่างง่าย

แม้ในอินเดียยุคกลาง อัตลักษณ์ที่ง่ายที่สุดที่ใช้กับฟังก์ชันตรีโกณมิติทางตรงและเชิงอนุพันธ์ก็ถูกเปิดเผย ในรูปแบบสำเร็จรูป (สมัยใหม่) จะมีลักษณะดังนี้:

sin²α + cos²α = 1
1 + tg²α = วินาที²α
1 + ctg²α = โคเซก²α
tgα ⋅ ctgα = 1.

สูตรข้างต้นใช้ได้กับค่าอาร์กิวเมนต์ (α) ใดๆ ถ้าเรากำหนดข้อจำกัดว่า α มากกว่า 0 และน้อยกว่า π/2 รายการสูตรจะเพิ่มขึ้นหลายครั้ง รายการหลักมีดังต่อไปนี้:

sinα = √(1 − cos²α).
cosα = √(1 − sin²α).
tgα = sinα / √(1 − sin²α).
ctg = cosα / √(1 − cos²α).
วินาที = 1 / cosα.
cosec = 1 / sinα.

มีตัวตนที่ถูกต้อง 5 ตัวสำหรับแต่ละฟังก์ชันจาก 6 ฟังก์ชัน (ทั้งหมด 30 รายการ) สมการทั้งหมดแสดงอยู่ในตารางและสามารถใช้ในการแก้สมการตรีโกณมิติและลดความซับซ้อนของสมการที่ไม่รู้จัก (α) ได้

การบวกและการลบ

ผลบวกและผลต่างของมุมสองมุม (α และ β) ก็มีรูปแบบของตัวเองเช่นกัน เมื่อใช้สูตรตรีโกณมิติ สามารถแสดงได้ดังนี้:

sin(α + β) = sinα ⋅ cosβ + sinβ ⋅ cosα
cos(α + β) = cosα ⋅ cosβ + sinα ⋅ sinβ
tg(α + β) = (tgα + tgβ) / (1 − tgα ⋅ tgβ)
ctg(α + β) = (ctgα ⋅ ctgβ − 1) / (ctgα + ctgβ)

สูตรเหล่านี้ใช้กับการลบด้วย หากเครื่องหมายทางด้านขวาของเครื่องหมายเท่ากับเปลี่ยนไป เครื่องหมายทางด้านซ้ายก็จะเปลี่ยนไปด้วย ในกรณีของแทนเจนต์ จะมีลักษณะดังนี้: tg(α − β) = (tgα − tgβ) / (1 + tgα ⋅ tgβ)

การคูณ

ฟังก์ชันตรีโกณมิติของสองมุม (α และ β) สามารถคูณเข้าด้วยกันโดยใช้สูตรที่มีอยู่:

sinα ⋅ sinβ = (cos(α − β) − cos(α + β)) / 2
sinα ⋅ cosβ = (บาป(α − β) + บาป(α + β)) / 2
cosα ⋅ cosβ = (cos(α − β) + cos(α + β)) / 2
tgα ⋅ tgβ = (cos(α − β) − cos(α + β)) / (cos(α − β) + cos(α + β)).
tgα ⋅ ctgβ = (บาป(α − β) + บาป(α + β)) / (บาป(α + β) − บาป(α − β)).
ctgα ⋅ ctgβ = (cos(α − β) + cos(α + β)) / (cos(α − β) − cos(α + β)).

นอกจากนี้ยังมีสูตรสำหรับการยกฟังก์ชันตรีโกณมิติให้เป็นเลขยกกำลัง สำหรับการแทนที่สากล การขยายเป็นผลิตภัณฑ์ที่ไม่มีที่สิ้นสุด เพื่อให้ได้อนุพันธ์และอนุพันธ์ ความยาวของสูตรสามารถเปลี่ยนแปลงได้ตั้งแต่ 2-3 ถึง 10 ตัวอักษร โดยใช้อินทิกรัล ผลคูณของพหุนาม ฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก การคำนวณเหล่านี้ไม่ใช่เรื่องง่ายแม้จะใช้ค่าอย่างง่ายอย่าง α และ β และหากเป็นค่าเศษส่วนที่ซับซ้อนที่มีทศนิยมจำนวนมาก การคำนวณจะต้องใช้เวลาและความพยายามอย่างมาก

เพื่อให้การคำนวณฟังก์ชันตรีโกณมิติง่ายขึ้น (และการดำเนินการกับฟังก์ชันเหล่านี้) ปัจจุบันมีการใช้เครื่องคิดเลขออนไลน์แบบพิเศษ มีการป้อนค่าตัวเลขหลังจากนั้นโปรแกรมจะคำนวณในเสี้ยววินาที การใช้แอปพลิเคชันดังกล่าวสะดวกกว่าเครื่องคิดเลขทางวิศวกรรม และสามารถใช้งานได้ฟรี

{$ subpageListHide ? ('Show' | translate) : ('Hide' | translate) $}