Trigonometri hesaplayıcı

Trigonometri, bilinen değerlerden onların bilinmeyen açılarını ve yüzlerini bulmanızı sağlayan, üçgenlere adanmış bir matematik dalıdır. Örneğin, bacak ve hipotenüs uzunluğu boyunca olan açı veya bilinen açı ve bacağa göre hipotenüs uzunluğu.

Trigonometride hesaplamalar için benzersiz işlevler vardır: sinüs, kosinüs, tanjant, kotanjant, sekant ve kosekant. Astronomi, jeodezi ve mimari gibi ilgili bilimlerde ve disiplinlerde sıklıkla kullanılırlar.

Çevremizdeki trigonometri

Trigonometri, genel eğitim müfredatında yer alır ve matematiğin temel bölümlerinden biridir. Bugün onun yardımıyla coğrafi koordinatları buluyorlar, gemilerin rotalarını çiziyorlar, gök cisimlerinin yörüngelerini hesaplıyorlar, programlar ve istatistiksel raporlar derliyorlar. Bu matematik bölümü en çok rağbet görüyor:

astronomide;
coğrafyada;
gezinmede;
mimaride;
optikte;
akustikte;
ekonomide (finansal piyasaların analizi için);
olasılık teorisinde;
biyoloji ve tıpta;
elektronik ve programlamada.

Bugün farmakoloji, kriptoloji, sismoloji, fonetik ve kristalografi gibi görünüşte soyut dallar bile trigonometri olmadan yapamazlar. Trigonometrik fonksiyonlar, bina ve yapıların inşasında ışık ve ses dalgalarını tanımlamak için bilgisayarlı tomografi ve ultrasonda kullanılır.

Trigonometri tarihi

İlk trigonometrik tablolar, MÖ 180-125 yıllarında antik Yunan bilim adamı İznikli Hipparchus tarafından yazılarında kullanılmıştır. Daha sonra tamamen doğada uygulandılar ve sadece astronomik hesaplamalar için kullanıldılar. Hipparchus'un tablolarında trigonometrik fonksiyonlar (sinüs, kosinüs vb.) yoktu, ancak dairenin 360 dereceye bölünmesi ve kirişler kullanılarak yaylarının ölçülmesi vardı. Örneğin, modern sinüs o zamanlar "yarım kiriş" olarak biliniyordu ve dairenin merkezinden kendisine dik bir çizgi çiziliyordu.

MS 100 yılında, antik Yunan matematikçi İskenderiyeli Menelaus, üç ciltlik "Sphere" (Sphaericorum) adlı eserinde, bugün tamamen "trigonometrik" olarak kabul edilebilecek birkaç teorem sundu. İlki, iki küresel üçgenin eşliğini, ikincisi (her zaman 180 dereceden büyük olan) açılarının toplamını ve üçüncüsü, daha çok Menelaus teoremi olarak bilinen "altı büyüklük" kuralını tanımlıyordu.

Kabaca aynı zamanda, MS 90'dan 160'a kadar, gökbilimci Claudius Ptolemy, 13 kitaptan oluşan, antik çağın en önemli trigonometrik incelemesi Almagest'i yayınladı. Bunun anahtarı, bir daire içine yazılmış dışbükey bir dörtgenin köşegenlerinin ve karşıt kenarlarının oranını açıklayan bir teoremdi. Batlamyus teoremine göre, ikincinin çarpımı her zaman birincinin çarpımlarının toplamına eşittir. Buna dayanarak sinüs ve kosinüs için 4 fark formülü ve ayrıca yarı açı formülü α / 2 geliştirildi.

Hint Araştırmaları

Çağımızdan önce antik Yunanistan'da ortaya çıkan trigonometrik fonksiyonları tanımlamanın "kordal" biçimi, Orta Çağ'a kadar Avrupa ve Asya'da yaygındı. Ve sadece 16. yüzyılda Hindistan'da bunların yerini modern sinüs ve kosinüs aldı: sırasıyla sin ve cos Latince atamalarıyla. Temel trigonometrik oranların geliştirildiği yer Hindistan'dı: sin²α + cos²α = 1, sinα = cos(90° − α), sin(α + β) = sinα ⋅ cosβ + cosα ⋅ sinβ ve diğerleri.

Ortaçağ Hindistan'ında trigonometrinin temel amacı, özellikle astronomik araştırmalar için ultra kesin sayılar bulmaktı. Bu, Surya Siddhanta bilimsel çalışması da dahil olmak üzere Bhaskara ve Aryabhata'nın bilimsel incelemelerinden değerlendirilebilir. Hintli astronom Nilakanta Somayaji tarihte ilk kez arktanjantı sonsuz kuvvet serisine ayrıştırdı ve daha sonra sinüs ve kosinüs serilere ayrıştırıldı.

Avrupa'da aynı sonuçlar ancak bir sonraki, XVII. yüzyılda geldi. Sin ve cos serileri 1666'da Isaac Newton tarafından ve 1671'de Gottfried Wilhelm Leibniz tarafından ark teğetleri için türetildi. 18. yüzyılda bilim adamları hem Avrupa'da hem de Yakın/Orta Doğu ülkelerinde trigonometrik çalışmalarla uğraşıyorlardı. Müslüman bilimsel eserlerin 19. yüzyılda Latince ve İngilizceye çevrilmesinden sonra önce Avrupa sonra dünya biliminin malı haline gelmiş, trigonometri ile ilgili tüm bilgilerin birleştirilip sistematize edilmesini mümkün kılmıştır.

Özet olarak, günümüzde trigonometrinin sadece doğa bilimleri için değil, bilgi teknolojisi için de vazgeçilmez bir disiplin olduğunu söyleyebiliriz. Uzun zamandır matematiğin uygulamalı bir dalı olmaktan çıkmıştır ve küresel trigonometri ve gonyometri dahil olmak üzere birkaç büyük alt bölümden oluşmaktadır. İlki, bir küre üzerindeki büyük daireler arasındaki açıların özelliklerini ele alırken, ikincisi açıları ölçme yöntemlerini ve trigonometrik fonksiyonların birbirine oranını ele alıyor.

Trigonometri, öncelikle dik üçgenlerde ve ayrıca daha karmaşık, çokyüzlü şekillerde köşeleri ve kenarları bulmakla ilgilidir. İki niceliği (bir açı ve bir yüz veya iki yüz) bildiğiniz için, özel trigonometrik işlevleri ve formülleri kullanarak neredeyse her zaman üçüncüsünü bulabilirsiniz.

Trigonometrik fonksiyonlar

Trigonometride yalnızca iki doğrudan fonksiyon vardır: sinüs (sin) ve kosinüs (cos). Birincisi, karşı bacağın hipotenüse oranına, ikincisi ise bitişik olana eşittir. Her iki durumda da, her zaman 90 dereceden küçük olan bir dik üçgenin dar açısını kastediyoruz. Daha yüksek matematikte sin ve cos, karmaşık ve gerçek sayılara da uygulanabilir.

Diğer tüm trigonometrik fonksiyonlar sinüs ve kosinüsün türevleridir. Yalnızca dört tane var:

Teğet (tg) - karşı bacağın bitişik olana oranı - tgx = sinx / cosx.
Kotanjant (ctg) - bitişik bacağın karşıdakine oranı - ctgx = cosx / sinx.
Saniye (sn) — hipotenüsün bitişik bacağa oranı — secx = 1 / cosx.
Kosekant (kosek) - hipotenüsün karşı bacağa oranı - kosekx = 1 / sinx.

İngilizce konuşulan ülkelerde kullanılan alternatif bir notasyon şu şekildedir: teğet - tan, kotanjant - cot, kosekant - csc. Bilimsel literatürde, düğmeli mühendislik hesap makinelerinde ve elektronik uygulamalarda belirtilmiştir.

Trigonometrik formüller

Avrupa ve Asya ülkelerinin matematikçileri, yüzyıllardır trigonometrik fonksiyonları araştırıp geliştiriyorlar ve toplama, çıkarma, çarpma ve diğer matematiksel işlemlerin yanı sıra bunların doğasında bulunan bir dizi kalıp belirlediler. Bugün, okul müfredatının bir parçası olan temel trigonometri dersinin tamamı buna, yani mevcut aksiyomları ve teoremleri kullanarak fonksiyonları indirgeme ve dönüştürme becerisine dayanmaktadır.

Basit kimlikler

Ortaçağ Hindistan'ında bile, doğrudan ve türev trigonometrik fonksiyonlara uygulanabilen en basit özdeşlikler ortaya çıkarıldı. Bitmiş (modern) formlarında şöyle görünürler:

sin²α + cos²α = 1.
1 + tg²α = sec²α.
1 + ctg²α = cosec²α.
tgα ⋅ ctgα = 1.

Yukarıdaki formüller, bağımsız değişkenin (α) herhangi bir değeri için geçerlidir. α'nın 0'dan büyük ve π/2'den küçük olduğu kısıtlamasını getirirsek, formül listesi birkaç kat artar. Başlıcaları aşağıdakileri içerir:

sinα = √(1 − cos²α).
cosα = √(1 - sin²α).
tgα = sinα / √(1 − sin²α).
ctg = cosα / √(1 − cos²α).
sn = 1 / cosα.
cosec = 1 / sinα.

6 işlevin her biri için 5 geçerli kimlik vardır (toplamda 30). Hepsi tabloda listelenmiştir ve bir bilinmeyenli (α) trigonometrik denklemleri çözmek ve basitleştirmek için kullanılabilir.

Toplama ve çıkarma

İki açının (α ve β) toplamları ve farkları da kendi kalıplarına sahiptir. Trigonometrik formüller kullanılarak aşağıdaki gibi gösterilebilirler:

sin(α + β) = sinα ⋅ cosβ + sinβ ⋅ cosα.
cos(α + β) = cosα ⋅ cosβ + sinα ⋅ sinβ.
tg(α + β) = (tgα + tgβ) / (1 − tgα ⋅ tgβ).
ctg(α + β) = (ctgα ⋅ ctgβ − 1) / (ctgα + ctgβ).

Bu formüller çıkarma için de geçerlidir. Eşittir işaretinin sağ tarafındaki işaretler değişirse sol taraftaki işaretler de değişir. Teğet durumunda şöyle görünür: tg(α − β) = (tgα − tgβ) / (1 + tgα ⋅ tgβ).

Çoğaltma

İki açının (α ve β) trigonometrik fonksiyonları da mevcut formüller kullanılarak birlikte çarpılabilir:

sinα ⋅ sinβ = (cos(α − β) − cos(α + β)) / 2.
sinα ⋅ cosβ = (sin(α − β) + sin(α + β)) / 2.
cosα ⋅ cosβ = (cos(α − β) + cos(α + β)) / 2.
tgα ⋅ tgβ = (cos(α − β) − cos(α + β)) / (cos(α − β) + cos(α + β)).
tgα ⋅ ctgβ = (sin(α − β) + sin(α + β)) / (sin(α + β) − sin(α − β)).
ctgα ⋅ ctgβ = (cos(α − β) + cos(α + β)) / (cos(α − β) − cos(α + β)).

Ayrıca trigonometrik fonksiyonları bir kuvvete yükseltmek, evrensel yerine koymak, sonsuz çarpımlara genişletmek, türev ve ters türev elde etmek için formüller vardır. Formüllerin uzunluğu, integraller, polinomların çarpımı, hiperbolik fonksiyonlar kullanılarak 2-3 ila onlarca karakter arasında değişebilir. Basit α ve β değerleriyle bile hesaplamaları kolay değildir ve çok sayıda ondalıklı karmaşık kesirli değerlerse, hesaplamalar çok zaman ve çaba gerektirecektir.

Trigonometrik fonksiyonların (ve bunlarla ilgili işlemlerin) hesaplamalarını basitleştirmek için günümüzde özel çevrimiçi hesaplayıcılar kullanılmaktadır. Bunlara sayısal değerler girilir, ardından program bir saniyeden daha kısa sürede hesaplar. Bu tür uygulamaları kullanmak, mühendislik hesap makinelerinden bile daha uygundur ve bunlar tamamen ücretsiz olarak mevcuttur.

{$ subpageListHide ? ('Show' | translate) : ('Hide' | translate) $}